[[분류:통계학]]
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== 개요 ==
[[확률론|확률론]]과 [[통계학|통계학]]에서 지수족(exponential family)은 특정한 조건(아래 항목 참고)을 만족하는 매개변수화된 확률분포들의 집합을 원소로 갖는 집합이다([[집합족]] ~~집합들의 집합인 셈~~). 수학적 편의성을 위해 정의되었는데, 알고보니 주어진 확률분포를 '''가장 자연스러운 매개변수(natural parameters)'''로 나타내는 것과 깊은 연관이 있다는게 밝혀지기도 했다([[정보기하학|정보기하학]]의 주요 연구대상이기도 하다). 옛날에는 Koopman-Darmois family라고 불렀다.

지수족이라는 용어는 확률분포들의 집합을 말하는데, 예를들어 지수족에는 [[정규분포|정규분포]], [[푸아송 분포|푸아송 분포]] 등 각각의 매개변수들을 가지는 확률분포들이 속한다. 이 개념은 [[수학자|G.Darmois, B.O.Koopman]] 등이 1935~1936년에 처음 제시했다. 지수족은 매개변수를 가지는 확률분포들을 각자 고유의 가장 자연스러운 매개변수로 나타내는 보편적인 프레임워크를 제공하고 있다.
== 정의 ==
=== 스칼라 매개변수 ===
매개변수가 [math(\theta)] 하나일 때 지수족의 원소는 다음과 같은 확률밀도함수를 원소로 갖는 집합으로 정의된다.

  [math(f_X(x|\theta) = h(x)~\exp [\eta (\theta)\cdot T(x)-A(\theta) ])]

이때 [math(T(x),h(x),\eta (\theta), A(\theta))]는 알려진 함수이고, [math(h(x))]는 양수이다.[* 확률분포니까 당연하다.] 여기서 [math(\theta)]는 해당 지수족 원소의 매개변수이다.
=== 벡터 매개변수 ===
매개변수가 벡터 [math(\boldsymbol\theta = [\theta_1, \theta_2, ..., \theta_s]^T)]로 주어질 때 지수족의 원소를 다음과 같은 확률밀도함수를 원소로 갖는 집합으로 정의한다:

  [math(f_X(x|\boldsymbol\theta) = h(x)~\exp[\sum_i^s \eta_i (\boldsymbol\theta) T_i(x)-A(\boldsymbol\theta)])]

혹은, 벡터 곱 형식으로 쓰면:

  [math(f_X(x|\boldsymbol\theta) = h(x)~\exp[\boldsymbol\eta (\boldsymbol\theta)\cdot {\boldsymbol T}(x)-A(\boldsymbol\theta)])]

이외에도 확률밀도함수를 표현할 때 자주 쓰이는 형태로는:

  [math(f_X(x|\boldsymbol\theta) = h(x)g(\boldsymbol\theta)~\exp(\boldsymbol\eta (\boldsymbol\theta)\cdot {\boldsymbol T}(x)))]

가 있다.

== 예시 ==
지수족의 원소로는 [[정규분포|정규분포]], [[베르누이 분포|베르누이 분포]], [[지수 분포|지수분포]], [[베타분포|베타분포]], [[감마 함수|감마분포]], [[푸아송 분포|푸아송분포]], [[카이제곱분포|카이제곱분포]] 등이 있다.

몇몇 확률분포들은 특정 매개변수가 고정되었을 때 지수족이 되기도 하는데, 예를들어 시행횟수 N이 고정된 [[이항분포]]'''들'''의 집합은 지수족의 원소가 된다.