[include(틀:상위 문서, top1=전기 변위장)] [목차] == 개요 == 이 문서에서는 전기 변위장과 관련된 예제를 실었다. === 예제 1 === ||'''[문제]''' ----- 그림과 같이 진공 중 [math( r_{1}'''[문제]''' ----- 진공 중에 그림과 같이 매우 얇고 넓은 두 금속판이 각각 [math( x=0 )], [math( x=2d )]에 놓여져있고, 그 사이의 [math( 0'''[추가 문제]''' ----- 두 금속판 안쪽에 유도된 전하 밀도와 이 축전기의 전기 용량을 각각 구하시오. || 변위장의 경계 조건 중 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{D_{m}} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D_{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}={ \sigma_{f} } )] }}} 를 이용하자. 위에서 [math( \displaystyle \mathbf{D_{m}} )], [math( \displaystyle \mathbf{D_{b}} )]는 각각 금속판 내, 두 금속판 사이의 변위장이다. 그런데, 금속판 내에선 전기장이 존재하지 않음에 따라 [math( \displaystyle \mathbf{D_{m}}=0 )]이 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( { \sigma_{f} }=- \mathbf{D_{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}} )] }}} 임을 이용하면 된다. 따라서 [math( x=0 )]의 금속판에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( { \sigma_{f} }(x=0)=\left. - \mathbf{D} \cdot (-\hat{\mathbf{x}}) \right|_{x=0} )] }}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle { \sigma_{f} }(x=0)=-\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) )] }}} [math( x=2d )]의 금속판에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( { \sigma_{f} }(x=2d)=\left. - \mathbf{D} \cdot (+\hat{\mathbf{x}}) \right|_{x=2d} )] }}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle { \sigma_{f} }(x=2d)=\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) )] }}} 가 된다. 따라서 금속판의 면적을 [math(A)]라 놓는다면, 이 문제 상황에서 축전기에 충전된 전하량은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle Q=\frac{\varepsilon_{0}V}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right)A )] }}} 임을 알 수 있고, 두 판 사이의 전위차는 [math(\Delta \Phi = V)]임을 안다. 따라서 전기 용량의 정의에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} C & \equiv \frac{Q}{\Delta \Phi } \\ &=\varepsilon_{0} \frac{ A}{d}\left(\frac{\kappa}{\kappa+1} \right) \\&=\left[ \left( \varepsilon_{0} \frac{ A}{d} \right)^{-1}+\left( \kappa \varepsilon_{0} \frac{ A}{d} \right)^{-1} \right]^{-1} \end{aligned} )] }}} 따라서 길이가 [math(d)]이고, 진공인 축전기와 유전 상수가 [math(\kappa)]인 유전체가 안에 채워진 축전기가 직렬 연결된 상태와 동치인 것을 결과로써 얻는다. }}} === 예제 3 : 영상법 === [[파일:나무_변위장_영상법.png|width=240&align=center]] 위와 같이 반 무한하고, 유전율이 다른 물질이 [math( x=0 )]을 경계로 하여 있고, 전하 하나가 있을 때, 퍼텐셜이 어떻게 분포하는지 알아보자. 단, 편극성 물질은 선형적인 물질이라 가정한다. [math( \varepsilon_{1} )]의 [math( (-d,\,0,\,0) )]에 전하 [math( q )]가 있다고 해보자. [math( \varepsilon_{1} )] 입장에서 [math( \varepsilon_{2} )]를 대체할 영상 전하 [math( q ' )]를 [math( (d,\,0,\,0) )]에 놓자. 또, [math( \varepsilon_{2} )]의 입장에서 보면, 전하가 속박 전하에 가로막혀 본래의 전하량이 아닌 다른 전하량으로 관측하게 될 것이다. 이것에 대한 영상 전하를 [math( q\mathbf{''} )]이라 두고, 본래 있던 전하의 위치에 놓자. 이렇게 하면, 점 [math( \textrm{P} )]가 [math( x<0 )] 영역 즉, [math( \varepsilon_{1} )]에 있을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi_{1}(x, \, y, \, z)= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{1}} \left[ \frac{q}{r}+\frac{q '}{r'} \right] )] }}} 이고, [math( x>0 )] 영역 즉, [math( \varepsilon_{2} )]에 있을 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi_{2}(x, \, y, \, z) =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{2}}\frac{q \mathbf{''}}{r} )] }}} 이다. 이때, [math( r=\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2}} )], [math( r '=\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}} )]이다. 경계 조건으로, 경계면([math( x=0 )])에서 전위는 연속된 값을 가져야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi_{1}(0, \, y, \, z) =\Phi_{2}(0, \, y, \, z) )] }}} 을 만족해야 한다. 이 조건에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{q+q'}{\varepsilon_{1}} = \frac{q\mathbf{''}}{\varepsilon_{2}} )] }}} 을 얻는다. 두 번째 경계 조건으로 경계에 자유 전하가 없으므로, 변위장의 수직 성분은 연속이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \varepsilon_{1} \cdot \left. \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial x} \right|_{x=0}=\varepsilon_{2} \cdot \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial x} \right|_{x=0} )] }}} 이 성립한다. 이 조건에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle q\mathbf{''}=q-q' )] }}} 을 얻는다. 