[include(틀:통계학)]
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== 개요 및 정의 ==
{{{+1 moment generating function · [[積]][[率]][[生]][[成]][[函]][[數]]}}}

특정 [[확률 분포]]의 '적률'을 '생성'하는 '함수'이다. '모멘트 생성함수'라고도 하며, 약칭으로 MGF라고도 한다.

[[확률 변수]] 혹은 분포의 [math(n)]차 '''적률''' 혹은 '''모멘트'''(moment)는 확률변수의 거듭제곱의 [[기댓값]]으로, 다음과 같이 정의한다. 적률이 존재하지 않을 수도 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mu_n = \mathbb{E}[X^n] )]}}}
적률 생성함수 혹은 모멘트 생성함수는 이들 적률을 계수로 갖는 급수로, 정확한 정의는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(M_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX} ] )]}}}
만약 위 기대값이 [math(t=0)]의 근방에서 수렴한다면, 다음처럼 급수전개가 가능함을 증명할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle M_X(t) = \mathbb{E}\left[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!}\right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} \mathbb{E}[X^k] )]}}}
따라서 [[테일러 정리]]에 의해 [math(\mu_n = M^{(n)}(0))]을 얻을 수 있다.

물론 이 모든 얘기는 확률변수 [math(e^{tX})]가 [math(t=0)] 근방에서 적분가능해야 의미가 있고, 이 조건이 만족되지 않으면 적률생성함수를 생각할 수 없다. 그러기 위해서는 모든 차수의 적률이 존재해야 할 뿐만 아니라, 이들이 너무 빠르게 증가해도 안 된다. 적률생성함수가 존재한다는 조건은 의외로 매우 까다로운 조건이다. 심지어 모든 차수의 적률이 존재한다 하더라도 적률생성함수가 존재하지 않을 수 있다. 대표적인 반례가 [math(\log X)]가 정규분포를 따르는 확률변수 [math(X)]이다. 여기서 [math(X)]가 따르는 확률분포를 '''로그정규분포'''라고 부른다.

일변수일뿐만 아니라 [math(X)]가 다변수 확률 변수일 경우에도, 벡터함수로 적률생성함수를 정의할 수 있다. 이 경우에 [math(tX)]는 내적으로 간주한다. 이 다변수 세팅 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(X=(X_1,\, X_2,\, \cdots,\, X_n))]}}}
에서 적률생성함수의 테일러 급수는 '''결합 적률'''(joint moment)
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \mu_{(k_1,\,k_{2},\, \cdots,\, k_n)} = \mathbb{E}[X_1^{k_1} \cdots X_n^{k_n}])]}}}
을 나타낸다고 볼 수 있다. 이 경우에는 일변수와 구별하기 위해서 '''결합적률생성함수'''(joint moment generating function)라는 이름으로 많이 부른다.

적률생성함수는 확률론 외적으로도 다양한 개념들과 관련을 짓고 있다.
 * 이름에서 알 수 있듯이 적률생성함수도 [[생성함수]]의 일종이고, 의외로 비슷한 활용법들도 많다.
 * [[라플라스 변환]]을 보았다면 연속확률변수의 경우[* [[측도]]론적으로 생각하면 일반적인 경우에도 확률측도의 라플라스 변환으로 생각할 수 있다.] 적률생성함수는 확률분포함수의 라플라스 변환임을 관찰할 수 있다.
 * 라플라스 변환의 수렴 문제로 대신 [[푸리에 변환]]을 생각하듯이, 적률생성함수 대신에 확률분포함수의 푸리에 변환인 '''특성함수'''(characteristic function)
 {{{#!wiki style="text-align: center"
 [br][math(\varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}])]}}}
 들을 대신 생각하기도 한다. 성질은 사실상 거의 동일하지만, 이 특성함수는 모든 확률변수에 대해 존재한다는 장점이 있다.

== 여러 가지 적률 ==
 * '''평균에 대한 적률''': [math(Y=X-\mathrm E(X))]일 때, [math(Y)]의 적률이 [math(X)]의 평균에 대한 적률이다. 차수에 따라 다음과 같은 정보를 준다.
 ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff,#000000><colbgcolor=#efefef,#555555> '''1차 적률''' ||0[* [math(\because\mathrm E(X-c)=\mathrm E(X)-c)]]||
 || '''2차 적률''' ||<math>\mathrm V(X)=\{\sigma(X)\}^2</math>[* 분산의 정의는 '''편차의 제곱의 평균''', 즉 평균에 대한 2차 적률이다.]||
 || '''3차 적률''' ||분포의 왜도(歪度)||
 || '''4차 적률''' ||분포의 첨도(尖度)||
 * '''계승적률''': X의 거듭제곱 대신 계승인 [math({}_X\mathrm P_n)]을 사용한 적률.

분산은 각각의 적률을 사용해 3가지 방법으로 구할 수 있다.
||<table width=100%>
 1. 정의를 이용하는 방법
 [math(\mathrm V(X)=\mathrm E((X-m)^2))]
 1. 적률을 이용하는 방법
 [math(\mathrm V(X)=\mathrm E(X^2)-\{\mathrm E(X)\}^2)]
 1. 계승적률을 이용하는 방법
 [math(\mathrm V(X)=\mathrm E(X(X-1))+\mathrm E(X)\{1-\mathrm E(X)\})] ||
보통은 1번이나 2번의 방법을 주로 사용하는데, [[이항 분포]] 혹은 [[푸아송 분포]], 혹은 [[기하 분포]]의 분산은 계승적률을 쓰는 방법이 나머지 두 방법보다 편리하다.

