* [[수학 관련 정보]]
[include(틀:선형대수학)]

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[목차]

== 개요 ==
차원 정리[* 영어로는 dimension theorem, rank theorem, rank-nullity theorem 등으로 부른다.]는 rank와 nullity간의 관계를 설명해주는 정리이다.

== rank와 nullity ==
Rank는 계수, 차수로도 불린다.

=== [[행렬]]의 경우 ===
행렬의 행벡터들로 생성(span, generate)[* 선형결합(일차결합, Linear Combination)을 다 모은다는 뜻이다.]한 [[벡터공간]]을 __'''행공간(row space)'''__, 열벡터들로 생성한 벡터공간을 __'''열공간(column space)'''__ 또는 '''__상(image)__'''이라고 하고, 행렬 [math(A)]의 행공간을 [math(\mathrm{row}(A))], 열공간을 [math(\mathrm{col}(A))] 또는 [math(\mathrm{im}(A))][* 대소문자에 주의할 것. [math(\mathrm{Im}(A))]라고 쓰면 [[허수]]부만 취한다는 뜻이 된다. 때문에 허수부를 취하는 함수 표기를 [math(\Im \left(A\right))]로 쓰기도 한다.]라 표기한다. 이때 다음의 정리가 성립한다.
 [math(\dim(\mathrm{row}(A))=\dim(\mathrm{col}(A)) )] [* 벡터공간 [math(V)]에 대해 [math(V)]의 [[차원]]을 [math(\dim(V))]로 표기한다.]
이때 이 값을 행렬 [math(A)]의 '''rank'''라고 하고 [math(\mathrm{rank}(A))]로 표기한다.

행렬 [math(A)]에 대해 [math(A\mathbf{x}=\mathbf{0})][* 영벡터]의 해 [math(x)]들을 모은 집합은 벡터공간이 된다. 이때 이 공간을 __'''영공간(null space)'''__ 또는 '''__핵(kernel)__'''이라고 하며 [math(\mathrm{null}(A))] 또는 [math(\ker(A))]라고 표기한다. 영공간의 [[차원]]을 '''nullity'''라고 하며[* 즉, [math({\rm dim}({\rm null}(A))={\rm nullity}(A) )]] [math(\mathrm{nullity}(A))]로 표기한다.

=== [[선형 변환]]의 경우 ===
[[선형 변환#s-2]] 참고.

== [[행렬]] 버전 ==
 * [math(m \times n)] [[행렬]] [math(A)]에 대해 [math( \mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n)]

이는 선형 시스템 Ax=b에서 성립하는 rank(A)+(#free variables)[* free variables의 개수]=n의 특수한 경우(Ax=0)라고 해석할 수 있다.

=== 증명 ===
==== 보조정리: 행동치와 계수 ====
이 자체만으로도 충분히 유용한 경우가 많으나, 본 정리의 증명에 필수적이기에 보조정리로 분류하였다.

> A와 B가 행동치(row equivalent)[* 기본행연산을 통해 서로 변환될 수 있는 관계]인 행렬이라고 하자. 이때 [math({\rm row}(A)={\rm row}(B))]이다.

[math(A)]는 기본행연산을 통해 [math(B)]로 변환될 수 있다. 다시 말해, [math(B)]의 각 행은 [math(A)]의 각 행의 선형결합(linear combination)이다.
이는 [math(B)]의 각 행의 임의의 선형결합이 [math(A)]의 각 행 사이 어떤 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서 [math({\rm row}(B) \subset {\rm row}(A))].
마찬가지로, [math(A)]의 각 행의 모든 선형결합을 [math(B)]의 각 행의 선형결합으로 표현될 수 있다. 그러므로 [math({\rm row}(A) \subset {\rm row}(B))].
위 두 결과에 의해, [math({\rm row}(A)={\rm row}(B))]이다. [math(\blacksquare)][* 속이 채워진 사각형은 [[■|증명 끝]]이라는 의미]

==== 본정리의 증명 ====
> [math(A)]가 [math(m \times n)] 행렬일 때 [math(\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n)]이다.


== [[선형 변환]] 버전 ==
 * [math(V, W)]가 유한차원 [[벡터공간]]이라고 하면, [[선형 변환]] [math(T:V\to W )]에 대해 [math( \mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T)=\dim V)]

=== 증명 ===

== 같이 보기 ==
 * [[가역행렬의 기본정리]]

[[분류:선형대수학]]