[include(틀:이산수학)]
[목차]
== 개요 ==
[include(틀:영상 정렬, url=bOXCLR3Wric)] [* Ref : [[3Blue1Brown]], 생성함수를 이용해 집합의 개수를 세는 영상]
[[조합론]] 등의 수학 분야에서 '''생성함수'''(generating function)란 [[수열]]에 대해 특정 함수를 생각하는 것으로, 가장 일반적인 버전은 수열 [math(\{a_n\}_{n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}} )]의 생성함수를 다음처럼 정의하는 것이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots )] }}}

보통 생성함수라고 하면 이 일반생성함수(ordinary generating function)를 의미하고, 다른 종류의 생성함수도 생각할 수 있다. [math(x^n)]을 다른 것으로 대체해서 사용하는데, 이에 대해서는 아래의 '여러 가지 생성함수' 항목을 참고. 다만 같은 꼴의 [[연속함수]]와 구분하기 위해 [[최대 정수 함수]]를 사용하여 [math(A(\lfloor x\rfloor))]로 표기하기도 한다.

기본적인 쓰임은 수열의 정보를 다른 공간으로 옮겨서 단순하게 만들고, 함수를 풀어 역으로 수열에 대한 정보를 얻는 것이다. 조합론에서의 보통의 상황은 [[점화식]]이나 [[경우의 수]] 형태로 주어지는 미지의 수열을 푸는 것이 대부분. 중등 교과과정에는 없지만 이걸 활용하면 고교 수준의 [[점화식]]을 포함한 여러 수열/경우의 수 문제들을 비교적 초등적으로 풀 수 있기 때문에 수학 경시대회에서 종종 등장한다. 고급과정에서는 일반항을 완전히 풀지 못하는 더 어려운 식들도 생성함수를 해석적으로 분석해서 수열의 근사식을 얻는 경우도 많다.

[[미분방정식]]을 안다면 어찌 [[라플라스 변환]]과 비슷하다고 느낄 수 있을 것이다. 우선 컨셉도 비슷하고, 당장에 수많은 성질들이 (선형성, 함수의 곱과 합성곱 등) 겹친다. 이는 의도된 것으로, 실제로 역사에서도 라플라스가 라플라스 변환 이전에 먼저 생각한 것이 이 생성함수의 개념이었다. 이산적인 공간에서의 생성함수를 연속적인 공간으로 일반화한 것이 라플라스 변환이라고 생각할 수 있기 때문에, 라플라스 변환의 성질에서 생성함수의 성질이 따라나오는 것은 자연스럽다. 조합론에서 보는 생성함수와는 조금 다른 느낌이 있는 이 해석은 현대에 '''Z-변환'''(Z-transform)이란 이름으로 주로 공학 계열에서 많이 불리게 된다. 같은 대상을 묘사하지만 '생성함수'와 'Z-변환' 두 이름은 순수수학과 응용수학스러운 온도차이가 있다고 생각하면 될 것이다.

사소하지만 주의할 점은, 조합론에서의 생성함수는 [[함수]]가 아닐 수도 있다. 즉, 위에서 정의한 [math(A(x))]가 [math(0)]을 제외한 어떤 값 [math(x)]에 대해서 수렴하지 않아도, 저 생성함수는 항상 생각할 수 있다. 조합론에서 다루는 생성함수는 '''형식 멱급수'''(formal power series)로, 즉 급수의 수렴성은 완전히 무시하고 [math(x)]를 그저 기호로 보는 것이다. 저 형식 멱급수 위에서도 덧/뺄셈, 곱셈을 잘 생각할 수 있고(즉, [[환(대수학)|환]]이 된다) 첫 항이 [math(0)]이 아니면 나누기도 가능하다. 물론 일단 수렴성을 증명했으면 [math(x)]를 실수 혹은 복소수값으로 놓고 신나게 [[해석학(수학)|해석학]]을 하는 건 당연히 가능하다.

== 조합론에서의 쓰임 ==

=== 기본적인 성질 ===
 * [[등차수열]]: [math( a_n = pn+q)]의 생성함수는 [math( \dfrac{px}{(1-x)^2} + \dfrac{q}{1-x} )]이다. 아래의 중복조합 공식의 특수한 경우.
 * [[등비수열]]: [math( a_n = r^n )]의 생성함수는 [math( (1-rx)^{-1})]이다.
 * [[이항계수]]: [math(\displaystyle a_n = \binom{m}{n} )]의 생성함수는 [math((1+x)^m)]이다.
 * [[중복조합]]: [math(\displaystyle a_n = \binom{m+n-1}{n} )]의 생성함수는 [math((1-x)^{-m})]이다.

