== 개요 == 옙센-버크호프 정리(Jebsen-Birkhoff theorem)는 [[슈바르츠실트 해]]의 [[아인슈타인 텐서]]를 보여주는 선 요소(1)의 표준 형태에 해당하는 [[에너지-모멘텀 텐서]]에 대한 [[리치 텐서]] 행렬식(2)을 쉽게 보여줄수있다. [[노르웨이]]의 외르그 토프테 옙센(노르웨이어: Jørg Tofte Jebsen)이 1921년에 그리고 미국의 조지 데이비드 버크호프(George David Birkhoff)가 1923년에 각자 개별적으로 유도한 이러한 정리로부터 리치 텐서 및 아인슈타인 텐서에 용이하게 접근하고 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)를 이러한 빠른 경로로 접근해 이를 도출할수있다는 것이 옙센-버크호프 정리의 주요 핵심기능중 하나이다.[*가 Jebsen, J. T. ,Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum. (German) JFM 48.1037.02 , Ark. för Mat., Astron. och Fys. 15, No. 18, 9 p. (1921). [[https://zbmath.org/?format=complete&q=an:48.1037.02|#]]][*나 Birkhoff, G. D. Relativity and modern physics. With the cooperation of R. E. Langer. (English) JFM 49.0619.01 Cambridge: Harvard University Press, XI u. 283 S. 8∘(1923) [[https://zbmath.org/49.0619.01|#]]][*다 Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, P250,P251, §100 P254~257[[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229]] ][*바 (arXiv:gr-qc/0103103v1 28 Mar 2001)General Birkhoff’s Theorem ,Amir H. Abbassi ,Department of Physics, School of Sciences, Tarbiat Modarres University,[[https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0103103.pdf|#]]][* J. T. Jebsen,(English)On the general spherically symmetric solutions of Einstein’s gravitational equations in vacuo(Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum 1921), Published online: 22 November 2005 Springer-Verlag ,Gen. Relativ. Gravit. (2005) 37(12): 2253–2259 DOI 10.1007/s10714-005-0168-y][*라 Proc Natl Acad Sci U S A. 1933 May; 19(5): 559–563.doi: 10.1073/pnas.19.5.559 PMCID: PMC1086067 PMID: 16587786 ' Values of Tμν and Christoffel Symbols for a Line Element of Considerable Generality,Herbert Dingle [[https://www.pnas.org/doi/epdf/10.1073/pnas.19.5.559]]][*마 THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. ,PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923 [[https://www.gutenberg.org/files/59248/59248-pdf.pdf|#]]] [math( ds^2 = - A(r,t)dr^2 - 2B(r,t)dtdr -C(r,t)(d\theta^2 +sin^2 \theta d\phi^2) +D(r.t)dt^2 \qquad)] - (1) [math( \begin{pmatrix} R_{rr} = \dfrac{D''}{2D} - \dfrac{D'}{4D}\left( \dfrac{A'}{A}+\dfrac{D'}{D} \right) - \dfrac{A'C'}{2AC}+\dfrac{C''}{C} -\dfrac{C''}{2C^2} \\ R_{\theta\theta} = \dfrac{C'}{4A}\left( -\dfrac{A'}{A} +\dfrac{D'}{D}\right)+\dfrac{C''}{2A}-1 \\ R_{\phi\phi} = sin^2\theta R_{\theta\theta} \\ R_{tt} = -\dfrac{D''}{2A}+\dfrac{D'}{2A} \left( \dfrac{A'}{A} +\dfrac{D'}{D}\right) -\dfrac{D'C'}{2AC} \end{pmatrix} \qquad )] -(2) == 리치텐서 == (2)를 정리하고 [math( R_{11} = \dfrac{v' }{2v} - \dfrac{v'' }{4v^2} -\dfrac{v'\lambda' }{4v \lambda} - \dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda} )] [math( R_{22} = \dfrac{v' r}{2v \lambda} + \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{\lambda' r}{2\lambda\lambda} - 1 )] [math( R_{33} = \left( \dfrac{rv' }{2v \lambda} + \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{r\lambda' }{2\lambda^2} - 1 \right) sin^2\theta = R_{22}\, sin^2\theta )] [math( R_{44} = -\dfrac{v' }{2\lambda} + \dfrac{v' \lambda' }{4\lambda^2} +\dfrac{v'' }{4v \lambda} - \dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda} )] 일반적으로(generalized) 접근할수있는 대칭구형(symmetric sphere)에서 [[접평면]](tangent plane)으로 다루어지는 리치텐서(Ricci tensor)들을 조사할수있다. == 슈바르츠실트 해 == 1921,1923년 에딩턴(A. S. EDDINGTON),1943년 리차드 톨먼(Richard Chace Tolman)등이 사용한 일반적인 슈바르츠실트 해를 얻는 과정으로 다루어지는 전형적인 아인슈타인 텐서의 표준 접근 경로[*다 ]82.7[*마 ] [math( G_{11} = - 2\dfrac{1}{r}\dfrac{v'}{\lambda v} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right))] [math( G_{44} = + 2\dfrac{1}{r}\dfrac{\lambda'}{\lambda^2} + \dfrac{2}{r^2 } \left( 1-\dfrac{1}{\lambda} \right) )] 이와 비교해서 아래는 1921년 엡센의 슈바르츠실트 해에대한 리치텐서 단계에서의 빠른 접근 경로[*가 ][*바 ] [math( g^{11}\left( R_{11} - \dfrac{1}{4}g_{11}R \right) -g^{44}\left( R_{44} - \dfrac{1}{4}g_{44}R \right) )] 옙센-버크호프 정리는 슈바르츠실트 해에 접근할때 [math(R_{33},R_{44})] 및 [[리치 스칼라 곡률]] 계산 생략이 가능하다. 