[include(틀:차원)]
[include(틀:정다면체)]
[include(틀:4차원 볼록 정다포체)]
[include(틀:정다포체)]

[목차]

== 개요 ==
'''정다포체'''([[正]][[多]][[胞]][[體]])는 [[군(대수학)|군]]의 작용에 대해 추이적인 [[다포체]]이다. 유클리드 군 [math(\mathbb{E}\left(n\right))]의 부분군에 의한 작용일 경우, 특히 [math(n = 2)]의 경우 [[정다각형]], [math(n = 3)]의 경우 [[정다면체]]이다. 특히, 정다포체가 볼록인 경우 '''볼록 정다포체'''라 한다.

== 유클리드 다포체 ==
=== 볼록 정다포체 ===
유클리드 공간(일상적인 공간)에서 정의되는, 볼록한 정다포체를 의미한다.
4종 이상의 유클리드 정다포체가 존재하는 차원은 2~4차원 까지이며, 5차원 이후부터는 오직 [[단체]], [[초입방체]], [[정축체]] 3종만 존재한다.

 * 0차원: [[점]] - 1종 ([[점(기하학)|점]]만 존재한다.)
 * 1차원: [[선분]] - 1종 ([[선분]]만 존재한다.)
 * 2차원: [[정다각형]] - 무수히 많음
  * [[정삼각형]], [[정사각형]], [[정오각형]], ⋯, 정n각형, ⋯
 * 3차원: [[정다면체]] - 5종
  * [[정사면체]], [[정육면체]], [[정팔면체]], [[정십이면체]], [[정이십면체]]
 * 4차원: [[4차원 정다포체]] 6종
  * [[정오포체]], [[정팔포체]], [[정십육포체]], [[정이십사포체]], [[정백이십포체]], [[정육백포체]]
 * 5차원 이상: 각 차원마다 3종
  * [[단체(기하학)|n-단체]], [[초입방체|n-입방체]], [[정축체|n-정축체]]

[math(n)]차원에 존재하는 볼록 정다포체의 가짓수를 [math(N_n)]이라고 하면, [math(N_n)]은 다음과 같은 유명한 수열이 된다. 수열이 1로 시작해 갑자기 [math(n=2)]에서 무한대로 치솟았다가, 바로 다음 뜬금없이 5, 6이 되고, 갑자기 3으로 내려가버리므로, [math(n=6)]부터 다음 항을 예측하라고 하면 많은 사람들이 복잡한 문제인 줄 알고 답하지 못한다. 그러나 [math(n \ge 5)]일 때 모든 값이 3인 단순한 수열이다.

[math(N_n = \begin{cases}1\left(n=0\ \mathrm{or}\ n=1\right) \\ \infty\left(n=2\right) \\ 5\left(n=3\right) \\ 6\left(n=4\right) \\ 3\left(n\ge5\right)\end{cases})]

원소나열법으로 표현하면 [math(N_n = \left\{1,\ 1,\ ∞,\ 5,\ 6,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots \right\} )]이다.
==== 대칭 ====
2차원 유클리드 평면에는 무수히 많은 볼록 [[정다각형]]이 존재하며, 모든 차원의 유클리드 초공간에는 항상 [[단체(기하학)|단체]], [[정축체]], [[초입방체]]가 존재한다. [[군론]]적 측면에서 보면 이들의 [[대칭]]은 다음과 같다.

|| 차원 || 정다포체 || 대칭[*Cox 콕서터 표기법(Coxeter notation)] || 콕서터 군 || 대칭 차수 ||
|| 2 || [[정다각형|정[math(p)]각형]] || [p] || [math(I_2\left(p\right))] || [math(2p)] ||
||<|3> 3 || [[단체(기하학)|[math(n)]-단체]] || [3,3] || [math(A_n)] || [math( \left(n+1\right)!)] ||
|| [[초입방체|[math(n)]-입방체]] ||<|2> [4,3] ||<|2> [math(BC_n)] ||<|2> [math(2^nn!)] ||
|| [[정축체|[math(n)]-정축체]] ||