== 적률생성함수의 성질 ==
다음 성질들을 증명할 수 있다.
 * [math(M_{X+c}(t) = e^{ct} M_X(t))]
 * [math( M_{kX}(t) = M_{X}(kt) )]
 * [math(X, Y)]가 독립이면 [math(M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t))]이다.
 * 두 확률분포의 적률생성함수가 동일하면, 두 확률분포는 동일하다.
 * 확률변수 [math(X_n)]의 적률분포함수가 [math(X)]의 적률분포함수에 구간 내에서 수렴하면, [math(X_n)]의 분포는 [math(X)]의 분포에 수렴한다.
위의 두 일차변환 성질과 세번째 독립성 관련 성질은 정의를 따라가면 증명하기 쉬운 편이지만, 많은 경우 적률생성함수 계산에 핵심적 역할을 한다. 네번째/다섯번째 동일성, 수렴성의 경우는 적률생성함수가 확률변수를 역으로 결정할 수 있다는 중요한 의미를 가지지만, 엄밀히 증명하려면 라플라스 역변환이 필요하다.

== 여러 가지 확률 분포의 적률생성함수 ==

=== [[정규 분포]] ===
표준정규분포 [math(Z \sim N(0,1))]의 적률생성함수는 다음처럼 [math(M_{Z}(t) = e^{{t^2}/2})]로 나타난다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \begin{aligned} M_{Z}(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{z^2}/2}e^{zt} \,{\rm d}z \\&= e^{{t^2}/2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-{(z-t)^2}/2} \,{\rm d}z \\&= e^{{t^2}/2} \end{aligned})]}}}
정규분포 [math(N(\mu, \sigma^2))]는 표준정규분포 [math(Z \sim N(0,1))]에 대해 [math(X=\sigma Z + \mu)]의 분포로 나타나므로, 따라서 이 적률생성함수는 위 일차변환 성질을 이용하면 다음처럼 나타난다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle M_{X}(t) = e^{\mu t +  (\sigma^2 t^2/2)})]}}}
여담으로 다변수 정규분포를 다음의 생성함수를 통해서 '정의'하기도 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle M_{{\bf X}}({\bf t}) = \exp( {\bf \mu} \cdot {\bf t} + \frac{1}{2} {\bf t}^{T} {\bf \Sigma} {\bf t} ) )]}}}
여기서 [math({\bf \mu})]는 평균벡터, [math({\bf \Sigma})]는 [[공분산]]행렬이다.

=== [[이항 분포]] ===
베르누이 시행의 적률생성함수가 [math(p e^t + q)] 이므로, 이것의 [math(n)]회 독립시행의 누적인 [math((pe^t+q)^n)]이 된다. 물론 [[이항정리]]를 활용해 다음처럼 증명할 수도 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} M_X(t)&=\displaystyle\sum_{k=0}^ne^{kt} \binom{n}{k} p^kq^{n-k}\\&=\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(pe^t)^kq^{n-k}\\&=(pe^t+q)^n \end{aligned})]}}}
=== [[기하 분포]] ===
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} M_X(t)&=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty e^{kt}q^{k-1}p\\&=\dfrac pq\displaystyle\sum_{k=1}^\infty(qe^t)^k\\&=\dfrac pq\dfrac{qe^t}{1-(qe^t)}\\&=\dfrac {pe^t}{1-qe^t} \end{aligned})]}}}
수렴 범위는 [math(qe^t<1)], 즉 [math(t<-\ln q)]이다.[* 보통 [math(t=0)]을 대입하여 적률을 구하고, [math(0<q<1)]에서 [math(-\ln{q}>0)]이기 때문에 적률을 구하는 데 이 수렴 범위는 아무런 문제가 없다.]

=== [[푸아송 분포]] ===
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\begin{aligned} M_X(t)&=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty e^{kt}e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ &=e^{-\lambda}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(e^t\lambda)^k}{k!}\\ &=e^{-\lambda}e^{e^t\lambda}\\ &=e^{\lambda(e^t-1)} \end{aligned})]}}}
== 활용 사례 ==
[[중심 극한 정리]]의 증명 등등에서 핵심 도구로 쓰이고, 기타 조합론의 [[생성함수]]처럼 활용되는 경우도 있다. 다만 적률생성함수의 존재성은 매우 까다로운 조건이어서, 도구로 쓰인다면 상술한 특성함수를 쓰는 게 보편적이다. 적률생성함수가 특성함수를 제치고 쓰여지는 경우는 적률을 어림하는 [[부등식]]에서인데, 쉬운 예로는 [[젠센 부등식]]을 적용해서 바로 나오는 [math(M_X(t) \ge e^{\mu t})] 등이 있고, 기타 여러 가지 적률생성함수와 관련된 부등식들이 있다.
[[분류:함수]][[분류:확률론]]