[include(틀:수 체계)] [include(틀:수와 연산)] [include(틀:대수학)] [목차] == 정의 == {{{+1 [[有]][[理]][[數]] / rational number}}} 두 [[정수]] [math(m)], [math(n)] ([math(n \ne 0)])으로 몫 [math(\dfrac mn)]을 나타낼 수 있는 [[수]]. 즉, '''분자와 분모가 모두 정수이고 [[분모]]가 0이 아닌 분수'''로 나타낼 수 있는 수. 유리수의 집합은 몫을 뜻하는 이탈리아어 '''q'''uoziente의 머릿글자를 따서 [math(\mathbb Q)]로 나타낸다.[* 이탈리아의 수학자 주제페 페아노(Giuseppe Peano)가 이 표기를 처음으로 도입했다. 유리수는 영어로 Rational number이지만 [math(\mathbb R)]은 실수(Real number)의 집합을 나타내므로 다른 기호를 사용한다.] 유리수는 ([math(0)]으로 나누는 것을 제외한) 모든 [[사칙연산]]([[덧셈]], [[뺄셈]], [[곱셈]], [[나눗셈]])에 대해 닫혀있는 '최소의' 집합이기도 하다. 그래서 체 중에 가장 작은 체라는 뜻으로 소체(prime field)라고도 한다.[* 그런데 더 작은 소체도 정의할 수 있다. 임의의 소수 [math(p)]에 대해 [math(0)], [math(1)], [math(2)], [math(\cdots\cdots)], [math(p-1)]을 모은 집합에 덧셈과 곱셈을 정수에서의 연산과 같게 하되, [math(p)]로 나눈 나머지만 갖도록 하면 '''나누기도 잘 정의된다'''. 또한 이렇게 해서 정의된 체는 같은 수를 [math(p)]번 연거푸 더했을 때 [math(0)]이 되는 모든 체가 포함하는 체(이런 체를 가리켜 characteristic이 [math(p)]인 체라고 부른다)이기에 [math(\{0, \ 1, \ 2, \cdots\cdots, \ p-1\})] 역시 소체가 된다. 이 세계는 유리수 같은 것과 관련이 있는 체들과 제법 다른 세계이다. [[수 체계]] 참고.] [[지수(수학)|지수]] 연산에 대해서는 닫혀 있지 않다. 예를 들면, [math(\left(\dfrac 12\right)^{\frac 12} = \dfrac 1{\sqrt 2} \notin \mathbb Q)], [math(\left(-\dfrac 23\right)^{\frac 12} = i \sqrt{\dfrac 23} \notin \mathbb Q)] 임의의 [[정수]]는 [math(\dfrac n1)]으로 나타낼 수 있으므로 유리수이고, 정수가 아닌 유리수는 분수 혹은 소수로 나타낼 수 있다. 유리수 [math(\dfrac pq)] [math((q \ne 0))]는 일차방정식 [math(qx - p = 0)]의 해이므로 항상 대수적 수이다. 즉, [[초월수]]인 유리수는 존재하지 않는다. == 유리수의 [[소수]]표현 == 중1 올라가면 맨 처음으로 배운다. 초등학교 때 배운 분수와 소수의 관계에다 소인수분해가 섞여 나온다. 정수가 아닌 유리수 [math(x=\dfrac mn)]을 나눗셈을 사용해 소수로 표현하면, 유한한 자리에서 나눗셈이 끝나는 '''[[유한소수]]''' 혹은 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되는 '''[[순환소수]]'''가 된다. 역으로, 유한소수나 순환소수로 나타나는 소수는 유리수이다.[* 소수점 아래에 규칙성이 있다는 것과는 다른 말이다. 순환소수는 소수점 아래에 항상 순환마디라는 규칙성이 존재하지만, 규칙성이 있는 비순환소수도 존재한다. 예를 들어, [math(0.101001000100001\cdots\cdots)] 같은 수는 소수점 아래에 규칙성이 있는 것은 맞지만 순환소수가 아니다. 