[include(틀:상위 문서, top1=자기 퍼텐셜)]
[목차]
== 예제 1 ==
||<table width=100%>'''[문제]'''
-----
진공에서 축이 [math(z)]축, 중심이 원점이고, 전하 [math(Q)]로 균일하게 표면이 대전된 반지름 [math(R)]인 구가 [math(\boldsymbol{\omega}=\omega_{0} \hat{\mathbf{z}})]의 각속도로 축을 중심으로 회전할 때, 구 내부의 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오. ||

{{{#!folding [풀이 보기]
-----
이 상황에서 구는 표면 전하 밀도 [math(\sigma=Q/(4 \pi R^{2}) )]으로 대전되었으므로, 표면 전류 밀도는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathbf{K}=\sigma \mathbf{v}=\frac{Q \omega_{0}}{4 \pi R}\sin{\theta} \hat\boldsymbol{\phi} )] }}}
이다. 따라서 구하는 벡터 퍼텐셜은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{A(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da ' )] }}}
이다. 이때, [math(\mathbf{r'}=R \hat \mathbf{r})]이고, 구면 좌표계에서 [[다중극 전개]]를 이용하자. 또한, 이 영역에서는 [math(r'>r)]이므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \frac{1}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ') )] }}}
으로 전개할 수 있다. [math(Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi))]는 [[구면 조화 함수]]이다. 따라서 적분은
||<tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> {{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A(r)}&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{K(r')}}{\left| \mathbf{r-r'} \right|}\,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \mathbf{K(r')} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi)Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ')  \,da ' \\ &=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int \mathbf{K(r')} Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ')  \,da '   \end{aligned}  )] }}} ||
으로 바뀐다. 또한, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} Y_{1}^{-1}(\theta,\,\phi)&=\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}-i\sin{\phi}) \\ Y_{1}^{1}(\theta,\,\phi)&=-\frac{1}{2}\sqrt{ \frac{3}{2 \pi} } \sin{\theta}(\cos{\phi}+i\sin{\phi})\end{aligned} )] }}}
를 이용하면, 표면 전류 밀도
||<tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> {{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{K(r')}&=\sigma \sin{\theta '}(-\sin{\phi '} \hat{\mathbf{x}}+\cos{\phi '} \hat{\mathbf{y}}) \\ &=\frac{\sigma}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[  Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{x}}+\sigma  \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \left[  Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')-Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] \hat{\mathbf{y}} \end{aligned}  )] }}} ||
으로 구면조화함수의 합으로 전개할 수 있다. 따라서
||<tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle A_{x}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}}Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi}  \left[  Y_{1}^{-1}(\theta ',\, \phi ')+Y_{1}^{1}(\theta ',\, \phi ') \right] Y_{l}^{m \ast}(\theta ',\, \phi ')   \,d {\Omega} ' )] }}} ||
이 된다. [math(\Omega')]는 원천 점(Source point)의 입체각(Solid angle)이며, [math(d {\Omega}'=\sin{\theta'} \,d\theta' d \phi')]이다. 이때, 구면조화함수의 규격화 조건에 의해
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} Y_{l}^{m}(\theta',\, \phi')Y_{t}^{s \ast}(\theta ',\, \phi ')\,d \Omega '=\delta_{l t}\delta_{m s} )] }}}
를 만족한다. 위에서 [math(\delta_{ij})]는 [[크로네커 델타]]이다. 따라서 이것을 이용하면, 위 적분의 결과는
||<tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> {{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} A_{x}(\mathbf{r})&=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}}  \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\frac{4\pi}{2l+1} \frac{r^{l}}{R^{l+1}} [\delta_{1l}\delta_{-1m}+\delta_{1l}\delta_{1m}] Y_{l}^{m}(\theta,\, \phi) \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma R^{2}}{4 \pi} \frac{4\pi}{3} \frac{r}{R^{2}} \left[ \frac{1}{i} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} [ Y_{1}^{-1}(\theta ,\, \phi )+Y_{1}^{1}(\theta ,\, \phi ) ] \right]  \\ &=\frac{\mu_{0} \sigma }{3}  {r} (-\sin{\theta} \sin{\phi}) \end{aligned} )] }}} ||
로 구할 수 있고,  동일한 방법으로,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle A_{y}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0} \sigma }{3}  \frac{r}{R^{2}} (\sin{\theta} \cos{\phi}) )] }}}
이상에서 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은 아래와 같이 결정된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{A(r)} =\left[ \frac{ \mu_{0} Q }{12 \pi R^{2}}  {r} \sin{\theta} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}\qquad (r<R) )] }}}
}}}

||<table width=100%>'''[추가 문제]'''
-----
예제 1에서 구 외부의 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오. ||

{{{#!folding [풀이 보기]
-----
구의 외부도 같은 방법으로 구할 수 있으며, 이때는 [math(r'<r)]이므로 다중극 전개한 항 중
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \frac{r^{l}}{R^{l+1}} \rightarrow \frac{R^{l}}{r^{l+1}} )] }}}
로 바뀌면서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{A(r)} =\left[ \frac{ \mu_{0} Q }{12 \pi}  \frac{R}{r^{2}} \sin{\theta} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}\qquad (r>R) )] }}}
이 된다.
}}}

