[include(틀:정수론)]
[include(틀:특수함수의 목록)]
[목차]
== 정의 ==
'''체비쇼프 함수(Chebyshëv function)'''는 소수와 관련된 두 가지 [[특수함수]]로, 제1종 체비쇼프 함수 [math(\vartheta(x))]와 제2종 체비쇼프 함수 [math(\psi(x))]가 있으며 정의는 다음과 같다. 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \vartheta(x) &\equiv \sum_{p ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \bold{1}_{\mathbb{P}}(n)\ln n \\ \psi(x) &\equiv \sum_{p^k ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \Lambda(n) \end{aligned} \qquad )] }}}
위에서 [math(p)]는 소수, [math(\bold{1}_{\mathbb{P}}(n))]은 [[집합 판별 함수|소수 판별 함수]], [math(\Lambda(n))]은 [[폰 망골트 함수]], [math(\lfloor x \rfloor)]는 [[최대 정수 함수|바닥함수]]이다.

정의대로 제1종 체비쇼프 함수는 소수의 [[자연로그]]값을 합하며, 제2종 체비쇼프 함수는 소수와 소수 제곱수의 [[소인수]] 자연로그값을 합한 값을 띤다.[* 제2종 체비쇼프 함수는 [math(x)] 이하의 모든 자연수에 대한 [[최소공배수]]의 자연로그값에 해당한다.]

함수 표기에 주의할 필요가 있다. 각각 [[세타 함수]][* 세타 함수는 [[다변수함수|이변수 함수]]이기 때문에 그나마 혼동이 적은 편. 참고로 이 함수의 풀네임(?)은 '[[카를 구스타프 야코프 야코비|야코비]] 세타 함수(Jacobi theta function)'이다.]와 [[감마 함수#폴리감마 함수|디감마 함수]]와 겹치기 때문에 사전에 이것이 체비쇼프 함수라고 알려주어야 혼동이 없다.

== 소수 계승 ==
'''소수 계승(primorial'''[* [[소수(수론)|prime(소수)]]과 [[계승(수학)|factorial(계승)]]을 합친 단어다.][* 기호인 [[\#|[math(\#)]]]는 [[위상수학]]에서 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Connected_sum|연결합(Connected sum)]]을 나타내는 용도로 쓰이므로 헷갈리지 않게 주의.]''')'''은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(n\#=e^{\vartheta(n)}=\displaystyle\prod_{p\leq n, \ \ p\,\in\,{\mathbb P}}p)] }}}
즉, 소수 계승 [math(n\#)]은 자연수 [math(n)] 이하의 모든 소수를 곱한 값이다.

[[소수 정리]]에 의해, 체비쇼프 함수는 [math(\lim\limits_{n \to \infty} \vartheta(n)/n=1)]을 만족시킨다. 따라서 양변에 [math(\rm{exp})] 함수[* [math(e)]의 거듭제곱 함수]를 취하면 소수 계승은 [math(\lim\limits_{n \to \infty}(n\#)^{1/n}=e)]를 만족시킨다.

=== [[리만 제타 함수]]와의 관계 ===
[math(p_n)]을 [math(n)]번째 소수라고 하자. 소수 계승은 [math(s=2, 3, ...)]일 때 다음과 같은 [[리만 제타 함수]]와의 관계를 만족시킴이 알려져 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s}{J_s(p_n\#)}, \ \ \ \ \cdots(1))]
[br][math(J_s(n)=n^s\displaystyle\prod_{p|n}(1-\dfrac{1}{p^s}))]}}}
여기서 [math(J_s)]는 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan%27s_totient_function|Jordan's totient function]]이라고 부른다. [math(s=1)]일 때 [math(J_s)]는 [[오일러 파이 함수]]와 같아진다.

