[include(틀:특수함수의 목록)]

[목차]

== 정의 ==
{{{+1 incomplete gamma function}}}

불완전 감마 함수는 다음과 같이 정의된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \Gamma( a,\,x ):=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}\,{\rm d}t)]}}}
[[감마 함수]]는 위 식에서 [math(x=0)]인 경우에 해당한다. 불완전이라는 이름이 붙은 이유는 적분 구간이 감마 함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비[[초등함수]]로 분류되긴 하지만 [math(a)]가 [math(a>1)]인 [[정수]]인 경우에는 유한 개의 초등함수의 결합으로 표현이 가능하다.

이 함수와 관련하여 '하부 불완전 감마 함수'가 있는데 다음과 같이 정의된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \gamma ( a,\,x ):=\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}{\rm d}t)]}}}

== 도함수 ==
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\dfrac{\partial}{\partial x}\Gamma ( a,\,x)=-x^{a-1}e^{-x})]}}}

== 응용 ==
이 함수의 정의를 이용하여 여러 함수의 [[역도함수]]를 구해볼 수 있다.

||<table width=100%>'''예 1'''
-----
[math(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x}\,{\rm d}x)]를 구하시오. ||

[math(x=-t)]로 치환하면, [math({\rm d}x=-{\rm d}t)]이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle -\int \frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t)]}}}
이는 위 정의에서 [math(a=0)], [math(x=t)]를 대입한 꼴이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle -\int \frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t=-\Gamma(0,\,t) )]}}}
이상에서 역도함수는 적분 상수 [math(\sf{const.})]를 도입하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x}\,{\rm d}x=-\Gamma(0,\,-x)+\sf{const.})]}}}
한편, [[지수 적분 함수|[math({\rm Ei}(x)\equiv - \Gamma ( 0,\,-x ))]]]로 정의한다.


||<table width=100%>'''예 2'''
-----
[math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln{x}}\,{\rm d}x)]를 구하시오. ||

[math(\ln{x}=t)]로 치환하면, [math({\rm d}x=e^{t}\,{\rm d}t)]이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t}\,{\rm d}t)]}}}
이는 '''예 1'''에서 보았던 꼴이므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln{x}}\,{\rm d}x=-\Gamma(0,\,-\ln{x})+\sf{const.})]}}}
마찬가지로, [[로그 적분 함수|[math({\rm li}(x)\equiv -\Gamma(0,\,-\ln{x}))]]]로 정의한다.


||<table width=100%>'''예 3'''
-----
[math(\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm d}x)]를 구하시오. ||

[math(\ln{x}=\sqrt{t})]로 치환하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle{\rm d}x=\frac{{\rm d}t}{2\sqrt{t}})]}}}
이므로 적분은 아래와 같이 바뀐다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,{\rm d}t=\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot\left( -\int t^{1/2-1}e^{t}\,{\rm d}t\right) )]}}}
위 정의에서 [math(a=1/2)]인 경우가 위 적분식과 동일하므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,{\rm d}t=-\frac{1}{2}\Gamma\biggl(\frac{1}{2},\,t \biggr))]}}}
이상에서 역도함수는 적분 상수 [math(\sf{const.})]를 도입하여
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=-\frac{1}{2}\Gamma\biggl(\frac{1}{2},\,x^{2} \biggr)+\sf{const.})]}}}
한편,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][[오차함수|[math({\rm erf}(x)\equiv -\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma\biggl( \dfrac 12,\,x^2 \biggr))]]]}}}
로 정의할 수 있는데, 위 둘과는 다르게 곱해지는 상수가 다르다.[* 정확히는 위 계산식에 [math({2}/{\sqrt{\pi}})]를 곱한 것이다.]

== 기타 ==
[[푸아송 분포]]의 [[누적 분포 함수]]에도 불완전 감마 함수가 등장한다.

== 관련 문서 ==
 *[[감마 함수]]

[[분류:비초등함수]][[분류:다변수함수]]