== 예제 2 ==
||<table width=100%>'''[문제]'''
-----
진공에서 [math(z)]축으로 놓인 무한한 도선에 전류 [math(I)]가 [math(\hat{\mathbf{z}})] 방향으로 흐르고 있을 때, 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오.  ||

{{{#!folding [풀이 보기]
-----
이 경우에 [math(z)]축을 제외하곤 전류 밀도는 0임을 이용한다. 또한, 전류 밀도의 방향이 [math(\hat{\mathbf{z}})] 방향이므로 자기 벡터 퍼텐셜은 [math(\hat{\mathbf{z}})] 방향이다. 또한, [math(\rho)]를 제외하곤 모두 대칭성을 이루므로 자기 벡터 퍼텐셜은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathbf{A}= A_{z}(\rho) \,\hat{\mathbf{z}} )] }}}
으로 주어질 것이다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \nabla^{2}A_{z}(\rho)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} \left( \frac{\partial A_{z}(\rho)}{\partial \rho} \right)=0 )] }}}
을 만족하고, 이 방정식의 해는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle A_{z}(\rho)=C\ln{\rho} )] }}}
로 주어짐을 쉽게 확인할 수 있다. [math(C)]는 상수이다. 상수항은 퍼텐셜 특성 상 무시할 수 있으므로 무시했다. 이때, 자기장 [math( \displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} )]이므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathbf{B}=-\frac{C}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} )] }}}
이고, 반지름이 [math(\rho)]인 원에서 [[앙페르 법칙]]을 적용하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=I \, \rightarrow \, -\frac{C}{\rho}\cdot 2 \pi \rho=\mu_{0}I \, \rightarrow \, C=-\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}  )] }}}
이상에서 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathbf{A}=\left[ -\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}\ln{\rho} \right]\hat{\mathbf{z}} )] }}}
가 된다.
}}}

== 예제 3 ==
||<table width=100%>'''[문제]'''
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진공에서 단위 길이당 [math(N)]번 감긴 [math(z)]축으로 놓이고 반지름의 길이가 [math(\rho_{0})]인 무한한 길이의 솔레노이드에 전류 [math(I)]가 반시계 방향으로 흐르고 있을 때, 자기 벡터 퍼텐셜을 구하시오.  ||

{{{#!folding [풀이 보기]
-----
이 상황에서 솔레노이드 내부에 형성되는 자기장은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathbf{B}=\mu_{0} NI \hat{\mathbf{z}} )] }}}
임을 이용하자.


'''(ⅰ) 솔레노이드 내부의 퍼텐셜 '''
중심이 [math(z)]축 위에 있고 반지름 [math(\rho \,(\rho<\rho_{0}))]인 원을 통과하는 자기 선속은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle F=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0} \pi \rho^{2} NI  )] }}}
이고,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle F=\oint_{C}  \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l} )] }}}
를 이용하면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle A_{\phi} \cdot 2\pi \rho=\mu_{0} \pi \rho^{2} NI )] }}}
가 되므로 자기 벡터 퍼텐셜은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}NI}{2}  \rho \hat{\boldsymbol{\phi}} \qquad (\rho<\rho_{0}) )] }}}
이 된다.

'''(ⅱ) 솔레노이드 외부의 퍼텐셜 '''
중심이 [math(z)]축 위에 있고, 반지름 [math(\rho \,(\rho>\rho_{0}))]인 원을 통과하는 자기 선속은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle F=\int \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0} \pi \rho_{0}^{2} NI  )] }}}
위에서 했던 것과 마찬가지로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle A_{\phi} \cdot 2\pi \rho=\mu_{0} \pi \rho_{0}^{2} NI )] }}}
가 되므로 자기 벡터 퍼텐셜은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}NI}{2}  \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} \quad (\rho>\rho_{0}) )] }}}
가 된다.


이때, [math(\rho \rightarrow \rho_{0})]일 때, 내·외부의 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이 되므로 상수항을 추가할 필요는 없으므로 구하는 자기 벡터 퍼텐셜은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{A}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \left[ \frac{\mu_{0}NI}{2}  \rho \right] \hat{\boldsymbol{\phi}}  &\quad (\rho<\rho_{0})\\ \\ \displaystyle \left[ \frac{\mu_{0}NI}{2}  \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} \right] \hat{\boldsymbol{\phi}} &\quad (\rho>\rho_{0})\end{array}\right. )] }}}
이 된다.
}}}
[각주][include(틀:문서 가져옴, title=자기 퍼텐셜, version=94, paragraph=2.6.1)]
[include(틀:문서 가져옴, title=자기 퍼텐셜, version=94, paragraph=2.6.2)]
[include(틀:문서 가져옴, title=자기 퍼텐셜, version=94, paragraph=2.6.3)]
[[분류:물리학 예제]][[분류:전자기학]]