생성함수에선 다음의 세 성질이 기본으로 활용된다. 수열 [math(a_n)], [math(b_n)]의 생성함수를 각각 [math(A(x))], [math(B(x))]라고 하자. 그럼
 * (선형성) [math(p A(x)+ q B(x))]에 대응되는 수열은 [math(\{p a_n + q b_n\})]이다.
 * (평행이동) [math(x A(x))]에 대응되는 수열은 [math(\{a_{n-1}\} = (0,\,a_0,\,a_1,\,\cdots))]이다.
 * (합성곱) [math(C(x)=A(x) B(x))]에 대응되는 수열은 이들의 '''합성곱'''(convolution) [math(\displaystyle c_n = \sum_{m=0}^{n} a_m b_{n-m} = a_n b_0 + a_{n-1} b_1 + \cdots + a_1 b_{n-1} + a_0 b_n)] 이다.

사실 많은 경우에서 생성함수는 [[매클로린 급수]]랑 다른 게 전혀 없다. 테일러 급수에서 성립하는 것은 형식멱급수에서도 적용 가능하기 때문에, 생성함수의 수렴 반경이 [math(0)]보다 크다면 생성함수에 대해 [[테일러 정리]]가 적용 가능하기 때문. 대신 그 반대는 성립하지 않는다.

조합론에서 생성함수의 진가는 이들의 조합적인 의미, 특히 합성곱의 의미와 연결된다. 수열 [math(a_n)], [math(b_n)]이 대략 [math(\mathscr{A})], [math(\mathscr{B})]에서 [math(n)]개를 뽑는 방법의 수라고 하면, 이들의 합성곱 [math(c_n)]은 [math(\mathscr{A})], [math(\mathscr{B})]에서 합쳐서 [math(n)]개를 뽑는 방법의 수가 된다. 이걸 이용해서 [[이항정리]]의 [math((1+x)^m)]은 사실 [math((1+x))]를 [math(m)]번 합성곱해서 나온 거라던지 (본질적으로 보면 이게 [[이항정리]]의 생성함수스러운 증명이다), 중복조합을 [math((1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \cdots)]의 [math(m)]중 합성곱으로 해석한다던지 등등. 조합론을 배우다 보면 익숙해지는 기법이다.

=== 예시 1: [[피보나치 수열]] ===
[[피보나치 수열]]은 다음의 점화식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f_n = \begin{cases} 0 & \text{if }n=0 \\ 1 & \text{if}\ n=1 \\ f_{n-1} + f_{n-2} & \text{if}\ n \ge 2\end{cases} )] }}}
으로 주어지는 수열이다. 이 수열의 생성함수 [math(F(x))]는 다음과 같이 주어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle F(x) = \frac{x}{1-x-x^2} )] }}}
이는 수열 [math(f_{n-1})], [math(f_{n-2})]에 대응되는 생성함수가 각각 [math(x F(x))], [math(x^2 F(x))]로 주어져서, 이들의 차이인 [math(F(x) - x F(x) - x^2 F(x) )]의 항이 (점화식 때문에) 2차 이상으로는 사라지기 때문. 상수항과 1차항을 계산하면 [math(F(x) - x F(x) - x^2 F(x) = x)]임을 얻을 수 있다.

이제 이 [math(F(x))]에서 어떻게 [math(x^n)]계수를 뽑아낼까가 문제가 된다. [[부분분수분해]]를 이용한 풀이는 다음과 같다. 우선 분모를 인수분해해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 1-x-x^2 = (1-\alpha x)(1-\beta x))], [math((\alpha,\,\beta) = \left(\frac{1+ \sqrt{5}}{2},\,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) )] }}}
라 할 수 있다. 그리고 통상적인 부분분수분해로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \frac{x}{(1-\alpha x)(1-\beta x)} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( \frac{1}{1 - \alpha x} - \frac{1}{1-\beta x} \right) )] }}}
을 얻는다. 이제 [math(\displaystyle (1-\alpha x)^{-1} = \sum_n \alpha^n x^n )]을 생각하면 [math(F(x))]의 맥클로린 전개식으로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f_n = \frac{1}{\alpha-\beta} (\alpha^n - \beta^n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right\} )] }}}
을 구한다. 비네의 공식의 풀이.

