[[분류:비초등함수]][[분류:다변수함수]]
[include(틀:특수함수의 목록)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 elliptic integral · [[楕]][[圓]] [[積]][[分]]}}}

'''타원 적분'''은 [[타원]]의 둘레를 구하는 과정에서 등장한 적분꼴 함수이며, [[초등함수]]의 원시함수가 초등함수로 표현되지 않는 대표적인 경우이다.[* 다른 경우로는 [[지수 적분 함수]], [[로그 적분 함수]], [[삼각 적분 함수]], [[쌍곡선 적분 함수]], [[프레넬 적분 함수]], [[오차함수]] 등이 있다.]

이 문서는 초등적인 방법으로 타원 적분을 다루고 있으므로 타원 적분에 대한 심층적인 내용 정보가 필요하면 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral|이곳(영어)]]을 참고해볼 것을 권한다.

== 상세 ==
=== 르장드르 형태 ===
==== 제1종 타원 적분 ====
'''불완전 제1종 타원 적분(incomplete elliptic integral of the first kind)'''은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle F(\phi,\,k) = \int_{0}^{\phi} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
특히, [math(\phi=\pi/2)]인 경우를 '''완전 제1종 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)'''이라 하며
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
로 정의된다.

==== 제2종 타원 적분 ====
'''불완전 제2종 타원 적분(incomplete elliptic integral of the second kind)'''은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E(\phi,\,k) = \int_{0}^{\phi} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
특히, [math(\phi=\pi/2)]인 경우를 '''완전 제2종 타원 적분(complete elliptic integral of the second kind)'''이라 하며
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E(k) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d}\theta \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
로 정의된다.

=== 야코비 형태 ===
야코비 형태의 유도는 위의 르장드르 형태에서 [[라이프니츠]] 표기법을 이용하여 변수를 치환하는 것부터 시작한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle t = \sin{\theta} )] }}}
라 놓으면
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle {\rm d}\theta=\frac{{\rm d}t}{\cos{\theta}}=\frac{{\rm d}t}{\sqrt{1-t^{2} }})] }}}
가 되고, 적분 영역은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle 0 \leq \theta \leq \phi \,\to\, 0 \leq t \leq x )] }}}
로 바뀐다. 여기서 [math(x = \sin{\phi})]이다.

이것을 이용하여 야코비 형태로 바꿀 수 있다.

==== 제1종 타원 적분 ====
야코비 형태의 불완전 제1종 타원 적분은 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle F(x,\,k) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle K(k) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2}} }\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
참고로, 완전 제1종 타원 적분은 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} K(k) &=\frac{\pi}{2} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2}{k^{2n}} \right]\\& =\frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}} \right ]^{2}k^{2n} \end{aligned})] }}}

==== 제2종 타원 적분 ====
야코비 형태의 불완전 제2종 타원 적분은 아래와 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E(x,\,k) = \int_{0}^{x} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
완전한 경우에 대해선, [math(x=1)]인 경우이므로 아래와 같이 표현된다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E(k) = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-k^{2}t^{2} }}{\sqrt{1-t^{2} }}\,{\rm d}t \qquad (0 \leq k \leq 1) )] }}}
완전 제1종 타원 적분의 경우와 마찬가지로 완전 제2종 타원 적분도 멱급수로 전개할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle E(k) =\frac{\pi}{2} \left[1- \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right ]^{2} \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] )] }}}

=== [[초기하함수]]를 통한 정의 ===
완전 제1종⋅제2종 타원 적분은 다음과 같이 [[초기하함수]]를 사용해 나타낼 수 있다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\begin{aligned}
K(k) &= \dfrac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( \dfrac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr) \\
E(k) &= \dfrac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( -\dfrac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr)
\end{aligned} )]}}}||

||<table width=100%>{{{#!folding [유도 과정]
-------
완전 제1종 타원 적분만 증명한다. 증명 과정에서 [[이항급수]], [[이항계수]] 및 [[하강 계승]]의 성질이 사용된다. 제2종도 비슷한 방법으로 유도할 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned}
K(k) &= \int_0^{\pi/2} \frac1{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta}} \,{\rm d}\theta \qquad (0\le k\le1) \\
&= \int_0^{\pi/2} (1-k^2 \sin^2 \theta)^{-1/2} \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \binom{-1/2}n (-k^2 \sin^2 \theta)^n \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1/2)^{\underline n}}{n!} (-k^2 \sin^2 \theta)^n \,{\rm d}\theta \\
&= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (1/2)^{\overline n}}{n!} (-1)^n k^{2n} \sin^{2n} \theta \,{\rm d}\theta \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} k^{2n} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta \,{\rm d}\theta \\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} k^{2n} \cdot \frac\pi2 \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} \\
&= \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n} \cdot (1/2)^{\overline n}}{n!} \frac{(k^2)^n}{n!} \\
&= \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n} \cdot (1/2)^{\overline n}}{1^{\overline n}} \frac{(k^2)^n}{n!} \\
&= \frac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( \frac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr)
\end{aligned} )]}}}
}}}||

=== [[그래프]] ===
==== 불완전 타원 적분 ====
아래는 [math(k^{2}=0.9)]일 때, [math(F(\phi,\,k))]와 [math(E(\phi,\,k))]의 그래프를 [math([0,\,2\pi])] 영역에서 나타낸 것이다.

