[include(틀:4차원 볼록 정다포체)]
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[[파일:external/upload.wikimedia.org/Schlegel_wireframe_600-cell_vertex-centered.png|width=50%]]
정육백포체

[[파일:external/upload.wikimedia.org/600-cell.gif]]
회전하는 정육백포체의 3차원 투영 모습.[* 사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영됐다.]

== 개요 ==
正六百胞體/600-cell, 또는 Regular hexacosichoron(복수는 -chora)

한 개의 [[선분|모서리]]에 다섯 개의 [[정사면체]]가 만나고, 총 육백 개의 [[정사면체]]로 이루어진 [[정다포체]]. 볼록한 4차원 정다포체 중에서 가장 많은 수의 입체로 이루어져 있다. 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각이 [math(\cos^{-1}\dfrac{1}{3}\approx70.53\degree)]인데, 정사면체 5개가 한 모서리에 만날 때 약 70.53°×5 = 352.65°로 360° 이하이기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 있으나, 정사면체 6개가 한 모서리에 만난다고 가정하면 70.53°×6 = 423.18°로 360°를 초과하기 때문에 볼록 정다포체를 만들 수 없으며 꼭짓점마저도 {3,6}으로 유클리드 타일링이라 끝까지 그릴 수 없게 된다. 7개 이상의 정사면체가 한 모서리에 만나는 볼록한 정다포체 또한 한 모서리에 모이는 정다면체의 각의 합이 이보다 크기 때문에 당연히 만들 수 없으며, 이 경우에는 꼭짓점마저도 쌍곡인지라 끝까지 그릴 수 없게 된다.[* 5차원 단체 5개가 모이는 {3,3,3,3,5}는 꼭짓점마저도 쌍곡이라 끝까지 그릴 수 없으며, 정오포체 6개가 만나는 {3,3,3,6}은 모서리 또한 유클리드 벌집이며 5차원 정축체 3개가 만나는 {3,3,3,4,3} 역시 꼭짓점마저도 {3,3,4,3} 유클리드 벌집이므로 끝까지 그릴 수 없다.] 따라서 정육백포체는 정사면체로 만들 수 있는 4차원 볼록 정다포체들 중 구성 입체의 수가 가장 많다. 이렇게 구성 입체가 많이 필요한 이유는 정사면체 5개가 한 모서리에 모였을 때 남는 틈이 7.35°로 작아서[* 360°를 100%로 보았을 때 약 2.07% 정도밖에 되지 않는다.] 4차원 방향으로 접었을 때 굴곡이 약간밖에 생기지 않아 이포각이 크게 나타나기 때문이다. 여담으로, {3,3,3}정오포체와 이포각을 합치면 정확히 240°가 되며, {3,3,5/2}와 {3,3,4}정십육포체의 이포각을 합치면 {3,3,5}정육백포체와 이포각이 같아진다. 한마디로 120°에서 {3,3,5/2}의 이포각을 빼면 {3,3,3}, 120°에서 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 {3,3,5}와 같으며, {3,3,3}과 {3,3,5/2}의 이포각을 합치면 정확히 120°로, {3,4,3}, {3,3,4}와도 이포각이 같은 것.[* 마찬가지로, {3,3}[[정사면체]]와 {3,4}[[정팔면체]], {3,5}[[정이십면체]]와 {3,5/2}[[큰 이십면체]], {5,3}[[정십이면체]]와 {5,5/2}[[큰 십이면체]], {5/2,3}[[큰 별모양 십이면체]]와 {5/2,5}[[작은 별모양 십이면체]]도 이포각을 합치면 180°가 되어서 서로 이들끼리 조합하면 유클리드 벌집을 만들 수 있다.]

그리고 [[정백이십포체]]와 마찬가지로, 5차원 이상의 도형을 만들 수 없다. 왜냐하면 한 이포각의 크기가 약 164.48°여서 세 개가 만나면 당연히 493.44°가 되어 360°를 초과하는데, [[정오포체]] 5개가 한 모서리에 만난다고 해도 약 377.40°가 되어 360°를 초과하기 때문이다.
== 정보 ==
||[[슐레플리 부호]]||{3,3,5}||
||꼭짓점(vertex, 0차원)||120개||
||모서리(edge, 1차원)||720개||
||면(face, 2차원)||[[정삼각형]] 1200개||
||포(cell, 3차원)||[[정사면체]] 600개||
||쌍대||[[정백이십포체]]||
||이포각||[math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-3\sqrt{5}}{8}\right))][* [math(\dfrac{\pi}{3} + \cos^{-1}(-\dfrac{1}{4}))]][br](약 164.4775˚)||
||포함 관계[br]또는 '''다른 이름'''||'''테트라플렉스(tetraplex)''' 또는 '''tetrahedral complex'''[br]'''폴리테트라헤드론(polytetrahedron)'''[br]'''하이퍼이코사헤드론(hypericosahedron)'''[* 초(超)정이십면체]||

한 변의 길이가 [math(a)]인 정육백포체가 있을 때

총 모서리 길이(total edge length) = [math(720a)]
총 면적(total surface area) = [math(300\sqrt{3}a^2)]
겉부피(surcell volume) = [math(50\sqrt{2}a^3)]
초부피(bulk) = [math(\dfrac{50+25\sqrt{5}}{4}a^4)][* [math(\dfrac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4)]]≈[math(26.4754a^4)]
외접구의 반지름 = [math(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}a)]
모서리접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}a)]
면접구의 반지름 = [math(\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{6}a)]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4}a)]

[[분류:도형]]