[[분류:삼각형]][[분류:한자어]]
[include(틀:평면기하학)]
[[파일:external/upload.wikimedia.org/Triangle_equilateral.png|align=right&width=160]]
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== 정의 ==
{{{+1 equilateral triangle, regular triangle, 2-simplex ・ [[正]][[三]][[角]][[形]]}}}

세 [[변#s-3]]의 길이가 같은 [[삼각형]]. 혹은 세 [[각]]이 같은 삼각형으로 정의해도 된다. 삼각형의 내각의 합은 [math(180\degree)]이므로 정삼각형의 한 각은 [math(60\degree)]이다.

== 성질 ==
 * 세 각의 크기가 같음
 * 유일하게 [[내심]], [[외심]], [[수심]], [[무게중심]]이 같은 삼각형
 * 모든 정삼각형은 서로 [math(\rm AA)] 닮음
 * [[쌍대다면체|쌍대]]는 닮음 관계의 자기 자신
 * [[슐레플리 부호]]는 [math(\{3\})]
 * 축퇴되지 않는 최소의 [[단체(기하학)|단체]]
 * 한 점을 공유하도록 6개의 [[합동(기하학)|합동]]인 정삼각형을 붙이면 정삼각형 1개와 변의 길이가 같은 [[정육각형]]이 됨
== 다른 삼각형과의 관계 ==
정삼각형은 세 변과 세 각이 모두 같으므로 [[이등변삼각형]]이다. 또한 모든 각이 [math(60\degree)]로 예각이므로 [[예각삼각형]]이다. 따라서 정삼각형은 '''예각이등변삼각형'''이다.
[[유클리드 공간]], [[쌍곡 공간]]에서는 모든 각이 예각이지만, [[타원 공간]]이나 [[구면 공간]][* 모든 방향으로 일정한 타원 공간이기도 하다.]에서는 직각이나 둔각을 가질 수 있다.

정삼각형의 각 각에서 한 점에서 만날 때까지 이등분선을 그으면 각 각이 [math(30\degree)], [math(30\degree)], [math(120\degree)]이고 합동인 [[둔각삼각형]]이자 [[이등변삼각형]] 세 개로 분할된다. 그리고 이 교점이 외심이자 수심, 내심, 무게중심이다.
== [[복소평면]] ==
[[1의 세제곱근]]을 복소평면에 점으로 나타낸 뒤 이으면 한 변의 길이가 [math(\sqrt 3)]인 정삼각형이 된다.

== [[프랙털 이론]] ==
[[시어핀스키 삼각형]]과 [[코흐 곡선]]은 정삼각형에서 출발하는 프랙털 도형이다.
== 공식 ==
정삼각형의 한 변의 길이를 [math(a)]라 하면 다음이 성립한다.
 * 높이: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a)]
 * 넓이: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2})]
 * 외접원의 반지름: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a)]
 * 내접원의 반지름: [math(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a)]
 * 둘레: [math(3a)]