[include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == || [[파일:나무_부호함수_그래프_수정.png|width=80%&align=center]] || || '''부호 함수의 그래프 개형''' || '''부호 함수(sign(um) function)'''[* Signum이라는 이름이 따로 있는 이유는 Sign과 발음이 같은 [[삼각함수|'''Sine''']]과 혼동할 수 있기 때문.]는 [[특수함수]] 중 하나로, 어떤 [[실수(수학)|실수]]의 [[부호#s-1.2]]를 출력하는 함수이다. 쉽게 말해 [math(|x|)]를 미분한 함수. 기호로는 [math(\mathrm{sgn}\,x)]로 쓰며, 정의는 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{sgn}\,x \equiv \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{|x|} & \text{ if } x \neq 0 \\ \\ 0 & \text{ if } x=0 \end{cases} )] }}} 구체적인 값은 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{sgn}\,x=\begin{cases} \displaystyle 1 & \text{ if } x>0 \\ \displaystyle 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if } x<0 \end{cases} )] }}} 보통 [[점화식]]에서 특정항의 부호만을 취할 때 사용되는 함수이다. == 성질 == i. 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( (\mathrm{sgn} \circ \mathrm{sgn})(a)=\mathrm{sgn}\, a )] }}} 가 성립한다. i. 부호 함수는 [[대칭함수|홀함수(Odd function, 기함수)]]이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \mathrm{sgn} \,x=-\mathrm{sgn}\,(-x) )] }}} 가 성립한다. i. [[계단(동음이의어)#s-6|계단 함수(Step function)]]의 일종이다. 부호 함수와 [[단위 계단 함수]]는 다음과 같은 관계가 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{1 + \mathrm{sgn} \,x}{2}=\mathrm{u}\,(x) )] }}} i. 비약 불연속점(Point of jump discontinuity)이 [math(x=0)]에서 존재한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned} \lim_{x \to 0^{+}} \mathrm{sgn}\, x &=1 \\ \lim_{x \to 0^{-}} \mathrm{sgn}\, x &=-1 \end{aligned})] }}} 이므로 [math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \mathrm{sgn}\, x)]는 정의되지 않는다. i. [[도함수]]는 [[디랙 델타 함수]]에 2를 곱한 값이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\mathrm{sgn}\,x) =2 \delta (x))] }}} i. [[역도함수]]는 [[절댓값]] 함수이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \int \mathrm{sgn}\,x\,\mathrm{d}x=|x|+C )] }}} i. 정의역이 [[복소수]]인 경우는 [math( \{ -1,\,0,\,1 \})]이 아닌 다른 값을 띄게 되는데, 이는 복소수의 절댓값이 실수하고는 다르게 정의[* 복소수 [math(z)]에 대하여, [math(|z| = \sqrt{z z^{\ast}} = \sqrt{[\Re(z) ]^2+[\Im(z) ]^2})]이다. 여기서 [math(z^{\ast})]는 [math(z)]의 켤레 복소수이다.]되기 때문이다. 다만, 원점과의 거리는 항상 1이 된다.[* [[파일:나무_부호함수_복소평면.png|width=200]][br]위 그림과 같이 복소평면 상 복소수 [math(z)]에 대한 부호함숫값 [math({\rm sgn} \, z)]는 복소평면 상 [[단위원|[math(|z|=1)]의 원판]] 상에 존재한다.] * 절댓값이 정의된 대상이라면 그 대상이 무엇이든 부호 함수를 취할 수 있다. [[벡터]]의 경우 [[벡터#단위벡터|[math({\bold{v}}/{\sqrt{\left< \bold{v} ,\, \bold{v}\right> }})]]], [[행렬(수학)|행렬]]의 경우 [[행렬식|[math(A/{\det{A}})]]] 같은 식으로 계산할 수 있다. == 복소 부호 함수 == {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{csgn} (z) = \begin{cases} \dfrac{\Re(z)}{\|\Re(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) \neq 0 \\ \\ \dfrac{\Im(z)}{\|\Im(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) =0,\, \Im(z) \neq 0 \\ \\ 0 & \mathrm{if} \ \Re(z) = 0,\, \Im(z) = 0 \end{cases} )] }}} 복소수에서 부호 함수가 '부호 판별'의 기능을 잃어버리기 때문에 복소수에 맞게 재정의한 함수이다. 정의를 보듯, 순허수인 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 나머지는 실수부의 부호를 판별한다. == 기타 == * 간단한 정의임에도 중등교육과정 이하에서 코빼기도 보이지 않는 함수이다.[* 정작 [[수학Ⅱ(2015)|수학Ⅱ]]의 함수의 [[극한]], 함수의 연속 파트에서 [[암묵적 지식|부호 함수를 알아야 풀 수 있는 문제]]가 출제되곤 한다.] 대학 과정에서 [[푸리에 변환]]을 배울 때 처음 접한다. * 푸리에 변환의 결과로 나오는 함수는 [[유리함수|분수함수]]이다: [math(\widehat{\rm sgn}\,x = -i/ \pi \xi)] * [[컴퓨터과학]]에서는 음수 값을 1, 양수 값을 0으로 정의한다는 차이점이 있다.[* 정의하는 위치는 MSB(Most Significant Bit), 즉 맨 왼쪽 자리다. 2진법에서는 음수를 보수로 바꿔서 처리하기 때문에 음수는 가장 앞 자리(왼쪽 자리)가 1이 되기 때문.] 이 정의는 [[헤비사이드 계단 함수]]와 [[최대 정수 함수|천장함수]]를 사용한 [math(1 - \lceil u(x) \rceil)] 또는 [[집합 판별 함수]]을 사용한 [math(\mathbf{1}_{\mathbb{R^-}})]과 동치이다. * 부호 함수에 [math(x)]를 곱할 경우에는 [math(x=0)]에서 [[미분]]이 불가능하지만, [math(x^2)]을 곱한 [math(x^2\operatorname{sgn}{x})]는 전 구간에서 [[미분]]이 가능하다.[* 실제로 부호함수에 [math(x)]를 곱하면 [math(|x|)] 함수가 되며 , [math(x^2)]을 곱하면 [math(x|x|)] 함수가 된다. 그 후 0에서 양쪽의 미분계수를 구해보면 된다.] * [[Microsoft Excel]]에도 부호 함수가 존재한다. SIGN(number). * [[지수함수]]로도 정의가 가능하다: [math(\displaystyle \mathrm{sgn}\,x=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}})] * [[행렬식]]을 일반화할 때 등장한다. [[분류:비초등함수]]