순환소수가 되려면 일정한 폭의 순환마디가 있어야 하는데 이건 그렇지 못하기 때문. 이 수는 '비순환소수'임은 물론, 대수적인 수[* 계수가 유리수이고 유한개의 항으로 나타낼 수 있는 [[방정식]]의 해가 되는 수]도 아닌 '''[[초월수]]'''에 속한다.] 유리수를 소수로 표현했을 때에 나타나는 내용에 관련해서는 다음의 문서에서 자세히 다루며 '관련 문서' 문단의 문서들도 참고한다. * [[유한소수]] * [[순환소수]] {{{#!folding [ 유리수가 유한소수거나 순환소수임을 증명 펼치기 · 접기 ] 나눗셈 [math(x =\dfrac mn)]이 유한자리에서 끝나지 않는다면, 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되어야 한다. 즉, 순환마디가 나타나야 한다. 우리가 흔히 소수의 나눗셈을 하는 방식에 따르면, 나눠지는 수(피제수)의 소숫점 아래자리에서 나누는 수의 배수만큼을 덜어내고, 그 나머지를 다시 나누게 된다. 이 때 나누는 수가 [math(n)]이면 나머지는 [math(0)]부터 [math((n-1))]까지 [math(n)]개만이 가능하고, 똑같은 나머지가 다시 나온다면 그 뒤로의 나눗셈 과정 역시 반복되기 때문에 순환 패턴이 생기는 것.[* 말이 어렵지 직접 나눗셈을 해 보면 바로 이해할 수 있다!] 역으로 순환소수는 반드시 분수로 나타낼 수 있다.[* 엄밀한 증명을 위해서는 무한등비급수의 합([[극한]])을 생각해야 하지만, 보통 수준에서는 10^^(순환마디의 길이)^^을 곱해 비교하는 중2 교과서의 설명으로 충분하다.] 유리수가 반드시 순환소수로 표현된다는 위의 설명이 불충분하게 느껴진다면 다음과 같은 더 강력한 방법을 쓸 수도 있다. [math(\dfrac mn)]([math(m)]은 정수, [math(n)]은 자연수)이 순환소수라는 것은 정수 [math(a)]와 자연수 [math(r)], [math(s)]를 이용하여 [math(\dfrac a{10^s \left( 10^r - 1 \right)})]의 꼴로 나타낼 수 있다는 것과 동치이다.[* [math(10)]진법이기 때문에 우변의 지수에서 밑이 [math(10)]일 뿐이고 이를 [math(1)]보다 큰 다른 자연수로 바꿔 써도 아래에 기술된 내용들은 변하는 게 없다. 위에서 언급한 '[math(2)]와 [math(5)]에 대해 서로소'라는 부분 역시 다른 진법에서는 그 수의 약수가 되는 소수들로 바꾸기만 하면 된다. 그래도 논리는 그대로 유지된다. 이로부터 얻을 수 있는 게 뭐냐면 '''[math(\boldsymbol{10})]진법이 아닌 다른 진법에서도 모든 유리수는 순환소수로 표현된다는 것이다'''.] 왜냐하면 [math(\dfrac 1{10^r - 1} = \dfrac 1{10^r} + \dfrac 1{10^{2r}} + \dfrac 1{10^{3r}} + \cdots\cdots)] 이므로 다음과 같이 풀어쓸 수 있기 때문이다. [math(\dfrac mn = \dfrac c{10^s} + \dfrac 1{10^s} \left( \dfrac d{10^r} + \dfrac d{10^{2r}} + \dfrac d{10^{3r}} + \cdots\cdots \right))]. 여기서 [math(c)], [math(d)]는 각각 [math(a)]를 [math(10^r - 1)]로 나눠서 얻은 몫과 나머지[* 즉 [math(a=c \left( 10^r -1 \right) + d)]]이며, [math(d)]가 바로 순환구간에 해당한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 [math(\dfrac 17 = 0.\dot14285\dot7)] 같은 경우 [math(r=6)], [math(s=c=0)], [math(d=142857)]이고 [math(\dfrac{67}{55} = 1.2\dot1\dot8)] 같은 경우 [math(r=2)], [math(s=1)], [math(c=12)], [math(d=18)]이다. 