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== (사전지식) 내림 차례곱 ==
양의 정수 n에 대해 
[math(\displaystyle x^{\underline{n}} = \prod_{k=0}^{n-1} (x-k))][br]이라 정의한다.
== 개요 ==
[[이산]]적인 세계(정수)에서의 [[미분]]으로 우리가 알고 있는 미분과는 조금씩 다르다. 일단 차분을 설명하기 위해서는 이산적일 때의 다항식을 설명해야 하는데, 이산적일 때의 다항식은 [math(x^{\underline{1}} = x)], [math(x^{\underline{2}} = x(x-1))], ...,  [math(x^{\underline{n}} = x(x-1)\cdots(x-(n-1)))]와 같이 내림 차례곱을 통해 정의한다. 여기서 차분을 시키면 우리가 알고 있는 [[미분]] 공식과 같이 나오고, 나온 다항식은 위에서처럼 내림 차례곱을 해야 한다. 예를들어 [math(x^{\underline{3}})]를 차분시키게 되면 우리가 알고 있는 미분 공식대로 [math(3x^{\underline{2}})]가 나오고 이는 [math(3x^{\underline{2}} = 3x(x-1))]가 된다. 이것을 일반화시키면 [math(x^{\underline{n}})]를 차분하면 [math(nx^{\underline{n-1}} = nx(x-1)(x-2)\cdots(x-(n-2)))]가 된다.

이뿐만 아니라, 상술했듯이 연속적인 세계를 설명하는 연산이 미분, 이산적인 세계를 설명하는 연산이 차분이라면 미분의 역연산인 [[적분]]도 이산적인 세계에 대응될 거라 생각할 수 있을 텐데, 그것은 다름아닌 [[시그마]]이다. 이것은 어찌보면 당연한게, 고등학교 [[미적분(교과)|미적분]] 과목을 이수했다면 알겠지만 그 유명한 [[구분구적법]]이 다음과 같이 나타내진다. 

[math(\displaystyle \lim_{x→∞}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx)]

여기서 좌변은 이산적인 세계의 [[시그마]]이고, (구분구적법이 애초에 구간을 이산적으로 쪼개는 것이므로), 우변이 연속적인 세계의 [[정적분]]이다.
이렇게 직관적으로 이해하는 것도 좋지만, 앞에서 보았던 내림 차례곱을 써서 대표적인 미분과 차분의 관계식을 유도해 보자. 
먼저, 미분에서의 지수함수 [math(e^x)] 는 차분에서 어떻게 변환되는지를 알아보려고 한다. 

{{{+2 [math(f(x)=e^x)] }}} 라고 하면
{{{+2 [math(f'(x)=e^x)] }}}이므로 차분을 사용해도 같은 결과[* 그 함수를 차분했을 때 본래의 함수와 같아야 한다.] 가 나와야 하므로 이에 대응하는 함수를 E(x)라 하자. 이 E(x)를 x에 대한 닫힌 식으로 표현하는 것이 목표이다.

앞에서 한 미분의 결과에 의해 {{{+1 [math(\Delta E(x) = E(x))] }}} 가 성립한다. 차분의 정의(내림 차례곱) 에 의해 좌변을
{{{+1 [math(E(x+1)-E(x)=E(x))] }}} 이므로 {{{+1 [math(E(x+1)=2E(x))] }}} 라는 [[점화식]] 이 나온다.
이것은 간단한 일계 미분방정식으로 풀어도 되고, 점화식으로 풀어도 되지만 그냥 직관적으로 {{{+1 [math(E(x)=2^x)] }}} 임을 알 수 있다. 왜 이런 결과가 나오는지는 후술하고, 이제 적분-시그마의 관계로 넘어가 보자. 이 둘의 관계는 훨씬 눈에 잘 보일 것이다.

이번에는 예로 적분에서의 로그함수 [math(\ln x)] 는 어떻게 표현되는지 알아보자. 이번에는 f(x)=ln x로 정의한다.  [* 사실 우리는 답을 이미 알고 있다.  앞에서 말했듯이([math(\displaystyle \lim_{x→∞}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx)]) 적분과 시그마는 항상 같은 함수로 대응된다. ] 
[math(\displaystyle f'(x)=1/x)] 에서 이에 대응되는 함수 L(x)는 [math(\displaystyle \Delta L(x) = x^{\underline{-1}})] 의 차분방정식을 만족한다. 

다시 한 번 내림 차례곱의 정의를 생각해 보면,  양의 정수 n에 대해  [math(\displaystyle \bar{x}= (x-0)(x-1)(x-2) ... (x-(n-1)))]로 내림 차례곱을 정의했었는데, 이것을 지수의 확장 비슷하게 '양의 정수 n' 이란 조건을 '임의의 정수 n' 으로 바꿔보자. [* 이렇게 해도 수학적으로 오류가 없는지에 대한 증명은 지수의 확장 증명에 버금갈 정도로 복잡하므로 생략.] 그렇다면 다음과 같이 논의를 확장할 수 있다. 

{{{+2 [math(x^{\underline{3}} = (x-0)(x-1)(x-2))] }}}
{{{+2 [math(x^{\underline{2}} = (x-0)(x-1))] }}}
{{{+2 [math(x^{\underline{1}} = (x-0))] }}}

이 방식대로 0 이하 지수를 정의하면

{{{+2 [math(\displaystyle x^{\underline{0}} = 1)]}}}
{{{+2 [math(\displaystyle x^{\underline{-1}} = 1/(x+1))] }}}
{{{+2 [math(\displaystyle x^{\underline{-2}} = 1/(x+1)(x+2))] }}}
와 같은 식으로 정의할 수 있다.

따라서 [math(\displaystyle \Delta L(x) = 1/(x+1))] 이고, 차분 연산자의 정의에 의해 {{{+1 [math(\displaystyle L(x+1)-L(x) = 1/(x+1))]}}}이 성립한다.

이것은 그 유명한 [[리만 제타 함수]]에 1을 대입했을 때에 나오는 무한급수의 점화식과 완전히 일치한다. 
즉, [math(\displaystyle L(x)=\sum_{k=1}^{x}\frac{1}{k})] 임이 도출된다. 

잘 따라왔다면 알겠지만 적분과 시그마는 계산 과정만 다를 뿐 결과는 완전히 똑같다. 이는 [[구분구적법]]의 관점에서 한쪽(적분)은 [[미적분의 기본정리]]를 이용해서 연속적으로 계산한 것이고, 다른 한쪽(시그마)는 구분구적법에 의거해 하나하나씩 이산적으로 쌓고, 그 값에 리미트를 취함으로서 결론적으로 같은 값을 내는 것이라 볼 수 있다. 

지금까지 유도한 것들은 무엇을 의미하는가? 라고 묻는다면, 이것은 미분과 차분의, '''연속적인 관점에서의 자연로그와 이산적인 관점에서의 [[조화수(수학)|조화수]]가 대응'''함을 입증하는 아주 좋은 예시이다. 물론 단 하나의 예시만으로는 증명이 될 수 없지만, 위 내용들을 다 이해했다면 한번 임의의 함수를 써 보며 실험해 보자. 

위 내용들이 잘 이해가 안 된다면 [[유키 히로시]]의 [[수학 걸]] 6장, 8장을 참조할 것.

[[분류:이산수학]]