한편 위 생성함수는 다음처럼 분석할 수도 있다. ([math(|x+x^2|<1)] 범위에서)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle F(x) = \frac{x}{1-x-x^2} = x \sum_{m=0}^{\infty} (x+x^2)^m )] }}}
우변 중 [math(x(x+x^2)^m)]에서 [math(x^n)]의 계수는 [math( (1+x)^m)]에서 [math(x^{n-m-1})]의 계수와 같다. 따라서 피보나치 수열의 다음 일반항을 얻어낼 수도 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle f_n = \sum_{\lfloor n/2\rfloor \le m \le n} \binom{m}{n-m-1} )] }}}
이 식은 [[파스칼의 삼각형]]에서 기울어진 대각선 위의 숫자들의 합으로 해석할 수 있다.

=== 예시 2: [[조화수(수학)|조화수]] ===
[[조화수(수학)|조화수]]는 다음의 점화식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1k=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n )] }}}
로 주어지는 수열이다. 이 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_nx^n=-\frac{\ln(1-x)}{(1-x)} )] }}}
다음처럼 로그 함수의 [[테일러 급수/목록#s-8|매클로린 급수]]를 사용해서 얻을 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty}H_nx^n&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac1kx^n \\
&=\frac11x^1+\left(\frac11+\frac12\right)\!x^2+\left(\frac11+\frac12+\frac13\right)\!x^3+\cdots \\
&=\frac11(x^1+x^2+x^3+\cdots)+\frac12(x^2+x^3+\cdots)+\frac13(x^3+\cdots)+\cdots \\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k(x^k+x^{k+1}+\cdots) \\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k\frac{x^k}{1-x} \\
&=\frac1{1-x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}k \\
&=-\frac{\ln(1-x)}{(1-x)}
\end{aligned} )] }}}

=== 점근적 분석 ===
계수가 상수인 선형[[점화식]]이면 위의 피보나치 수열과 비슷한 방법으로 일반항을 풀어낼 수 있다. ([[점화식]] 문서도 참조) 다만 대부분의 점화식은 생성함수는 쉬워도 이렇게 일반항을 풀어내는 것은 불가능하다. 대신에 생성함수를 이용해서 항의 크기가 어느 정도인지를 어림하는 방법을 쓸 수가 있다.

가장 큰 역할을 하는 것은 생성함수의 수렴반경이다. 만약 수열 [math(a_n)]의 생성함수 [math(A(x))]가 수렴반경 [math(r>0)]을 갖고 있으면, 아다마르 판정법[* 복소계수 멱급수 [math(\sum a_n x^n)]의 수렴반경이 [math( \displaystyle r = ( \limsup |a_n|^{1/n} )^{-1} )]로 주어진다는 정리]에 의해 [math(a_n)]이 '얼추' [math(r^{-n})] 정도의 크기를 갖는다고 생각할 수 있다. 물론 이게 [math(a_n \sim r^{-n})] [* [math(a_n \sim b_n)]은 보통 [math(\lim (a_n/b_n) = 1)]의 의미이다.]임을 의미하지는 않는다. 다음의 예시를 보면 분명하다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}, \quad 1 + 2x + 3x^2 + \cdots = \frac{1}{(1-x)^2} )] }}}
다만, 일반적으로 생성함수에서 [math((1-x/r)^{-1})]이 몇번 곱해졌는지가 항의 크기를 좌우한다는 것은 맞다. [[복소해석학]] 중 특히 유수(residue)에 대한 지식이 있다면 다음의 역변환을 생각할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint A(z) \frac{\mathrm{d}z}{z^{n+1}} )] }}}
여기서 경로는 복소평면의 중심 [math(0)]점을 한바퀴 도는 어떤 경로라도 가능하다. 만약 [math(A(z))]를 수렴반경을 넘어 해석적 확장을 하는 것이 가능하다면 (쉬운 말로 표현하면 넓은 범위에서 정의되는 쉬운 식으로 나타내는 것이 가능하다면), [math(A(z))]의 극점(pole) 중 절대값이 가장 작은 곳에서 [math(A(z) z^{-n-1})]의 유수로 [math(a_n)]의 근사값을 구할 수 있다. 특히 극점이 [math(x=r)]이고 그 지수가 [math(k)]라면 [math(a_n \sim r^{-n} P_{k-1}(n))] ([math(P_{k-1})]: [math((k-1))]차 다항식)이라 말할 수 있다.