이러한 옙센-버크호프 정리가 보여주는 빠른 경로에 대한 아이디어는 초창기 슈바르츠실트 솔루션(solution,해)을 직접 자신이 푼 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)가 1916년에 <(직역)아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie)>에서 보다 빠른 접근 경로를 기술한바있다.[*바 아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild) [[https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%A1%A0%EC%97%90_%EB%94%B0%EB%A5%B8_%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A0%90%EC%9D%98_%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5%EC%97%90_%EB%8C%80%ED%95%B4%EC%84%9C]]] 카를 슈바르츠실트는 그의 논문에서 특징된 다양체(manifold) 공간에서 측지선(geodesic line)을 따라 이동을 가정하고 얻은 중력장의 구성 요소들인 크리스토펠 심볼(symbol,기호)들 만으로 이를 기술했다. 다음은 슈바르츠실트(Schwarzschild)가 1916년에 솔루션(해)를 얻을때 사용한 크리스토펠 심볼(표기는 편미분)이다.[*바 ] [math( \Gamma _{11}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}{\dfrac {1}{1-x_{2}^{2}}}, \Gamma _{33}^{1}=+{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\left(1-x_{2}^{2}\right),\quad \Gamma _{44}^{1}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{1}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}},)] [math( \Gamma _{21}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{22}^{2}=-{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-x_{2}\left(1-x_{2}^{2}\right),)] [math( \Gamma _{31}^{3}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{2}}}{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}},\quad \Gamma _{32}^{3}=+{\dfrac {x_{2}}{1-x_{2}^{2}}},)] [math( \Gamma _{41}^{4}=-{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {1}{f_{4}}}{\dfrac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}})] == 옙센 정리 == 노르웨이의 외르그 토프테 옙센(노르웨이어: Jørg Tofte Jebsen)이 1921년에 발표한 이러한 옙센 정리의 아이디어는 본인이 그의 논문에서 기술한 바와 같이 [[힐베르트 액션]]으로 이해될수있는 1917년의 힐베르트가 사용한 일반적(비정적) 구형 대칭사례(general—hence not static—spherically symmetric case)의 접근방법으로부터 얻을수있는 여러 가능한 미분방정식의 새로운 해를 예상함으로써 이러한 아이디어를 제안하고 있다.[* Hilbert: Die Grundlagen der Physik II. Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. zu G¨ottingen (1917)][* Schwarzschild: ¨Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes. Sitz. der. Preuss. Akad. d. Wiss. 189 (1916)] === 리치텐서 === 옙센(Jebsen)이 1921년에 발표한 옙센 정리(Jebsen theorem)의 리치곡률텐서 [math( R_{mn} = \dfrac{\partial}{\partial x^n}\displaystyle\sum_{k} \begin{bmatrix}mk\\ k \end{bmatrix}- \displaystyle\sum_{k}\dfrac{\partial}{\partial x^k} \begin{bmatrix}mn\\ k \end{bmatrix}+\displaystyle\sum_{k,l} \begin{pmatrix} \begin{bmatrix}mk\\ k \end{bmatrix} \begin{bmatrix}nl\\ k \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}mn\\ k \end{bmatrix}\begin{bmatrix}kl\\ l \end{bmatrix} \end{pmatrix} )] [[아서 스탠리 에딩턴]](A. S. Eddington)이 1921년과 1923년에 발표한 에딩턴 방법(Eddington method)의 리치곡률텐서 [math( G_{\mu\nu} = -\dfrac{\partial}{\partial x_{\alpha}} \{\mu\nu,\alpha\} +\{\mu\alpha,\beta \}\{\nu\beta,\alpha \} + \dfrac{\partial^2}{\partial x_{\mu}\partial x_{\nu}} log\sqrt{-g} -\{\mu\nu,\alpha\} \dfrac{\partial}{\partial x_{\alpha}} log\sqrt{-g} )] [*마 ]37.2 == 관련 문서 == * [[TOV 방정식]] * [[리 군]] * [[비앙키 항등식]] [[분류: 물리학 ]] [[분류: 미분 기하학 ]][[분류:대수 기하학 ]]