[math(s=1)]이면 좌변 [math(\zeta(s))]는 당연히 양의 무한대로 발산하고, 우변 또한 양의 무한대로 발산한다. [math(s=1)]일 때 우변이 발산한다는 사실은 다음과 같이 증명된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{p_n\# \cdot \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n}\cdot \dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ \geq\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n})] }}}
따라서, 소수의 역수의 합은 발산하므로 비교판정법에 의해 발산한다.

또한 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 [math(s)]에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s \zeta_n(s)}{(p_n\#)^s}, \ \ \ \ \cdots(2))]
[br][math(\zeta_n(s)=\displaystyle\prod_{i=1}^n \dfrac{1}{1-p_i^s})]}}}
여기서 [math(\zeta_n)]은 리만 제타 함수의 처음 [math(n)]개 항의 부분합이다.

[[https://www.emis.de/journals/AMEN/2020/AMEN-190816.pdf|두 식의 출처]]. 여기에서 [math((2))]번 식의 유도 과정을 알아볼 수 있다.

[math((1))]번 식은 [math((2))]번 식에 비해 [math(s)]의 범위가 상당히 제한되어 있다는 단점이 있다. 그러나 이는 다른 [math(s)]값들에 대해 증명이 안 됐을 뿐일 수도 있다. 왜냐하면 실제로 계산해봤을 때 자연수가 아닌 실수 [math(s)]에 대해서도 해당 식이 성립하는 것처럼 보이기 때문이다. 아래 [[매스매티카|''Mathematica'']] 코드를 통해 직접 계산해볼 수 있다.[* 아래 코드를 복붙하여 실행한 이후 z1, z2 함수의 값을 보면 된다. z1, z2의 변수 k에는 [math((1))], [math((2))]번 식의 [math(s)] 값을 입력해주고, 변수 n에는 몇 번째 항까지 계산해줄지를 입력해주면 된다.]
||<table align=center>p[0]=1; [br]p[n_]:=p[n-1]*Prime[n] [br]J[k_,n_]:=p[n]^k*Product[1-1/Prime[i]^k,{i,1,n}] [br]z1[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k/J[k,r],{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N ||p[0]=1; [br]p[n_]:=p[n-1]*Prime[n] [br]zeta[s_,n_]:=Sum[1/i^s,{i,1,n}] [br]z2[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k*zeta[k,r]/p[r]^k,{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N ||
|| [math((1))] || [math((2))] ||
직접 계산해보면 [math((1))]번 식이 [math((2))]번 식보다 수렴 속도가 훨씬 빠른 것처럼 보이며, 이것은 [math((1))]번 식의 큰 장점이 될 수 있다.

[math((1))]번 식을 증명한 논문[* Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321.]이 사라져 있다. [[https://www.tandfonline.com/toc/uamm20/120/4|해당 저널]]을 들어가 보면 다른 논문이 있고, [[https://sites.google.com/site/istvanmezo81/publications|저자 사이트]]의 해당 논문 링크로 들어가보면 오류가 뜬다. [[https://en.wikipedia.org/wiki/Primorial#Appearance|위키피디아]]와 위 [[https://www.emis.de/journals/AMEN/2020/AMEN-190816.pdf|출처]]에서 해당 논문을 인용하고 있는 것을 보면 어느순간 내려간 듯한데 이 부분에 대한 자세한 확인이 필요하다.

=== 목록 ===
|| [math(n)] || [math(p_n\#)][* [math(p_n)]은 [math(n)]번째 소수] || 식 ||
|| 1 || 2 || 2 ||
|| 2 || 6 || 2×3 ||
|| 3 || 30 || 2×3×5 ||
|| 4 || 210 || 2×3×5×7 ||
|| 5 || 2310 || 2×3×5×7×11 ||
|| 6 || 30030 || 2×3×5×7×11×13 ||
|| 7 || 510510 || 2×3×5×7×11×13×17 ||
|| 8 || 9699690 || 2×3×5×7×11×13×17×19 ||
|| 9 || 223092870 || 2×3×5×7×11×13×17×19×23 ||
|| 10 || 6469693230 || 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29 ||

[[분류:비초등함수]][[분류:정수론]]