물론 해석적 확장이 가능하여 유수 공식을 사용 가능한 경우는 운좋은 경우에 속한다. [math(A(z))]가 수렴반경 바깥에서 정의되지 않으면 극점을 포함하는 적분경로를 잡을 수 없으므로 유수 공식을 쓰는 것은 불가능하다. 예를 들어 [[분할수]]의 생성함수
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle P(x) = \sum_n p(n) x^n = \prod_k (1-x^{-k})^{-1} = \frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots} )] }}}
는 수렴반경 바깥인 [math(|x| \ge 1)]의 영역으로 확장하는 것이 불가능하다. 이런 경우에는 수렴반경에 근접하는 원 위에서 적분을 하여 근사값을 구하고, [math(A(z))]가 가파르게 진동하는 (보통 무한개의) 구간을 분리해내어 주항을 찾아내는 노가다를 해야 한다. 이것을 하디-리틀우드 원 방법(circle method)이라 하고, 저 분할수의 경우는 원 방법과 모듈러 형식의 성질 등을 총동원하여 일반항 및 근사식(하디-라마누잔-라데마커 공식)을 구해내는 것이 가능하다고 한다. 정수론에서는 굉장히 중요한 방법으로, [[골드바흐 추측]] 중 약한 추측을 증명하는 Vinogradov와 Helfgott의 풀이 기법이기도 하다.

== Z-변환 ==
Z-변환의 경우, 생성함수와 컨셉은 똑같지만 표기 및 관습에는 차이가 있다.
 * 양방향 수열, 즉 음의 정수 위에서도 정의된 수열 [math((\cdots,\,x_{-2},\,x_{-1},\,x_0,\,x_{1},\,x_{2},\,\cdots))]에 대해서 보통 생각한다.
 * 변수는 보통 [math(z)]이다. Z-변환이니까.
 * 통상의 경우 [math(x_n)]과 곱해지는 것은 [math(z^n)]이 아니라 [math(z^{-n})]이다.--(응?)-- 극소수의 경우 [math(z^n)]을 곱하는 관습도 있다.
이상을 종합하여 공학에서 사용하는 표기는 보통 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mathcal{Z} \{x\}(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n} )] }}}
왜 [math(z^{-n})]을 곱하는지는 [[라플라스 변환]]과의 연관성 때문인데, 아래 절을 보면 분명해진다. 또한 Z-변환은 해석적인 쓰임새 때문에 조합에서의 생성함수와는 다르게 수렴 반경이 꽤 중요해진다.

=== 적분변환과의 연관성 ===
[[이산]]적인 상황에서 [[라플라스 변환]]을 생각한 것이 바로 이 Z-변환이라 이해할 수 있다. 다음 두 식을 비교해보면 딱 봐도 비슷하다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{Z}\{x\} (e^{s}) &= \sum_{n} e^{-sn}x[n] \\ \mathcal{L}\{f\} (s) &= \int e^{-st} f(t)\,\mathrm{d}t \end{aligned})] }}}
만약 [[스틸체스 적분]]을 알고 있다면 다음처럼 이 과정을 보다 엄밀하게 만들 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n} e^{-sn}\,x[n] &= \int e^{-st}\,\mathrm{d}X(t) \\ X(t) &= \begin{cases} \sum_{0 \le n < t} x[n] & \text{if }t \ge 0 \\ -\sum_{-t < n < 0} x[n] & \text{if } t<0 \end{cases} \end{aligned} )] }}}
어찌 되었건 보통 [[라플라스 변환]]이 연속적인 신호에 대해서 이루어진다면, 이것을 그대로 이산적인 신호에 대해 적용한 것이 Z-변환이라고 볼 수 있는 것이다. 이로써 따라나오는 사실들은 다음과 같은 것들이 있다.
 * 라플라스 변환의 성질은 대개 Z-변환에서 그대로 성립한다. (평행이동, 합성곱 등등)
 * 대신 라플라스 변환의 미분이 여기서는 차분, 즉 계차 [math(x[n]-x[n-1])]로 변경된다. 미분방정식의 라플라스 변환 풀이는 선형점화식의 풀이로 변형된다. 이쪽 업계에서는 차분방정식/계차방정식(difference equation) 이란 이름이 더 자주 쓰인다.
 * 라플라스 변환의 [math(s)]항이 [math(e^{ts})] 세기의 감쇠항과 대응되는 것처럼, Z-변환의 [math(r)]항은 수열 중 [math(r^n)] 크기의 감쇠항과 대응된다. 이것이 보통 Z-변환에서 [math(z^{-n})]을 곱하는 이유이다.
[[푸리에 변환]]의 경우에도 위에서 [math(e^s)] 대신에 [math(e^{is})]를 넣으면 비슷해진다.

