[[분류:해석학(수학)]]
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== 개요 ==
비탈리 집합(Vitali set)은 르베그 불가측 집합의 예시이다.

== 상세 ==
<math>E</math>를 양의 르베그측도를 갖는 <math>\mathbb{R}</math>의 임의의 유계 부분집합이라고 하고, <math>E</math>에 [[동치관계]] <math>\sim</math>를 아래와 같이 정의하자.
 <math>x\sim y \iff x-y \in \mathbb{Q}</math>
그러면, [[선택공리]]에 의해서, 각 동치류에서 대표 원소를 1개씩 뽑을 수 있다. 이렇게 뽑은 대표 원소들의 집합을 <math>V</math>라고 하자. 그러면, <math>V</math>는 르베그 불가측 집합이다.

=== 증명 ===
서로 다른 임의의 <math>q_{1}</math>, <math>q_{2}\in\mathbb{Q}</math>에 대해 <math>(V+q_{1})\cap (V+q_{2})=\varnothing</math>인 것에 주목하자. 집합 <math>E</math>가 유계이므로, 
 <math>V \subset E \subset [-a,a]</math>
인 양수 <math>a</math>가 존재한다. <math>I=[-2a,2a]\cap \mathbb{Q}</math>라고 하자. 그러면, 임의의 <math>x\in E</math>에 대해서, 적당한 유리수 <math>q\in I</math>가 존재해서, <math>x\in V+q</math>이 성립한다. 즉,
 <math>E\subset \displaystyle\bigcup _{q\in I}(V+q)</math>.
이제, <math>V</math>가 르베그 가측집합이라고 가정하면 르베그 측도의 이동불변성에 의하여 <math>V+q</math>도 가측이고, <math>m(V+q)=m(V)</math>가 성립하여,
 <math>m(E)\leq m\left(\displaystyle\bigcup_{q\in I}(V+q)\right)= \displaystyle\sum_{q\in I } m(V+q) =\sum_{n=1}^{\infty}m(V)</math>
이다. 그런데, <math>\cup_{q\in I}(V+q)</math>는 유계이므로, <math>0<m(\cup_{q\in I}(V+q))<\infty</math>인데, <math>\sum_{n=1}^{\infty}m(V)<\infty</math>이려면, <math>m(V)=0</math>이여야 하므로, 모순이다.