[[파일:namu_불완전타원적분_그래프_NEW.png|width=340&align=center]]

==== 완전 타원 적분 ====
아래는 [math(\displaystyle K(k))]와 [math(\displaystyle E(k))]의 그래프를 [math(\displaystyle 0 \leq k \leq 1)]의 영역에서 나타낸 것이다.

[[파일:나무_타원적분_NEW.png|width=220&align=center]]

이때, 다음이 성립한다.

==== 완전 타원 적분의 극한값 ====
 * [math(\displaystyle \lim_{k \to 0} E(k)=\lim_{k \to 0} K(k) =\frac{\pi}{2})]
 * [math(\displaystyle \lim_{k \to 1} E(k)=1)]
 * [math(\displaystyle \lim_{k \to 1} K(k)= \infty)]
 * [math(\displaystyle \lim_{k \to -\infty} E(k) =\infty)]
 * [math(\displaystyle \lim_{k \to -\infty} K(k)=0)]

=== 관련 공식 ===
'''[1]'''
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} F(-\phi,\,k)&=-F(\phi,\,k) \\ E(-\phi,\,k)&=-E(\phi,\,k) \end{aligned} )] }}}
이 결과는 정의식을 이용하여 도출할 수 있으며, 이는 타원 적분이 곧 [[대칭함수|홀함수(odd function; 기함수)]]임을 얻는다.

'''[2]'''
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} F(n \pi \pm \phi,\,k)&=2nK(k) \pm F(\phi,\,k) \\ E(n \pi \pm \phi,\,k)&=2nE(k) \pm E(\phi,\,k)  \end{aligned} )] }}}
(단, 여기서 [[정수|[math(n \in \mathbb{N})]]]이고, [[복부호 동순]]이다.)

'''[3]'''
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta} }}\,{\rm d} \theta&=F(\phi_{2},\,k)-F(\phi_{1},\,k) \\ \int_{\phi_{1}}^{\phi_{2}} \sqrt{1-k^{2}\sin^{2}{\theta}}\,{\rm d} \theta&=E(\phi_{2},\,k)-E(\phi_{1},\,k) \end{aligned} )] }}}

'''[4]''' '''르장드르 항등식'''
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle K(k)E(1-k^{2})+K(1-k^{2})E(k)-K(k)K(1-k^{2})=\frac{\pi}{2} )] }}}

== [[야코비 타원 함수]] ==
[include(틀:상세 내용, 문서명=야코비 타원 함수)]

== 기타  ==
 * '''타원 적분은 공식적으로 확정된 표기법이 없어 책이나 교재, 수치 계산 프로그램에 따라 다르다.''' 그렇기 때문에 타원 적분을 사용할 때는 사용하는 매체의 표기가 어떤지를 주의 깊게 살펴본 후 써야 한다. 
  * 수치 계산 프로그램인 [[매스매티카]]는 매개변수 [math(k^{2} := m)]을 사용한다. 이는 해당 프로그램을 기반으로 만들어진 검색엔진인 [[Wolfram Alpha]]도 마찬가지이다.

 * [[타원]]의 둘레를 구할 때 등장하며, 긴 [[반지름]]이 [math(r_{\text{max}})]이고 [[이심률]]이 [math(k)]인 타원의 둘레는 [math(4r_{\text{max}} E(k))]가 된다.

 * [[사인 곡선]]의 길이를 구할 때도 등장하게 되며, [math(1/4)]주기의 사인 곡선 [math(y(x)=a\sin{bx})]의 길이는 
 {{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \frac{\sqrt{a^2 b^2 + 1}}{b} \, E \biggl( \sqrt{1 - \frac{1}{a^2 b^2 + 1}} \biggr) )] }}}
 이다. 코사인 곡선 또한 사인 곡선의 평행 이동이므로 [math(1/4)]주기의 코사인 곡선의 길이 또한 같다.

 * [[단진자]]의 주기[* 즉, 미소 진동이 아닌 일반적 진동 상황을 고려할 때.]를 구할 때도 타원 적분이 등장하게 된다. 자세한 내용은 [[단진자]] 문서를 참고할 것.

 * [[타원곡선]]은 원래는 타원 적분의 [[역함수]]로 고안된 것이지만, 지금은 아무래도 상관없다는 듯 [[대수적 정수론|다른 길]]을 가고 있다.

== 관련 문서 ==
 * [[특수함수]]
 * [[단진자]]
 * [[사인 곡선]]