[[분류:물리학]][[분류:방정식]]
[include(틀:고전역학)]
[include(틀:동역학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 equation of motion}}}

물리계에서 운동을 기술하는 방정식. 

이 문서에서는 뉴턴 역학을 기준으로 작성되었지만, 후대에 발전한 해석역학[* [[라그랑주 역학]], [[해밀턴 역학]]]으로도 그 방정식을 세울 수 있다.

== 토대 ==
이 운동 방정식을 세우는데는 [[뉴턴의 운동 법칙]]을 토대로 한다. 

운동 방정식은 각 물체의 뉴턴 제 2법칙
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \mathbf{F}=\mathbf{\dot{p}}  )] ||
을 적용하여 세우는데, 이를 통해 각 물체의 받는 힘이나, 가속도 등을 구하는 과정으로 진행된다. [math(\mathbf{p}=m\mathbf{v})]는 [[운동량]]이다.

특히 많은 경우 물리 문제에서는 질량이 변치 않기 때문에 그 방정식을 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle ma=F_{\sf{net}}  )] ||
형태로 쓸 수 있다. [math(m)]은 분석하는 물체의 질량, [math(a)]는 분석하는 물체의 가속도, [math(F_{\sf{net}})]은 알짜힘이다. 

결국 운동 방정식을 세우는 것은 물체에 작용하는 알짜힘을 찾는 것으로 귀착되는데, 이때, 작용 반작용의 법칙을 살필 줄 알고 각 힘의 합성과 분해 등을 능숙히 할 줄 알아야 잘 세울 수 있다.

== 물체계 ==
물체가 실로 연결되어 함께 움직이거나, 물체가 한 덩어리로 움직이는 경우 해당 물체를 한 계(system)로 볼 수 있다.

이러한 관점에서 물체와 물체 사이에 상호 작용하는 힘은 내부력이 되기에 운동을 분석하는 데 영향을 끼치지 않고, 오직 외력만 그 영향을 미친다. 이 케이스에서 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \sum m \cdot a = \sum F_{\sf net}  )] ||
으로 쓸 수 있다. [math(\Sigma m)]은 물체계의 질량, [math(\Sigma F_{\sf net})]은 물체계의 알짜힘이다. 

하지만 각 물체의 가속도가 다른 경우도 있음에 유의한다. 등속 운동을 보았을 때, 움직이는 무빙 워크 위에서 인간이 무빙 워크와 다른 속력을 가질 수 있지 않은가. 가속 운동 또한 마찬가지이다.

== 뉴턴 역학의 이용의 한계점 ==
초급적인 물리 문제를 분석할 때는 뉴턴 역학을 통해서 운동 방정식을 세우는 것은 그리 힘들지 않다. 더군다나 1차원 운동일 경우 더 그렇다.

하지만 문제는 뉴턴 역학은 힘을 토대로 세우기 때문에, 힘이 벡터 물리량이어서 다루기가 어렵다는 단점이 있다. 특히나 2차원 운동부터는 슬슬 까다로워지기 시작한다.

또한 [[비유클리드 기하학|굽은 공간]]에서는 뉴턴 역학 기반 운동 방정식을 사용할 수 없다. 이 때문에 [[일반 상대성 이론]]에서는 [[미분기하학]]을 접목해서 운동 방정식을 짠다.[* 명칭도 '[[측지선]] 방정식(geodesic equation)'으로 바뀐다.]

그렇기에 후대에 발전한 해석역학을 사용하면, 에너지라는 스칼라 물리량으로 전개되기 때문에, 훨씬 복잡한 양상을 보이는 운동의 방정식을 쉽게 쓸 수 있다.

자세한 내용은 [[라그랑주 역학]] 및 [[해밀턴 역학]]을 참고하라.

== 가속 좌표계 ==
가속 좌표계에서는 겉보기 힘 [[관성력]]이 추가된다. 이 점에 유의하여 운동 방정식을 세워야 한다. 자세한 내용은 [[비관성 좌표계]] 문서를 참고하라.

