[[분류:한자어]][[분류:수학 용어]][[분류:산술]]
[include(틀:대수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 clock arithmetic · [[時]][[計]] [[算]][[術]], [[時]][[計]] [[代]][[數]][[學]]}}}

[[정수]][* 다른 [[수 체계]]를 이용해서도 만들 수 있으나, 시계 산술이 수학적으로 가치 있는 것은 정수이므로 보통 정수로 생각한다.]의 집합이 유한하다고 간주하는 산술. '[[시계]] 대수학'이라고도 한다. 대개 '[math(n)]시(時) 산술', '[math(n)]시 대수학', '[math(n)]진 정수' 등으로 불린다. 기호로는 [math(({\mathbb Z}_{n},\,+,\,\cdot))][* 정수에서 n개의 수를 순서를 주어 뽑고, [[덧셈]]과 [[곱셈]]을 준다는 의미.]으로 표기한다.

예를 들어 시계에서 12시에서 1시간이 경과하면 13시가 아니라 1시가 된다. 이를 수식으로 표현하면 [math(12 + 1 = 1)]이 되는데 좀더 수학적으로 표현하면 mod 연산을 써서 [math(12 + 1\equiv 1\left(\text{mod}\,12\right))]로 표기할 수 있다. 다만, 실제로 수학에서 다룰 경우는 1 ~ n 까지가 아니라 0 ~ n-1 까지를 범위로 한다. [[모노이드|덧셈의 항등원인 0이 있는 게]] 여러모로 편하기 때문.
== 상세 ==
예를 들어 '5시 대수학'에서는 정수가 0, 1, 2, 3, 4밖에 없고, 이 다섯 개의 수가 반복된다. 즉 4 다음에는 0이 오는 식. 따라서 이런 체계에서는
||<|2> ||<-5> [math(k)]는 [math(0)] 이상의 정수 ||
|| [math(5k)] || [math(5k+1)] || [math(5k+2)] || [math(5k+3)] || [math(5k+4)] ||
|| 5시 대수학  || [math(0)] || [math(1)] || [math(2)] || [math(3)] || [math(4)] ||

따라서, 5시 대수학에서는 2+4=1, 4×4=1 이런 식으로 된다.
이는 [[나머지]]와도 연관이 있다. 한마디로 어떤 수를 5로 나누었을 때 나머지가 다름 아닌 '5시 대수학'에서의 값이 된다.

시계 산술이 적용되는 [[정수]] [[체(대수학)|체]]를 [[유한체]]라고 한다. 위의 5시 대수학에서는 [[1학년의 꿈|[math((a+b)^5 = a^5+b^5)]]]이 성립하는 말도 안되는 결과를 낼 수 있다.[* [[소수(수론)|[math(p \in {\mathbb P})]]]인 [math(p)]시 대수학에서 모두 성립하는 성질이다. 저 [math(p)]를 해당 체의 표수(characteristic)라고 한다.] [[나눗셈]] 또한 이질적인데 [[확장된 유클리드 호제법]][* 이를 이용해 [[잉여역수]], 즉 곱해서 1이 되는 수를 구하는 것이다.]을 이용한다.

[[합동식]], [[순환군]]과도 관련이 있다.
== 기타 ==
[[각도|일반각]]도 같은 맥락이라고 볼 수 있다. 한 바퀴를 돌 때마다 각이 반복되기 때문.[* 사실 이 설명은 [[논리적 오류/비형식적 오류#s-3.33|앞뒤가 바뀌었다]]고 볼 수 있는데, 일반각의 [[나머지|[math({\rm mod}\,2\pi)]]]를 [[지구]]의 자전주기의 절반에 대응시켜 만든 것이 시계이기 때문이다.]

[[컴퓨터]]에서는 [[오버플로#s-2]]를 통해 자주 접할 수 있다. 가령 [[32비트]] 정수형인 경우 [math(2^{31} - 1)] 다음의 수가 [math(-2^{31})]이 나오는 식.[* unsigned는 [math(2^{32} - 1)] 다음이 [math(0)]]