이들에 속하지 않는 [[정다포체]]는 오직 3차원과 4차원에서만 각각 2개, 3개씩 존재하며, [[군론]]적 측면에서 보면 이들의 [[대칭]]은 다음과 같은 [[콕서터 군]]에 해당한다.

|| 차원 || 정다포체 || 대칭[*Cox] || 콕서터 군 || 대칭 차수 ||
||<|2> 3 || [[정십이면체]] ||<|2> [5,3] ||<|2> [math(H_3)] ||<|2> 120 ||
|| [[정이십면체]] ||
||<|3> 4 || [[정이십사포체]] || [3,4,3] || [math(F_4)] || 1152 ||
|| [[정백이십포체]] ||<|2> [5,3,3] ||<|2> [math(H_4)] ||<|2> 14400 ||
|| [[정육백포체]] ||

=== 오목 정다포체 ===
유클리드 공간에서 정의되는, 오목한 정다포체를 의미한다. 그 형태 때문에 [[별]] 정다포체(star polytope)라고도 불리며, 3차원인 오목 정다면체는 [[케플러-푸앵소 다면체]](Kepler-poinsot polyhedron)라고 불린다.

볼록 정다포체가 오직 자연수로만 표기되는 것에 반해, 오목 정다포체의 슐레플리 부호는 정수가 아닌 [[유리수]]가 하나 이상 포함된다.

오직 2~4차원까지에서만 정의된다. 5차원 이상의 오목 정다포체는 존재하지 않는다.[*증명 이에 대한 증명은 간단하다. 유클리드 공간에서 (볼록이든 오목이든) 정다포체 꼭지점의 좌표는 그 정의상 반드시 해당 차원의 정다포체 대칭성을 가질 수밖에 없다. 따라서 오목 정다포체는 해당 차원의 볼록 정다포체와 꼭지점을 공유하는 것 외에는 존재하지 않는다. 그런데 5차원 이상의 정다포체는 오직 [[단체(기하학)|단체]], [[초입방체]], [[정축체]]만 존재하며, 오각 또는 그 이상의 대칭이 존재하지 않는다. 따라서 별 형태를 만들 수 없으므로, 5차원 이상의 유클리드 오목 정다포체는 존재하지 않는다.]

 * 2차원: 정다각별 - 무수히 많음
  * [[오각별|정오각별]][math(\left\{ 5/2 \right\})], [[칠각성|정칠각별]][math(\left\{ 7/2 \right\})], [math(\left\{ 7/3 \right\})], 정팔각별[math(\left\{ 8/3 \right\})]⋯, 정[math(\frac{x}{y})]각형([math(x>2y)]), ⋯
 * 3차원: [[케플러-푸앵소 다면체]] - 4종
  * 케플러 다면체: [[작은 별모양 십이면체]](small stellated dodecahedron)[math(\left\{ 5/2,\ 5 \right\})], [[큰 별모양 십이면체]](great stellated dodecahedron)[math(\left\{ 5/2,\ 3 \right\})]
  * 푸앵소 다면체: [[큰 십이면체]](great dodecahedron)[math(\left\{ 5,\ 5/2 \right\})], [[큰 이십면체]](great icosahedron)[math(\left\{ 3,\ 5/2 \right\})]
 * 4차원: [[4차원 정다포체]] 10종
 icosahedral 120-cell [math(\left\{ 3,\ 5,\ 5/2 \right\})]
 small stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 5,\ 3 \right\})]
 great 120-cell [math(\left\{ 5,\ 5/2,\ 5 \right\})]
 grand 120-cell [math(\left\{ 5,\ 3,\ 5/2 \right\})]
 great stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 3,\ 5 \right\})]
 grand stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 5,\ 5/2 \right\})]
 great grand 120-cell [math(\left\{ 5,\ 5/2,\ 3 \right\})]
 great icosahedral 120-cell [math(\left\{ 3,\ 5/2,\ 5 \right\})]
 grand 600-cell [math(\left\{ 3,\ 3,\ 5/2 \right\})]
 great grand stellated 120-cell [math(\left\{ 5/2,\ 3,\ 3 \right\})]

== 관련 문서 ==
 * [[다각형]]
 * [[정다면체]]
 * [[4차원 정다포체]]
 * [[4차원]]
 * [[5차원]]
 
[[분류:기하학]]