[목차]

{{{+2 [[置]][[換]] [치ː환], substitution}}}
== 기본적인 의미 ==
[[명사(품사)|명사]]: 바꾸어 놓음

== 수학에서의 치환 ==
=== 방정식에서의 치환 ===
어떤 항, 수식을 하나의 [[문자(수학)|문자]]로 바꾸는 일. 가령 홀수차 항이 없는 [math(x)]에 대한 [math(4)]차 방정식[* [math(y)]축에 대칭인 [[대칭함수|우함수]]에 해당한다.]에서 근을 구할 때 [math(x^2 = t)]로 치환하여 [math(t)]에 대한 [math(2)]차 방정식으로 바꾸어 풀면 용이하다.[* 만일 [[수학II]]에서 이러한 개형의 사차함수를 마주쳤다면 그냥 고1 과정만 제대로 이해하고 있어도 날먹 문제가 된다. ] 치환한 문자를 원래의 문자로 되돌리는 것을 '환원'이라고 하며, [[적분|부정적분]]을 계산할 때 적분 변수를 치환하여 적분([[치환적분]])한 경우 마지막에 반드시 환원해야 한다.

사차방정식의 특수한 형태인 복이차식([math(ax^4+bx^2+c=0)] 꼴)을 풀 때 [math(x^2=t)]로 치환하여 새로운 이차방정식으로 바꾸는 등 치환은 수학의 다양한 방면에서 여러모로 긴요한 테크닉이다.

[[연립방정식]]에서는 따로 '대입법'이라고 한다. 식 하나를 한 문자에 대한 식으로 정리한 뒤, 다른 식에서 환원해서 푸는 방법이다.

=== [anchor(치환(군론))]군론에서의 치환 ===
[include(틀:이산수학)]
{{{+2 permutation}}}

여러 개의 대상들이 주어졌을 때, 그것들의 순서를 바꾸는 일. 사다리타기를 생각해도 좋다. 영어 명칭이 고등학교 수학 과정에 나오는 [[순열]]과 똑같은데, 주어진 원소들 내에서 일부 혹은 전체의 순서를 맞바꾸는(permutate) 조작이라는 점에서 둘은 사실상 같은 것이기 때문이다. 실제로 치환의 개수는 순열로 표현할 수 있으며 [[하강 계승]]으로도 나타낼 수 있다.

군론에서 치환(순열)을 나타내는 방법에는 두 가지가 있는데 가장 기본적인 것은 다음과 같은 2행 표기법(two-line notation)[* 고등수학에서 [[행렬(수학)|행렬]]을 대괄호로 주로 표기하는 이유 중 하나이다.]이다. 첫 번째 행에는 치환을 조작하기 전(항등치환)의 각 원소의 순서를 쓰며 두 번째 행에는 치환 이후의 순서를 표기한다. 아래 예시에서는 항등치환의 원소가 자연수이지만 [math(x_i)]로 나타내는 경우도 흔하다.
|| [math(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots\cdots \\ \sigma \left(1\right) & \sigma \left(2\right) & \sigma \left(3\right) & \cdots\cdots \end{pmatrix})] ||
2행 표기법에서 첫 번째 행에는 반드시 항등치환의 순서가 들어가기 때문에 암묵적으로 이를 생략한 1행 표기법(one-line notation)도 있다. 후술하겠지만 1행 표기법에서 항등치환인 원소는 종종 생략된다.
|| [math(\sigma = \begin{pmatrix} \sigma \left(1\right) & \sigma \left(2\right) & \sigma \left(3\right) & \cdots\cdots \end{pmatrix})] ||

이를테면
[math(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix})]
는 [math(\sigma \left(1\right) = 2)], [math(\sigma \left(2\right) = 3)], [math(\sigma \left(3\right) = 1)][* 즉 [math(1 \to 2)], [math(2 \to 3)], [math(3 \to 1)]로 순서를 바꾼 것을 의미]이며 원소 [math(x_i)]로 나타낸 치환 이후의 순서는 [math(\begin{matrix} x_3 & x_1 & x_2 \end{matrix})]가 된다. 1행 표기법으로는
[math(\sigma_{231} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \end{pmatrix})]
이 된다.

==== 치환의 종류 ====
 * 항등치환
 순서를 바꾸지 않는 치환. 일반적으로 [math(\varepsilon)]로 나타낸다. 뭐 이따위 치환도 있냐고 느낄 수도 있겠지만, 이름에서 알 수 있듯이 [[대칭군]]에서 항등원 역할을 하는, 정말 중요한 치환이다. 참고로 항등치환의 경우 원소가 1개뿐이라 그 자체. 즉 '1개의 치환'으로 항등치환이 표기되는 상황이라도 반드시 짝치환으로 취급한다.

 * 호환
 단 [math(2)]개만 맞바꾸는 것. 아래의 예에서는 [math(1)]과 [math(2)]만이 맞바뀌었으며, 1행 표기법에서는 [math(3)]과 [math(4)]가 종종 생략된다.[* 생략하지 않는 경우에는 괄호 하나에 숫자 하나씩 써서 나타내는데, 보통 부동점을 명확히하고자 할 때 표기한다.]
 [math(\sigma_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \end{pmatrix})]
 모든 치환은 호환의 합성(곱)으로 표현되며, 그런 가정하에 아래의 개념이 성립한다. 그 외 다른 가정이 필요한데 각 항목에서 설명한다.

 * 짝치환(우치환)
 짝수 개 호환의 합성으로 표현되는 치환. 짝치환은 어떤 방식으로 표현하든 짝수 개의 호환이 필요하다.

 * 홀치환(기치환)
 홀수 개 호환의 합성으로 표현되는 치환. 홀치환은 어떤 방식으로 표현하든 홀수 개의 호환이 필요하다.

 * [math(p)]순환치환
 [math(p)]개 원소들의 치환으로서, 이 종류의 치환을 [math(p)]번 합성하면 항등치환이 나온다.
 아래의 경우는 [math(3)]순환치환이며 부동점은 [math(4)]이다.
 [math(\sigma_{231} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix})]

보다 자세한 것은 [[대칭군]] 참조.

==== 치환 알고리즘 ====
[math(\sigma_{123} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})]의 2행표기법에서  1행 표기법으로는 [math( \left( 123 \right) )]으로 표기할수있다.
집합P = {1,2,3}의 치환에서 이것을 [[순열 생성 알고리즘]]으로 돌리면 
(123) , (132) ,(231) ,(312),(213),(321)로 6개 나온다. 이걸 다시 2행표기법으로 바꾸면
[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix})],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix})]을 얻을수있다.

==== 순환군의 합성 ====
예를 들어 집합S ={1,2,3}의 치환군 S,,,3,,, 에서 [math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix})] 하나의 원소에 의해 생성되는 군인 [[순환군]]은 [[합성함수]](function composition)에서 보면
[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \circ  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} )]
[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}  \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}  )]
[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}   \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix}  )]이다.

즉, [math(   \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} )],[math( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}  )],[math(   \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 3 & 1 \end{pmatrix}  )] 3개이다.
순열의 홀짝성(parity)에서 우(짝)순열과 우(짝)순열의 합성은 우순열이고 기(홀)순열과 기(홀)순열의 합성은 우순열을 잘 보여주는 순환군이다.

== 화학에서의 치환 ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=치환 반응)]

[[분류:대수학]][[분류:화학]]