분배함수(Partition function, 分配函數) [include(틀:통계역학)] [목차] == 소개 == 분배함수는 [[통계역학|통계물리]]와 [[확률]]이론 및 [[정보]]이론 등에서 쓰이는 정규화(Normalization) 인자의 특별한 예이다. 분배함수는 원래 고전 [[통계역학]] 이론에서 [[통계역학#s-2.1.2|캐노니컬 앙상블(Canonical Ensemble)]]을 설명하기 위해 등장하였다. 분배함수는 이후 [[통계역학#s-2.1.3|그랜드 캐노니컬 앙상블]]이나 양자 통계에서도 계속 만나게 될 매우 중요한 개념이다. [[통계역학#s-2.1.1|마이크로 캐노니컬 앙상블]]에서의 엔트로피 계산할 때 빼고는, 모든 문제는 이 분배함수를 아는 것에 달려있다. 어떤 계의 분배함수를 알면, 그 계의 내부에너지, 자유에너지, 엔트로피, 열용량 등 모든 물리량을 분배함수를 이용하여 쓸 수 있다. 이는 분배함수의 매우 강력한 기능인데, 분배함수를 안다는 것은 그 계를 안다는 것과 거의 동등하다고 말할 수 있을 정도이다. == 정의 == 캐노니컬 앙상블에서 분배함수는 다음과 같이 정의된다. [math( \displaystyle Z = \sum_i \exp(-\beta \epsilon_i) )] 여기서 [math( \beta = {1 / k_B T} )]이고 [math( \epsilon_i)]는 i번째 상태의 에너지이다. 한편 위상공간 위에서 적분을 통해 정의할 수도 있다. 어떤 에너지 값 하에서 주어지는 모든 일반화 운동량과 일반화 위치에 대하여 [math( \displaystyle Z = {1\over h^{3N}N!} \int dp^{3N}dq^{3N} \exp(-\beta \mathcal{H}(\vec {q},\vec {p} )) )] 여기서의 [math(\mathcal{H}(\vec {q},\vec {p} ))]는 [[해밀턴 역학#s-2|해밀토니안]]이다. 또한 [math(N!)]가 분모에 들어갔는데, N개의 입자들을 서로 구분할 수 없기 때문에, 그만큼의 경우의 수를 수정해주기 위한 깁스 인자를 나눈 것이다. 위는 [[고전역학]]에서 분배함수를 정의한 것이고, [[양자역학]]에서는 [[해밀턴 역학#s-2|해밀토니안]]을 연산자로 보아야 하기 때문에 정의를 수정해야 한다. [[통계역학#s-2.3|양자통계]]에서의 정의는 다음과 같다. [math( \displaystyle Z = \mathrm{tr}\left(\exp(-\beta \hat{\mathcal{H}})\right) )] 단순한 에너지 합 또는 적분이 아니라 왜 이런 [math(\exp(-\beta \epsilon_i))]같은 지수함수가 들어가는 정의를 해야 하는 지 의문스러울 수 있다. 그 이유는 캐노니컬 앙상블을 가정하고 미시상태의 존재확률을 계산하다 보면 알게 된다. 모든 확률값의 합은 1이 되어야만 한다는 확률의 정의를 만족시키기 위해 자연스럽게 정규화 인자로 등장하기 때문이다. 이에 대한 조금 더 만족스러운 해석 방법으로는, 에너지에 대한 일종의 [[집합 판별 함수|특성 함수]]의 역할을 하는 것으로 이해할 수 있다. 에너지의 [[확률 밀도 함수]]에 대하여 [[라플라스 변환]]을 한 것으로 이해해도 무방하기 때문이다. 실제 [[집합 판별 함수|특성 함수]]는 확률 밀도 함수의 [[푸리에 변환]]이긴 하지만. == 분배함수와 물리량과의 관계 == 분배함수[math( Z )]와 각종 물리량들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다. 계의 내부 에너지와 분배함수 [math( \displaystyle = - \frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} )] [[자유 에너지#s-4|헬름홀츠 자유에너지]]와 분배함수 [math( \displaystyle F = - {1 \over \beta}\ln Z )] [[엔트로피]]와 분배함수 [math( \displaystyle S = {\partial \over \partial T }({k_B T}\ln Z) )] 열용량과 분배함수 [math( \displaystyle C_v = - {\partial \over \partial T}\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta} )] == Grandcanonical Partition Function == [include(틀:문서 가져옴, title=통계역학, version=r73, paragraph=2.1.3)] 그랜드 캐노니컬 앙상블에서는 열린계가 되기 때문에 이제 입자수도 일정한 상수가 아니게 된다. 따라서 새로운 분배함수를 정의해야 한다. 자세한 유도와 증명은 [[통계역학#s-2.1.3|그랜드 캐노니컬 앙상블]]을 보자. 그랜드 캐노니컬 분배함수는 새로이 모든 입자수에 대해서도 가중합을 취하는 것으로 정의할 수 있다. [math( \displaystyle \mathbb{Z} = {\sum_{N_i} \sum_{\epsilon_i} \exp(- \beta \epsilon_i + \beta \mu N_i)})] 이 또한 마찬가지로 위상공간의 연속된 적분으로도 정의가능하다. [math( \displaystyle \mathbb{Z} = {\sum_{N = 0}^{\infty} {1 \over h^{3N} N!}\int d^{3N}q d^{3N}p \exp(- \beta \mathcal{H}(p,q) + \beta \mu N)})] 캐노니컬 앙상블에서의 [[분배함수]]가 [math( \displaystyle Z(T,V,N) = {1 \over h^{3N}} \int d^{3N}q d^{3N}p \exp(- \beta \mathcal{H}(p,q)))] 이었음을 상기하면 {{{+1 [math( \displaystyle \mathbb{Z}(T,V, \mu) = \sum_{N = 0}^{\infty} \exp(\beta \mu)^N Z(T,V,N))]}}} 또는 {{{+1 [math( \displaystyle \mathbb{Z}(T,V, \mu) = \sum_{N = 0}^{\infty} z^N Z(T,V,N))]}}} 여기서 특히 [math( \exp(\beta \mu) = z)]이고 fugacity 혹은 '휘산도'라고 부른다. 또한 위 식으로부터 그랜드 캐노니컬(혹은 매크로 캐노니컬)앙상블의 그랜드 캐노니컬 [[분배함수]](Grand canonical partition function)은 모든 캐노니컬 [[분배함수]](Canonical partition function)의 휘산도(fugacity)라는 가중인자에 대한 가중합임을 알 수 있다. == 관련 문서 == * [[통계역학]] [[분류:물리학]]