[include(틀:기하학·위상수학)] [include(틀:대수학)] [목차] == 개요 == ||{{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [[파일:external/upload.wikimedia.org/HomotopySmall.gif|width=100%&align=center]]}}}|| || ▲ '''연속변형'''의 일종인 '''경로 연속변형'''. [[http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy|출처]] || {{{+1 Homotopy · [[連]][[續]][[變]][[形]]([[性]])}}} '''연속변형성''' 혹은 '''연속변형'''은 [[대수적 위상수학]]의 연구 주제 중 하나로 특정 [[위상공간]]에 주어진 두 [[연속함수]] 사이의 연속적인 변화를 주는 함수, 혹은 그 성질을 지칭하는 용어이다. == 정의 == ||<(> '''[ 정의 ]''' 연속변형성(Homotopy) ---- 위상 공간 [math(X, Y)]와 [[연속함수]] [math(f, g: X \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, 두 연속함수 [math(f, g)]가 '''[math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])'''이라 정의한다. * 함수 [math(H)]는 연속함수이다. * [math(\forall x \in X, \ \ H(x, t) = \begin{cases} f(x), & \textsf{if }t = 0 \\ g(x), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})] 이 때, 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 함수 [math(f, g)] 사이의 '''연속변형(Homotopy)'''이라 하고, [math(f \simeq_H g)][* 혼란의 여지가 없다면, [math(f \simeq g)]의 표현도 사용한다.]라 쓴다. || 구간 [math(I = [0, 1])]의 원소를 [[시간]]으로 보면, [math(t \in I)]가 흐름에 따라 함수 [math(h_t: x \mapsto H(x, t))]가 결정된다고 볼 수 있다. 연속변형이라는 것은 이 함수의 모임 [math(\left\{ h_t \right\} _{t \in I})]가 [math(f = h_0)]부터 [math(g = h_1)]까지 연속성을 유지하면서 옮겨가는 것이라고 이해할 수 있다.[* 그렇기 때문에 연속변형을 간단하게 [math(h_t: X \to Y(t \in I))]라고 표기하기도 한다. 단, 이 표기는 [math(t)]에 의한 연속성이 명시적으로 표현되지 않아 혼란을 초래할 수 있으므로 주의가 필요하다.] == 성질 == === 연속변형류(Homotopy class) === ||<(> '''[ 명제 ]''' 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수들의 집합 [math(\mathcal C(X, Y))]에 관계 [math(\sim)]를 * [math(f \sim g \ \ \Leftrightarrow \ \ f, g)] 가 연속변형적 [math(\ \ \Leftrightarrow \ \ f \simeq g)] 으로 주면, [math(\sim)]은 [math(\mathcal C(X, Y))] 위의 [[동치관계]]. ---- {{{#!folding [ 증명 ] [math(f, g, h \in \mathcal C(X, Y))]라 하자. * [math(f \sim f)] : [math(H(x, t) = f(x))]라 정의하면 된다.[* 시간의 흐름과 무관하게 움직이지 않는다고 생각.] * [math(f \simeq_H g \ \Rightarrow \ g \sim f)] : [math(H'(x, t) = H(x, 1 - t))]라 정의하면 된다.[* Homotopy [math(H)]의 시간을 거슬러 움직인다고 생각.] * [math(f \simeq_{H_1} g, g \simeq_{H_2} h \ \Rightarrow \ f \sim g)] : [math(H_3(x, t) = \begin{cases} H_1(x, 2t), & \textsf{if }0 \leq t \leq \dfrac 12 \\ H_2(x, 2t - 1), & \textsf{if }\dfrac 12 \leq t \leq 1 \end{cases})]라 정의하면 된다.[* Homotopy [math(H_1, H_2)]를 2배의 속도로 따라간다고 생각. 함수의 연속성은 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Pasting_lemma|붙임 보조정리]]로부터 얻어진다.]□}}} || ||<(> '''[ 정의 ]''' 연속변형류(Homotopy class) ---- 위 사실로부터 얻어지는 상집합 [math(\mathcal C(X, Y) / \sim)]에 대하여, 각 함수 [math(f \in \mathcal C(X, Y))]는 동치류 [math([f] \in \mathcal C(X, Y) / \sim)] 를 가진다. 