[include(틀:다른 뜻1, other1=질량중심의 역학적 의미나 수학교과 내의 무게중심, rd1=무게중심)]
[include(틀:다른 뜻1, from=CoM, other1=후카오공업에서 개발중인 게임, rd1=세포신곡2)]
[include(틀:고전역학)]
[include(틀:천문학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 center of mass · [[質]][[量]][[中]][[心]]}}}

물리학에서 물체나 물체들로 이루어진 계의 질량중심은 모든 질량이 그 점에 모여 있고, 외력이 모두 그 점에 작용하는 것처럼 움직이는 특별한 점이다.[*출처 Halliday 일반물리학 10판 제 1권, 범한서적주식회사, p. 242]

[[무게중심]]과 질량중심은 흔히 혼용되는데, 일반적으로 무게중심은 어떤 점을 중심으로 중력으로 인한 계의 [[돌림힘|토크]]의 합이 0이 되는 점인 반면 질량중심은 힘을 생각하지 않고 질량의 분포만 따져 계산된다는 차이가 있다. 지구 표면과 같이 중력([math(m\mathbf{g})])이 일정한 특수한 상황에는 무게중심과 질량중심이 동일하다.

계산을 간편하게 하기 위해서 물체 각각의 부분을 고려하지 않고 물체의 모든 질량이 질량중심 한 점에 밀집되어 움직이는 질점(point mass)으로 생각하고 문제를 푸는 경우가 많다.
== 계산식 ==
=== 계에 유한한 개수의 점질량이 분포한 경우 ===
자연수 [math(n)]에 대하여 [math(n)]개의 질량이 분포되어 있는 계(system)에서 질량중심은 합의 기호를 이용해 나타낼 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \mathbf{r}_{\text{CM}} \equiv \frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n} m_{i}\mathbf{r}_{i} \quad \left(M = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \right)  )] }}}
위의 식에서 [math(\mathbf{r}=(x,\, y,\, z))]는 [[벡터]]로 주어졌으므로 [[3차원]] 공간에서 질량중심은 3개의 값을 갖는 벡터 [math(\mathbf{r}_{\text{CM}}=(x_{\text{CM}},\, y_{\text{CM}},\, z_{\text{CM}}))]으로 이루어져 있다. 각각의 성분은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x_{\text{CM}} &=  \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}x_{i} \\ y_{\text{CM}} &=  \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}y_{i}   \\ z_{\text{CM}} &=  \frac{1}{M} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} m_{i}z_{i} \end{aligned})] }}} 
=== 질량이 연속적으로 분포된 물체의 경우 ===
세상은 질량이 연속적으로 분포한 형태로 이루어져 있다. 즉 서론에서 소개한 점질량(point mass)은 현실에는 존재하지 않는다. 기계공학 등에서는 질량의 연속적 분포까지 고려하는 경우가 많다. 어떤 입체적인 물건을 무한에 가깝게 쪼개서 작은 질량 요소 [math(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \Delta m = {\rm d}m)]을 고려할 수 있다. 그렇게 되면 합의 기호는 적분으로 표현 가능하다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \mathbf{r}_{\text{CM}} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_{i}\mathbf{r}_{i} =  \frac{1}{M} \int \mathbf{r} \, {\rm d}m )] }}}
어떤 점에서의 밀도 [math(\rho (\mathbf{r}) = {{\rm d}m}/{{\rm d}V})]가 주어졌을 때 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math({\rm d}m = \rho (\mathbf{r}) \, {\rm d}V = \rho (\mathbf{r}) \, {\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z)]}}}
로 치환해 질량중심 공식을 부피 [math(V)]에 대한 삼중적분으로 변환할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center" 
[br][math(\mathbf{r}_{\text{CM}} = \displaystyle\frac{1}{M} \displaystyle\iiint_V \rho(\mathbf{r}) \, {\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z )]}}}
== 질량중심의 속도·선운동량 ==
속도는 시간에 대한 위치의 [[도함수]]이므로 질량중심의 속도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \mathbf{v}_{\text{CM}} = \frac {{\rm d}}{{\rm d}t} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\mathbf{r}_{i} )] }}}
[math(M)], [math( m_{i})]는 시간에 의존하지 않으므로 위의 식은 다음과 같이 된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{v}_{\text{CM}} &=  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i} \frac {{\rm d} \mathbf{r}_{i}}{{\rm d}t} \\ &=\frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i} \mathbf{v}_{i} \\&=\frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n}  \mathbf{p}_{i}  \end{aligned} )] }}}
[math(\mathbf{p}_{i})]는 [math(i)]번째 입자의 선운동량이다. 한편 질량 중심의 선운동량 [math(\mathbf{p}_{\rm CM}=M\mathbf{v}_{\rm CM})]이므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}_{\rm CM}=\displaystyle\sum_{i}^{n}  \mathbf{p}_{i}  \end{aligned} )] }}}
로 입자의 선운동량의 총합이다.
== 질량중심의 가속도 ==
가속도는 시간에 대한 속도의 [[도함수]]이므로 질량 중심의 가속도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{a}_{\text{CM}}&= \frac {{\rm d}}{{\rm d}t} \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\mathbf{v}_{i} \\ &=  \frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i} \frac {{\rm d} \mathbf{v}_{i}}{{\rm d}t} \\ &=\frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i} \mathbf{a}_{i}   \end{aligned} )] }}}
한편, [math(m_{i}\mathbf{a}_{i}=\mathbf{f}_{i})]로 [math(i)]번째 입자의 알짜힘이고, 질량 중심에 대한 알짜힘은 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}_{\rm CM}=M\mathbf{a}_{\rm CM}=\displaystyle\sum_{i}^{n}  \mathbf{f}_{i}  \end{aligned} )] }}}
로 입자의 알짜힘의 총합이다.

한편, 질량중심에 대한 알짜힘을 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math( \displaystyle \frac{{\rm d} \mathbf{p}_{\rm CM}}{{\rm d} t}= \frac {{\rm d}}{{\rm d}t} \displaystyle\sum_{i}^{n} m_{i}\mathbf{v}_{i}= \mathbf{F}_{\rm CM} )] }}} 

[[분류:수학]][[분류:물리학]]