위에서 얻은 두 조건을 연립하면, 두 영상 전하의 값이 결정된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle q '=-\frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}q, \,\,\, q \mathbf{''}=\frac{2 \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}q )] }}} 이상에서 구하는 퍼텐셜 분포는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi(x,\,y,\,z)=\left\{ \begin{aligned} &\displaystyle \, \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{1}}\left [ \frac{1}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2} } }-\left ( \frac{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}} \right )\frac{1}{\sqrt{(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2} } } \right ] & \quad (x<0) \\ & \displaystyle \frac{1}{4 \pi(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}) }\frac{2q}{\sqrt{(x+d)^{2}+y^{2}+z^{2} } } & \quad (x>0)\end{aligned}\right. )] }}} 가 된다. === 예제 4: 유전 물질을 채운 구형 축전기 === ||
'''[문제]''' ----- 그림과 같이 외경이 [math(b)]이고, 내경이 [math(a)]인 구형 축전기 안에 각각 반구 형태의 유전 상수가 [math(\varepsilon_{1})], [math(\varepsilon_{2})]인 유전 물질을 채웠다. 이 축전기에 [math(q)]의 전하량을 충전시켰을 때, 다음 물음에 답하시오. '''(a)''' 유전 물질이 있는 곳([math(a'''[문제]''' ----- 외경이 [math(a)]이고, 내경이 [math(b)]인 원통 축전기 안에 유전율이 [math(\varepsilon=\alpha \varepsilon_{0} (\rho-1/\rho))]인 유전체를 채웠다. 이 축전기의 단위 길이당 전기 용량을 편미분 방정식을 풀어 결정하시오.(단, [math(\alpha)]는 양의 상수이다.) || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 편미분 방정식을 푸는 영역인 축전기 내부엔 자유 전하가 없다. 따라서 풀어야 하는 편미분 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \cdot \boldsymbol{\nabla} \Phi =0 )] }}} 편극성 물질의 유전율이 [math(\rho)]에 의존하는 함수임에 유의하여야 한다. 원통 대칭이 있으므로 [math(\Phi)]는 [math(\rho)]에만 의존할 것으로 기대되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (\rho^{2}-1) \frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right)+( \rho^{2}+1 ) \frac{\partial \Phi}{\partial \rho}=0 )] }}} 경계 조건으로 [math(\Phi(a)=V)], [math(\Phi(b)=0)]으로 둔다면, 이 방정식의 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi= \frac{\displaystyle V \ln{\left[ \frac{(1-\rho)(b+1)}{(\rho+1)(1-b)} \right]} }{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } )] }}} 따라서 전기장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{E}= - \frac{\displaystyle 2V}{ \displaystyle (\rho^{2}-1) \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } }\hat{\boldsymbol{\rho}} )] }}} 따라서 변위장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{D}= - \frac{\displaystyle 2\alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle \rho \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } }\hat{\boldsymbol{\rho}} )] }}} 따라서 각 판에 충전된 전하에 대한 표면 전하 밀도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sigma_{f}(a)&= \left. \mathbf{D} \cdot (- \hat{\boldsymbol{\rho}}) \right|_{\rho=a} &=\frac{\displaystyle 2\alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle a \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \\ \sigma_{f}(b)&= \left. \mathbf{D} \cdot (+ \hat{\boldsymbol{\rho}}) \right|_{\rho=b} &=-\frac{\displaystyle 2\alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle b \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \end{aligned} )] }}} 따라서 충전기에 충전된 전하는 표면 전하 밀도에 겉면적을 곱하면 되고, 만약 높이가 [math(z)]인 영역만 고려한다면, 충전된 전하는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} Q(a)&=\frac{\displaystyle 4 \pi z \alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \\ Q(b) &=-\frac{\displaystyle 4 \pi z \alpha \varepsilon_{0} V}{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } \end{aligned} )] }}} 이상에서 [math(Q(a)=-Q(b) \equiv Q)]로 놓고, 축전기 양 극단의 전위차 [math(\Delta \Phi=V)]임을 아므로 단위 길이당 전기 용량은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{Q}{z \Delta \Phi}=\frac{\displaystyle 4 \pi \alpha \varepsilon_{0} }{ \displaystyle \ln{\left[ \frac{(1-a)(b+1)}{(a+1)(1-b)} \right] } } )] }}} 으로 구해진다. '''[다른 풀이: 편미분 방정식을 풀지 않고 구하기]''' 축전기 문제를 다루고 있으므로 축전기에 충전된 전하가 [math(Q)]라 가정해보자. 반지름 [math(\rho (b<\rho'''[문제]''' ----- 내경과 외경이 각각 [math(a)], [math(b)]이고, 내부에 유전율이 [math(\varepsilon(\theta)=\varepsilon_{0} e^{\theta})]인 등방적인 유전체를 채운 구형 축전기가 있다. 이 축전기에 [math(Q)]의 전하를 충전시켰을 때, '''(a)''' [math(a