이 [math([f])]를 [math(f)]의 '''연속변형류(Homotopy class)'''라고 정의한다. || 정의에 따르면, [math([f] = [g] \Leftrightarrow f \simeq g)] 이다. === 연속변형 유형(Homotopy type) === ||<(> '''[ 정의 ]''' 위상 공간 [math(X, Y)] 사이의 연속함수 [math(f: X \to Y)]에 대하여, 다음을 만족하는 연속함수 [math(g: Y \to X)]가 존재할 때 [math(f)]를 '''연속변형 동치(Homotopy equivalence)''', [math(g)]를 [math(f)]의 '''연속변형 역원(Homotopy inverse)'''라 한다. * [math([fg] = [\text{id}_Y], [gf] = [\text{id}_X])] 이 때, 두 공간 [math(X, Y)]는 서로 '''연속변형 동치(Homotopy equivalent)'''라 부른다.[* [math(f)]의 이름도 연속변형 동치이지만, 함수와 공간의 차이가 있으므로 구별이 된다.] 서로 같은 '''연속변형 유형(Homotopy type)'''을 가진다고 표현하기도 한다. || == 관련 개념들 == === 경로 연속변형(Path homotopy) === ||<(> '''[ 정의 ]''' 경로 연속변형(Path homotopy) ---- 위상 공간 [math(X)]와 [[연속함수#경로(Path)|경로]] [math(f, g: [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 이 때 함수 [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow X)]가 존재하여 다음 성질들을 만족한다면, [math(H: [0, 1] \times [0, 1] \rightarrow Y)]를 경로 [math(f, g)] 사이의 '''경로 연속변형(Path homotopy)'''이라 부른다.[* 두 경로 [math(f, g)]는 [math(H)]에 의해 연속변형적(homotopic by [math(H)])인 것은 위 정의에 의해 명백. [math(f \simeq_H g)]나 [math(f \simeq g)]의 표현도 공유한다.] * 함수 [math(H)]는 연속함수이다. * [math(\forall s \in [0, 1], \ \ H(s, t) = \begin{cases} f(s), & \textsf{if }t = 0 \\ g(s), & \textsf{if }t = 1 \end{cases})] || 위에서 정의한 연속변형의 [[연속함수#경로(Path)|경로]] 버전. 함수의 정의역이 일반 공간이 아닌 구간 [math([0, 1])]로 바뀐 것으로, 당연히 연속변형의 일종이다. 따로 정의할 필요가 있을까 싶겠지만, [[대수적 위상수학]]의 [[기본군]](Fundamental group)을 다룰 때는 경로 연속변형만을 취급하는 일이 많다. === 부분공간을 고정한 연속변형(Homotopy relative to subspace) === ||<(> '''[ 정의 ]''' [math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)]) ---- 위상 공간 [math(X, Y)], 부분 공간 [math(A \subset X)]와 연속함수 [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 '''[math(A)]를 고정한 연속변형(Homotopy relative to [math(A)])'''이라 한다. * [math(\forall x \in A, \ \ H(x, t) = f(x) = g(x))][* 물론 이것이 성립하려면, [math(f \rvert_A \equiv g \rvert_A)]이어야 한다.] 이 때 [math(f \simeq_H g \textsf{ rel }A)]나 [math(f \simeq g \textsf{ rel }A)]로 나타낸다. || === 변형수축(Deformation retract) === ||<(> '''[ 정의 ]''' 변형수축(Deformation retract) ---- 위상 공간 [math(X)]와 부분 공간 [math(A \subset X)], 연속함수 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow X)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, [math(A)]를 '''[math(X)]의 변형수축(Deformation retract of [math(X)])'''라 한다. * [math(\forall x \in X, \ \ H(x, 0) = x = \text{id}_X(x))] * [math(\forall x \in X, \ \ H(x, 1) \in A)] * [math(\forall a \in A \ \forall t \in [0, 1], \ \ H(a, t) = a = \text{id}_A(a))] || 어떤 위상 공간이 그 부분공간으로 연속적 수축이 됨을 나타내는 용어. 단, 교재별로 세 번째 조건을 [math(H(a, t) \in A)]로 약화시킨 것을 정의로 삼기도 한다.[* 이렇게 정의할 경우, 본 문단에서 정의하는 것을 '''강한 변형수축(Strong deformation retract)'''라고 부른다.] 이렇게 두 공간 사이의 변형수축이 존재하면, 두 공간의 [[기본군]]이 같아지며 이를 이용하여 기본군을 계산하는 경우가 많다. === 동위(Isotopy) === ||<(> '''[ 정의 ]''' 동위(Isotopy) ---- 위상 공간 [math(X, Y)]와 매장(Embedding) [math(f, g: X \rightarrow Y)], 연속변형 [math(H: X \times [0, 1] \rightarrow Y)]가 주어져 있다고 하자. 만일 [math(H)]가 다음 조건을 만족하면, 연속변형 [math(H)]를 '''동위(Isotopy)'''라고 한다. * [math(\forall t \in [0, 1], \ \ h_t(x) = H(x, t))]로 정의된 [math(h_t: X \rightarrow Y)]도 매장이다. || [[분류:위상수학]]