[include(틀:대수학)]
[include(틀:수와 연산)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[分]][[配]][[法]][[則]] / Distributivity}}}

집합 [math(S)]와 [math(S)]에 대해 닫혀있는 두 이항 연산 [math(*, +)]가 정의되어 있을 때, [math(S)]의 임의의 원소 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대해 

[math(a*(b+c)=(a*b)+(a*c))]가 성립하면 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의) 좌분배법칙이,
[math((b+c)*a=(b*a)+(c*a))]가 성립하면 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의) 우분배법칙이 성립한다고 하며,
위 두 가지가 모두 성립할 경우 집합 [math(S)]에서 연산 [math(*)]은 연산 [math(+)]에 대해 분배법칙 ([math(+)]에 대한 [math(*)]의 (양쪽) 분배법칙). [* [math(+)]의 분배법칙이 아니라 [math(*)]의 분배법칙임에 유의. '~에 대한'과 '~의'를 혼동하지 않아야 한다.]이 성립한다([math(*)] distributes over [math(+)])고 한다.[* 여기에서 [math(*)]과 [math(+)]는 실수(복소수)의 곱셈ㆍ덧셈을 의미하는 것이 아니다. 그저 집합 [math(S)]에서 닫혀 있는 어떠한 두 연산을 나타내는 기호일 뿐이며, [math(S)]가 실수(복소수)의 부분집합이 아닐 수도 있다. 그 예시는 아래의 나오는 행렬에서의 분배법칙.]

[[흑조 이론|반례가 하나라도 나온다면]] 분배법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.

착각하면 안되는 것이, 분배법칙은 교환법칙과 무관하다, 일반적인 교환법칙이 성립하지 않는 경우는 물론, 심지어 [math(a * (b + c) \neq (b + c) * a)]여도 여전히 성립 가능하다. 대표적인 예시가 [[행렬]]과 [[사원수]]로, 2007년 개정 교육과정(~2013년 고교 입학생까지) 행렬이 고교수학에 남아 있던 시기의 학생이라면, 행렬에서 (덧셈에 대한 곱셈의) 분배법칙이 성립한다고 쓰여있는 것을 보았을 것이다.

== 다항식의 분배법칙 ==
연산자 앞뒤로 항이 2개씩 이상 있을 경우, 다음을 따른다.

[math((a+b)*(c+d)=(a*c)+(a*d)+(b*c)+(b*d))]

만약 교환법칙도 성립한다면 다음의 법칙도 성립함을 알 수 있다. 자세한 사항은 [[인수분해]] 참조.
 * [math((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2)]
 * [math((a+b)(a-b)=a^2-b^2)]

분배법칙이 성립하는 다항식은 [[선형 변환|'''선형성'''(linearity)]]을 띤다라고 한다.

== 분배법칙이 일반적으로 성립하는 연산 ==
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.
 * [math(\times)] ([[곱셈]]): 복소수[* 덧셈 및 뺄셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립한다. [math(a(b+c)=ab+ac)], [math((a+b)c=ac+bc)], [math(a(b-c)=ab-ac)], [math((a-b)c=ac-bc)]]와 [[사원수]] 범위
 * [math(\cdot)] ([[내적]]: [[벡터]] 범위)
 * [math(*)] (합성곱: [[라플라스 변환]] 관련 연산)
 * [math(\otimes)] ([[외적]]: 벡터 범위)
 * [math(\times)] (곱셈: [[행렬곱|곱셈]]이 정의된 [[행렬]] 범위)
 * [math(\circ)] (아다마르 곱: [[행렬]] 범위)
 * [math(')] ([[미분]])[* [math((af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x))]]
 * [math(\int)]([[적분]])[* [math(\displaystyle \int (af(x) + bg(x))\,{\rm d}x = a\int f(x)\,{\rm d}x + b\int g(x)\,{\rm d}x)]]
== 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는 연산 ==
특별한 언급이 없는 한 연산을 다루는 집합 S는 복소수 범위이다.
 * [math(+)] ([[덧셈]])[*A 덧셈 및 뺄셈'''에 대한''' 곱셈'''의''' 분배법칙이 성립하는 것이지, 덧셈 및 뺄셈'''의''' 분배법칙이 성립하는 것이 아니다.]
 * [math(-)] ([[뺄셈]])[*A]
 * [math(\div)] ([[나눗셈]], 당연히 0으로 나누면 안 된다.)[*B 단, 좌분배법칙만 성립하지 않으며, 우분배법칙은 성립한다. 좌분배법칙이 성립하지 않으므로, 일반적으로 성립하지 않는다는 정의에 들어맞는다. 나눗셈에서는 [math((a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c)]) 이고, 합성함수에서는 [math((f + g) \circ h = (f \circ h) + (g \circ h))] 이다.]
 * [math(^\wedge)] ([[제곱]])[* 곱셈에 대한 분배법칙이 존재한다. [math((ab)^c=a^c b^c)]]
 * [math(\uparrow)] ([[테트레이션]])
 * [math(\circ)] (둘 이상의 [[함수]]의 합성)[*B]
 * [math(\#)] (연결합: 위상)
== 같이 보기 ==
 * [[교환법칙]]
 * [[결합법칙]]
 * [[군(대수학)]]
 * [[체(대수학)]]

[[분류:대수학]][[분류:수리논리학]][[분류:집합론]]