=== 공학에서의 쓰임 ===
[[라플라스 변환]]과 [[푸리에 변환]]이 주로 연속적인 신호 분석에 쓰였던 것만큼이나, Z-변환은 디지털 신호를 다루는 데에 사용될 수 있다. 당장 이산 시간 푸리에 변환이 이 Z-변환의 일종이다.

혹은 연속적인 시스템을 수치적으로 계산할 때 쓰일 수도 있는데, 이산 푸리에 변환, 고속 푸리에 변환 등의 예시가 있다.
== 여러 가지 생성함수 ==
수열 [math(a_n)] 뒤에 [math(x^n)]이 아니라 다른 함수꼴을 곱해서 더하면 다양한 생성함수를 생각할 수 있고, 이 중 중요한 의미를 갖는 것들은 특정 이름이 붙는다. 여기 소개된 것 말고도 정말 수많은 종류의 생성함수들이 있다.

=== 지수 생성함수 ===
생성함수로 [math( \sum_n (a_n x^n)/n! )]을 생각하는 것을 지수 생성함수라 한다. 일반 생성함수처럼 선형성 등은 성립하지만, 다음과 같은 특수한 합성곱이 적용된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle c_n = \sum_{m=0}^{n} \binom{n}{m} a_m b_{n-m} )] }}}
만약 [math(a_n)], [math(b_n)]이 [math(\mathscr{A})], [math(\mathscr{B})]에서 [math(n)]개를 뽑아 줄세우는 방법의 수라고 한다면, 위의 [math(c_n)]은 [math(\mathscr{A})], [math(\mathscr{B})]를 합친 곳에서 [math(n)]개를 뽑아 줄세우는 방법의 수로 간주할 수 있다. 즉, 일반 생성함수가 [[조합]] 계열을 나타내는 데에 적합하다면 지수 생성함수는 [[순열]] 계열을 나타내는 데에 적합하다.
예시로 수열 [math(a_n=k^n)]는 지수생성함수 [math(e^{kx})]를 갖고 있는데, [math(\{1,\,2,\,\cdots,\,k\})]에서 [math(n)]개를 중복해서 뽑아 줄세우는 중복[[순열]]의 수로 생각할 수 있다. 이 맥락에서 곱셈 [math(e^{kx} e^{lx} = e^{(k+l)x})]는 [math(\{1,\,2,\,\cdots,\,k\})]와 [math(\{1',\,2',\,\cdots,\,l'\})]에서 [math(n)]개를 중복해서 뽑아 줄세우는 중복순열이 (당연하게도) [math((k+l)^n)]개라는 것과 대응된다.

=== 디리클레 급수 ===
사실상 [[정수론]]에서만 쓰이는 생성함수의 일종으로, [math(\sum_n a_n n^{-s} )]를 생각한다. 여기서 [math(s)]는 복소변수이다. 함수의 모양 특성상 수렴반경이 원형이 아니라 [math(\Re(s)>k)]의 형태로 주어진다. 디리클레 급수의 변수가 [math(s)]가 된 것은 전적으로 [[정수론]]에서의 [[베른하르트 리만]]의 업적 때문이다.

당장에 생각나는 예시는 보통 [[리만 가설]]의 리만 [[제타 함수]]
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots )] }}}
일 것이다. 실제로 이게 제일 원조기도 하고. 역사적으로 그 다음에 나온 디리클레 급수는 디리클레가 고안한 디리클레 지표(Dirichlet character)라 불리는 수열에 대한 것으로, 디리클레 지표에 대한 디리클레 급수를 보통 디리클레 L-급수라 부르기도 한다. '[math(an+b)]꼴 등차수열에서 [math(a)], [math(b)]가 서로소이면 무수히 많은 소수가 있다'는 디리클레의 정리를 증명할 때 사용되었다.