한편, 여기서 [math(s=c=0)]인 경우만 다뤄도 충분하다. 어차피 순환소수에 [math(10)]의 거듭제곱을 곱하든 정수를 더하든 순환소수가 될 뿐이고 [math(r)]과 [math(d)], 즉 순환구간의 길이와 내용은 바뀌지 않기 때문이다. 모든 혼순환소수는 어떤 순순환소수에 유한소수를 더한 것과 같기에 순순환소수만 다뤄도 충분한 것이다. 물론 [math(m)]이 자연수여도 상관없다. 또한 [math(n)]이 [math(2)]와 [math(5)]에 대해 서로소인 경우만 다뤄도 충분하다. 그렇지 않다 하더라도 분자와 분모에 적당한 [math(2)]와 [math(5)]의 거듭제곱을 곱하면 자연수 [math(q)], [math(n')]에 대해 [math(2^k 5^l n = 10^q n')]([math(n')]은 [math(2)], [math(5)]에 대해 각각 서로소)꼴로 만들 수 있는데, 이는 곧 [math(s=q)]인 혼순환소수이기 때문이다. 위의 [math(\dfrac{67}{55} = \dfrac{134}{110} = \dfrac{134}{10\times 11})]가 이에 해당한다. 당연히 [math(n'=1)]인 경우는 고려하지 않아도 된다. 따라서 주어진 문제는 [math(01))]은 [math(2)]와 [math(5)]에 대해 서로소인 자연수인 경우로 좁혀진다. 그 결과 최종적으로 [math(\dfrac mn = \dfrac a{10^r - 1})]인 자연수 [math(a)], [math(r)]을 찾는 것으로 좁혀진다. 이걸 확실하게 풀기 위해선 페르마의 소정리에 대한 오일러의 일반화가 필요하다. 이 명제는 다음과 같이 주어진다. '''서로소인 두 자연수 [math(\boldsymbol a)], [math(\boldsymbol n)]에 대해 [math(\boldsymbol{a^{\phi \left( n \right)}})]를 [math(\boldsymbol n)]으로 나눈 나머지는 [math(\boldsymbol 1)]이다.''' ([math(\phi \left( n \right))]는 [[오일러 파이 함수]][* 그냥 뭔가 자연수인가보다라고 넘어가도 무방하다. 사실 이 함수의 값은 [math(0)]과 [math(n)] 사이의 자연수들 중에서 [math(n)]과 [[서로소]]인 자연수들의 개수로 정의된다, 구체적으로 [math(n = {p_1}^{r_1} {p_2}^{r_2} \cdots\cdots {p_s}^{r_s})]과 같이 소인수분해가 되었을 때 [math(\phi \left( n \right) = (p_1 - 1)(p_2 - 1) \cdots \cdots (p_s - 1) {p_1}^{r_1 - 1} {p_2}^{r_2 - 1} \cdots \cdots {p_s}^{r_s - 1})]으로 쓸 수 있다.]) 이 정리에서 [math(a=10)]로 놓으면 다음을 알 수 있다. 앞서 놓은 가정에 의하여 [math(n)]은 [math(10)]과 서로소이므로 [math(r = \phi \left( n \right))]을 만족하는 자연수 [math(r)]에 대해 [math(10^r -1)]는 [math(n)]의 배수이다. 이를 다르게 쓰자면 어떤 자연수 [math(r)], [math(q)]에 대해 [math(nq = 10^r - 1)]이다. 따라서 다음이 성립한다. [math(\dfrac mn = \dfrac{mq}{nq} = \dfrac{mq}{10^r - 1})]. 이것은 정확히 우리가 원하던 꼴이다. 결국 정수가 아닌 모든 유리수는 유한소수이거나 순환소수임이 증명되었다. }}} == 조밀성과 완비성 == 임의의 두 실수 [math(a)], [math(b\left(a