[[분류:기하학]]

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== 개요 ==
{{{+1 [[雙]][[曲]] honeycomb / hyperbolic honeycomb}}}

3차원 또는 그 이상의 [[비유클리드 기하학|쌍곡 공간]]에서 정의되는 [[허니컴]]. [[쌍곡 테셀레이션]]과 마찬가지로, 무수히 많은 종류의 쌍곡 허니컴이 존재한다.

== 3차원 정규 쌍곡 허니컴 ==
3차원 쌍곡 공간에서 정의되는 허니컴. 쌍곡 테셀레이션과 마찬가지로 [[슐레플리 부호]]를 이용해 {p,q,r}로 표기할 수 있다.

[[쌍곡 테셀레이션]]을 표현하기 위해 [[푸앵카레 원반]] 모형을 사용했듯, 쌍곡 허니컴은 푸앵카레 공(Poincaré ball) 모형을 사용해 표현할 수 있다.

슐레플리 부호의 두 숫자 중 최소 하나가 [[무한대]]여야만 파라콤팩트가 되었던 쌍곡 테셀레이션과 달리, 쌍곡 허니컴은 세 숫자가 모두 유한해도 파라콤팩트가 될 수 있다. 정규 쌍곡 허니컴 {p,q,r}은 다음과 같이 분류할 수 있다.

 * 셀 형태 {p,q}와 꼭지점 형태 {q,r}에 따라 다음과 같이 분류된다.
  * {p,q}, {q,r}이 둘 다 [[정다면체]]일 경우 콤팩트 쌍곡이 된다.
  * {p,q}, {q,r} 중 하나가 유클리드 [[테셀레이션]]이고, 나머지 하나가 쌍곡이 아니면 파라콤팩트 쌍곡이 되어 셀이 무한까지 뻗어나간다.
  * {p,q}, {q,r} 둘 중 하나라도 쌍곡이라면 논콤팩트가 되어 하나의 셀을 이루는 경계면이 서로 만나지 않는다.

|| 종류 || 셀의 크기가 유한 || 한 셀을 이루는 면이 서로 만남 ||
|| 콤팩트 || O || O ||
|| 파라콤팩트 || X || O[* 거리가 무한대인 지점(푸앵카레 공의 경계)에서 만난다.] ||
|| 논콤팩트 || X || X ||

4차원에는 콤팩트 쌍곡 허니컴 4종과 파라콤팩트 쌍곡 11종이 존재한다.

콤팩트 쌍곡은 셀의 크기가 무한대로 뻗어나가지 않으며, 파라콤팩트 쌍곡은 셀의 크기가 무한대로 뻗어나간다. 논콤팩트 쌍곡의 경우 셀을 이루는 각각의 면이 아예 한 지점에 수렴조차 하지 않는다.

쌍곡 테셀레이션을 푸앵카레 원반 위에 나타내듯, 이들도 푸앵카레 공 안에 구현할 수 있다. 쌍곡 테셀레이션과 허니컴 자체는 마찬가지로 무수히 많이 존재하나, 의미있는 콤팩트/파라콤팩트 허니컴은 15종밖에 없다.

 * 콤팩트 쌍곡 - 4종
  * {4,3,5} - 5차 정육면체 허니컴
  * {3,5,3} - 3차 정이십면체 허니컴
  * {5,3,4} - 4차 정십이면체 허니컴
  * {5,3,5} - 5차 정십이면체 허니컴
 * 파라콤팩트 쌍곡 - 11종
  * 셀이 정다면체인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 4종
   * {3,3,6} - 6차 정사면체 허니컴
   * {3,4,4} - 4차 정팔면체 허니컴
   * {4,3,6} - 6차 정육면체 허니컴
   * {5,3,6} - 6차 정십이면체 허니컴
  * 셀이 테셀레이션이고 꼭지점 형태가 정다면체인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 4종
   * {4,4,3} - 3차 정사각테셀레이션 허니컴
   * {6,3,3} - 3차 정육각테셀레이션 허니컴
   * {6,3,4} - 4차 정육각테셀레이션 허니컴
   * {6,3,5} - 5차 정육각테셀레이션 커니컴
  * 셀과 꼭지점 형태가 모두 테셀레이션인 파라콤팩트 쌍곡 허니컴 - 3종[* 이들은 모두 [[쌍대|자기쌍대]]다.]
   * {3,6,3} - 3차 정삼각테셀레이션 허니컴
   * {4,4,4} - 4차 정사각테셀레이션 허니컴
   * {6,3,6} - 6차 정육각테셀레이션 허니컴