[include(틀:이산수학)]
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== 개요 ==
{{{+1 Bell number}}}

[[집합]]을 분할하는 방법의 수로, 원소의 개수가 [math(n)]인 집합을 분할하는 방법의 수에 대하여 이를 연구한 1930년대 영국의 수학자 에릭 템플 벨의 이름을 따 [math(n)]번째 벨 수라고 하며 [math(B_n)]으로 나타낸다. [[베르누이 수열|베르누이 수]]와 표기가 완전히 같기 때문에, 혼동을 피하기 위해 사용시에는 정의를 명확히 해줄 필요가 있다.[* 두 개를 같이 써야 한다면 한쪽의 [[글꼴]]을 다르게 지정하기도 한다. 가령 베르누이 수를 [math(B_n)]으로 표기한다면 벨 수를 [math({\mathscr B}_n)], [math({\frak B}_n)] 같은 모양으로 표기하는 식.]

제9항까지의 값은 다음과 같다.
|| [math(n)] || [math(0)][* '공집합을 분할'한다는 개념이 와닿지 않을 수 있으나, 대수적으로도 정의되는 [[제2종 스털링 수]]와의 관계에 따라 [math(n=0)]일 때에도 정의가 된다. [math(S \left( 0,~0 \right) = 1)]이기 때문.] || [math(1)] || [math(2)] || [math(3)] || [math(4)] || [math(5)] || [math(6)] || [math(7)] || [math(8)] || [math(9)] ||
|| [math(B_n)] || [math(1)] || [math(1)] || [math(2)] || [math(5)] || [math(15)] || [math(52)] || [math(203)] || [math(877)] || [math(4140)] || [math(21147)] ||

== 성질 ==
 * [[제2종 스털링 수]] [math(S \left(n,~k \right))]와는 다음과 같은 관계가 있다.
 || [math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n S \left( n,~k \right))] ||
 집합론을 이용한 제2종 스털링 수의 정의가 ‘[math(n)]개의 원소로 구성된 집합을 [math(k)]개로 분할하는 경우의 수’이므로 위의 관계는 자명하다.
 * [math(B_n )]은 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.
 || [math(\displaystyle B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k )] ||
 집합 [math(\left\{1,~2, \cdots\cdots ,~n+1 \right\})]을 분할한다고 하자. 이때 각각의 분할에서는 [math(1)]을 원소로 갖는 집합이 있을 것이다. [math(1)]을 원소로 갖는 집합의 원소의 개수가 [math(k)]가 되도록 분할하는 경우의 수는 [math(n)]개 중에서 [math(1)]을 제외한 [math((k-1))]개를 고르는 경우의 수 [math(\dbinom n{k-1})]에 나머지 [math(n-(k-1))]개의 원소를 분할하는 경우의 수 [math(B_{n-k+1})]를 곱한 값 [math(\dbinom n{k-1} B_{n-k+1})]임을 알 수 있다. [math(k)]는 [math(1)]부터 [math((n+1))]까지의 값을 취할 수 있고 [math(k)]가 다른 값을 취할 때 중복되는 경우는 없으므로 합의 법칙에 의하여
 ||[math(\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}B_{n-k+1} = \sum_{k=0}^n \binom nk B_{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom n{n-k}B_k = \sum_{k=0}^n \binom nk B_k)] ||
== 관련 문서 ==
 * [[분할]]
 * [[분할수]]
 * [[제2종 스털링 수]]
[[분류:이산수학]][[분류:벨 수]]