[include(틀:대수학)]
[include(틀:절대부등식)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[絶]][[對]][[不]][[等]][[式]]}}}

'''절대부등식'''은 [math(x^2\geq0)], [math(|\sin x| \leq |x|)]와 같이 문자를 포함한 [[부등식]]에서 그 문자가 주어진 정의역 안에서(이 경우는 실수) 어떤 값을 갖더라도 항상 성립하는 부등식을 말한다. 즉, 등식에서의 [[항등식]]과 대응되는 개념. 이를 뒤집어 말하면, 정의역이 달라지면 더이상 성립하지 않을 수도 있다는 것이다. [[산술·기하 평균 부등식]]을 예로 들면, 문자가 모두 양수여야만 항상 참임을 보장할 수 있다. 혹은 당장 위 예를 봐도, [math(x=i)]이면 성립하지 않는다. 물론 실수가 아니라면 애당초 부등식이 성립될 수 없으므로 부등식을 생각하는 것은 [[뻘짓]]이긴 하다.[* 다만 크기와 상관없이 같지 않다는 의미인 [math(\neq)]는 [[복소수]] 이상 범위에서도 쓸 수 있다.]

다만 "절대부등식"이라는 용어는 고교과정 이후 혹은 학술적으로는 쓰이지 않는다. 학술적인 증명 과정에서 부등식이 쓰이는 경우, 논의를 전개하는 자는 그게 구체적으로 코시-슈바르츠를 가리키는지, Hoeffding 부등식을 가리키는지, 혹은 (널리 공유되는 이름은 없지만) [math(e^x\geq 1+ x)]를 가리키는지와 같이 어느 부등식을 이용하는지 밝혀야 한다. 따라서 절대부등식으로 뭉뚱그려 언급되는 것은 있을 수 없다.

따라서 절대부등식은 사실 어디서 유래했는지 모를 정체불명의 용어. 대한수학회에서 절대부등식의 영어 번역으로 제시되는 "absolute inequality"를 검색해보아도 (i) absolute value inequality, 즉 절댓값의 성질에 의한 부등식[* 이쪽도 사실 영미권의 중고교 수학에서만 쓰인다.], 또는 (ii) 경제학 용어인 절대적 불평등(상대적 불평등의 반대 개념)만이 나올 뿐이다. 더군다나 아래 "크기 무관 절대부등식"에서 쓰인 용례와는 달리 수학에서 '부등식 (inequality)'은 대개 [math(\neq)]을 의미하지 않는다. 일본어 번역 "絶対不等式"으로 한국과 유사하게 중고교수학 내용이 검색되고 그 영어 번역이 마찬가지로 "absolute inequality"로 제시되는 것을 볼 때, 일본의 교육과정에서 만든 개념이 한국에 넘어온 것이라 추측된다.

고교과정 혹은 수학경시대회의 부등식들은 사실 원칙적으로는 [[편미분]]과 [[라그랑주 승수법]] 등의 수단을 통해 영역에서의 최대값과 최소값을 찾으면 풀리는 것들이 대다수이다. 경시대회에서는 이들을 미분을 쓰지 않고 식조작을 예술의 경지로 끌어올려서 증명해야 한다는 차이점이 있지만...

물론 네임드 절대부등식들이 단순히 변수 몇개 있는 식 최대/최소 구하려고 등장한 건 절대 아니다. --[[슈르 부등식]] 같은 건 맞지 않나-- 대학수학 이상의 고등과정에서 이름이 붙여진 절대부등식은 일반적인 함수나 공간 등 더욱 추상적인 대상들에 적용되고, 또한 '''고유한 의미를 갖게 된다.''' 예를 들어서 고교과정에서 변수 2n개짜리로만 알았던 [[코시-슈바르츠 부등식]]이 일반적인 벡터 꼴이나 함수의 적분 꼴로 나타나며 '[[내적]]은 0보다 크다'라는 사실을 의미하는 것처럼. [[확률론]], [[해석학(수학)|해석학]] 등에서 나오는 부등식을 본다면 이들의 공식뿐만이 아니라 본질적인 의미도 같이 생각해 보자.
== 예시 ==
다음은 학교 [[수학]]에서의 [[부등식]] 문제 해결에 자주 이용되는 절대부등식이다.
||[math(a,b,c)] 가 실수일 때,
 1. [math(a^2\pm ab+b^2\geq0)] (단, 등호는 [math(a=b=0)]일 때 성립)
 1. [math(a^2\pm2ab+b^2\geq0)] (단, 등호는 [math(a=\mp b)]일 때 성립, 복호동순) [* [math((a \pm b)^2\geq0)]]
 1. [math(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq0)] (단, 등호는 [math(a=b=c)]일 때 성립) [* [math( \displaystyle \frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\geq0 )]]||

 * [[삼각부등식#s-2|삼각부등식]]
 [math(|a|+|b|\geq|a+b|)]

 * [math(a>0,b>0)]일 때,
 [math(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2ab}{a+b})] (단, 등호는 [math(a=b)]일 때 성립). 이는 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계이다.[* 줄여서 AM-GM-HM이라 표시한다.] 자세한 내용은 [[산술·기하 평균 부등식]], [[평균]] 문서 참고.

 * [math(a,b,x,y)]가 [[실수]]일 때,
 [math(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(ax+by\right)^2)] (단, 등호는 [math(\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{b}{y})]일 때 성립)
 이는 [[코시-슈바르츠 부등식]]의 특수한 경우이다. 일반화된 공식은 해당 문서를 참고.

이 외에도 다른 여러 유명한 절대부등식이 있다.

=== 크기 무관 절대부등식 ===
넓은 의미로는 크기에 무관하게 [[동치관계]]가 성립하지 않는 식을 뜻하기도 한다. 대표적으로 다음이 있다.
 * '''[[페르마의 마지막 정리]]''': [math(x^n+y^n \neq z^n\ (x,y,z,n\in \mathbb{Z}, n \geq 3))]
 * [[1학년의 꿈]]: [math((x+y)^n \neq x^n+y^n\ (n\in \mathbb{C}, n \neq 1))]

다만 이런 것들은 엄밀하게는 '부등식'이라고 할 수 없으며, [[항등식]]에 대한 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_fallacy|수학적 오류]]라는 표현을 쓴다.
== 관련 문서 ==
[include(틀:절대부등식)]
 * [[부등식]]
 * [[:분류:절대부등식]]
 * [[산술·기하 평균 부등식]]
 * [[평균부등식]]
 * [[코시-슈바르츠 부등식]]
 * [[슈르 부등식]]
 * [[젠센 부등식]]
 * [[횔더 부등식]]

[[분류:절대부등식]]