생성함수의 합성곱이 자연수의 합과 연관된 것과 대조적으로, 디리클레 급수는 정수의 곱셈 성질에 대한 정보를 품고 있다. 예로 디리클레 급수 버전의 합성곱은 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)이라 불리며 다음과 같이 주어진다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle c_n = \sum_{d \vert n} a_d b_{n/d} = \sum_{n=xy} a_x b_y )] }}}
보통 [math(c = (a * b))] 로 쓴다. 예시로 [math(1 * 1)] 같은 건 약수의 개수, [math( 1* n)]은 약수의 합이 된다! 이런 식으로 얻어낸 디리클레 급수들에 대해 위에 언급한 점근적 분석을 비슷하게 적용해서, 약수의 평균 개수나 총합, 소수의 개수 등의 결과를 얻는 것이 [[해석적 정수론]]의 주된 내용이다. 특히나 수많은 디리클레 급수들이 [[소수(수론)|소수]]에 대한 곱으로 나타나지기 때문에, 이는 소수의 성질을 밝혀내는 데에 매우 유용하다.

디리클레 급수와 관련된 책으로는 <The General Theory of Dirichlet's Series>가 유명하다. 더 상세한 내용을 알고 싶을 때 참고하면 좋다.

=== 적률(모멘트) 생성함수 ===
[[확률론]]에서는 [[확률변수]] [math(X)]에 대한 적률(모멘트) 생성함수를
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}] )] }}}
로 정의한다. 여기서 [math(X)], [math(t)]는 보통 실수값 한정이다. 이름이 붙여진 이유는, 이 생성함수의 테일러 전개인 [math(\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{E}[X^n] (t^n/n!))]의 계수 [math(\mathbb{E}[X^n])]을 보통 [math(n)]차 모멘트라 부르기 때문. 물론 당연히 모든 모멘트가 존재해야 정의할 수 있다. 실제로 모멘트와 모멘트 생성함수는 확률변수보다는 확률분포에 고유한 것으로, 확률분포 [math(\mu)]에 대해서 [math(\displaystyle M_{\mu}(t) = \int e^{tx}\mathrm{d}\mu(x))]로 정의하는 것이 더욱 일반적이다.

생성함수의 합성곱 성질은 확률변수의 합에 대한 것으로 옮겨지는데, 정확히는 [math(X)], [math(Y)]가 독립이면 [math(M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t))]가 성립한다. 이는 어찌 보면 생성함수의 조합적인 이해를 연속적이거나 일반적인 상황에 적용시켰다고 볼 수 있다. 주사위를 던질 때 등등 이산확률변수의 경우 이 모멘트 생성함수는 [math(e^t)]를 변수로 갖는 생성함수와 거의 취급이 동일해지기 때문. 이러한 이유로 [[중심극한정리]] 등의 증명에 핵심이 되는 내용이다.

[[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution|코시 분포]]처럼 모멘트가 존재하지 않거나 심지어 평균이나 분산조차 없는 수많은 확률분포들이 있으므로, 나중 가면 특성함수(characteristic function)이라 불리는 [math( \varphi_X(t) = \mathbb{E} [e^{itX}])]를 더 자주 생각하는 편이다. 이건 어떤 확률변수나 분포이건 절대값 [math(1)] 안에서 놀기 때문.

=== [[오일러 수열]], [[베르누이 수열]] 생성함수 ===
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} E_n &= \mathrm{sech}(\lfloor n \rfloor) \\
B_n &= \dfrac{\lfloor n \rfloor}{2} \left( \mathrm{coth} \left(\dfrac{\lfloor n \rfloor}{2} \right) - 1 \right)
\end{aligned} )] }}}
[[쌍곡선 함수]]를 이용해서 만드는 수열. 특히 베르누이 수열은 [[테일러 급수]]와 엮여서 상당히 자주 등장하는 수열이다.
== 관련 문서 ==
 * [[수열]]
 * [[점화식]]
 * [[급수(수학)]]
[[분류:이산수학]]