==# 예 #==

||<table bordercolor=#ffffff><table align=center><bgcolor=#ffffff> [[파일:namu_운동방정식_예_수정.png|width=500&align=center]] ||

그림 '''(a)'''와 같이 마찰이 없는 수평면 위에 직사각형 모양인 질량 [math(M)] 위에 직사각형 모양의 질량 [math(m_{1})]이 올라가있다. 이 물체는 고정 도르래를 통해 직사각형 모양 질량 [math(m_{2})]와 연결되어있고, [math(m_{2})]는 [math(M)]과 접촉해있고, 운동 중에도 접촉한 상태를 유지한다. [math(M)]의 각 면의 운동 마찰 계수는 [math(\mu)]이다. 운동 방정식을 세워서 각 물리량을 구해보자. (단, 도르래와 실의 질량은 무시한다.)

이차원의 기저 벡터의 방향을 양으로 잡는다.

그림 '''(b)'''와 같이 힘을 생각할 수 있다. 우선 이 문제에서 물체계로 볼 수 있는 것은 두 가지 경우인데, [math(m_{1})]과 [math(m_{2})]는 서로 실로 연결되어 운동하기 때문에 그들의 가속도는 [math(a)]로 같다. 또한, 운동 중에도 [math(m_{2})]와 [math(M)]은 접촉해있기 때문에 그들의 가속도 또한 [math(A)]로 같다.

우선 [math(m_{1})]의 연직 방향의 운동 방정식을 세워보자. 연직 방향으로 해당 물체는 가속되지 않기에 알짜힘은 0이다. 해당 물체는 연직 방향으로 중력 [math(-m_{1}g)]를 받고, 또, [math(M)]의 면에 대한 수직항력 [math(N_{1})]을 받는다. 즉,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{1}\cdot 0 = -m_{1}g+N_{1} \end{aligned} )] ||
여기서 [math(N_{1}=m_{1}g)]임을 얻고, 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} f_{1}&=\mu N_{1}\\ &=m_{1}g\mu \end{aligned} )] ||

또, [math(m_{2})]의 수평 방향의 운동 방정식은 알짜힘이 [math(M)]의 연직 방향의 면에 대한 수직항력 [math(N_{2})] 밖에 없으므로
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} m_{2}A=N_{2} \end{aligned} )] ||

한편, [math(M)], [math(m_{2})]의 물체계에서 수평 방향의 알짜 힘은 마찰력 [math(-f_{1})]의 반작용 [math(+f_{1})]이다. 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} (M+m_{2})A&=f_{1} \\&=m_{1}g \mu \\ \\ \therefore A&=\frac{m_{1}}{M+m_{2}}g\mu \end{aligned} )] ||
이상에서
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} N_{2}&=m_{2}A \\ &=\frac{m_{1}m_{2}}{M+m_{2}}g\mu \\ \\\therefore f_{2}&=\mu N_{2} \\ &= \frac{m_{1}m_{2}}{M+m_{2}}g\mu^{2}\end{aligned} )] ||

이번에는 [math(m_{1})], [math(m_{2})]의 물체계를 살펴보자. 이 물체계를 다룰 땐, [math(m_{1})]의 관성력 [math(-m_{2}A)]가 포함됨에 유의하여야 한다. 이 물체계는 중력 [math(m_{2}g)]로 이끌리나 그 저항력 [math(f_{1})]과 [math(f_{2})]를 받는다. 여기에 추가로 [math(m_{1})]의 관성력이 포함된다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} (m_{1}+m_{2})a=m_{2}g-f_{1}-f_{2}-m_{1}A \end{aligned} )] ||
조금 복잡한 계산을 통해 다음을 얻는다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} a=\frac{g}{m_{1}+m_{2}} \left[m_{2}-\frac{m_{1}(M+m_{1}+m_{2})\mu+m_{1}m_{2}\mu^{2}}{M+m_{2} } \right] \end{aligned} )] ||

[math(m_{1})]의 수평, [math(m_{2})]의 연직 방향의 운동 방정식을 세워 장력 [math(T)]를 얻는다. 이는 독자들의 몫으로 남겨둔다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{aligned} T=\frac{m_{1}m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}\left[1+\frac{(M+m_{1}+m_{2})\mu-m_{1}\mu^{2}}{M+m_{2}} \right] \end{aligned} )] ||