[include(틀:기하학·위상수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 '''([[유클리드 기하학|Euclidean]]) plane · [[平]][[面]]'''}}}

3차원 상의 곡면 중 평평한 면을 '''평면'''이라 한다. 주의해야 할 것은 일상 생활의 개념과 달리 수학적인 평면은 '''무한한 면'''을 다룬다는 것이다. 즉, 직육면체의 윗면 같은 것은 평면의 '''일부'''를 도려낸 것이다.

== 수학적 분석 ==
=== 평면의 결정 조건 ===
아래 각각의 조건에 대해, 조건에 주어진 모든 도형을 포함하는 평면은 유일하게 결정된다.
 * 서로 다른 세 점이 주어질 때
 * 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어질 때
 * 한 점에서만 만나는 두 직선이 주어질 때
 * [[유클리드 기하학|세 각의 합이 [math(\pi)](혹은, [math(180\degree)])인 삼각형이 주어질 때]][* 즉, [[비유클리드 기하학|평행선 공준이 거짓일 경우]] 위 3개를 만족하더라도 평면이 아니다. 위 3개를 만족하는 대표적인 반례로 [[푸앵카레 원반]]이 있다.]

[[미분기하학]]에서는 아래처럼 정의한다.
 * 모든 방향에서 [[곡률]]과 [[뒤틀림|열률]]이 0인 [[곡면]]이다.
=== 평면의 위치 관계 ===
==== 평면과 직선 ====
공간 상에 있는 한 평면 [math(\pi)]와[* plane의 p에 해당하는 그리스 문자 [math(\pi)]를 사용] 한 직선 [math(l)]은 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.

[[파일:namu_평면직선 위치관계.png|width=350&align=center]]

 * '''(a)''': 포함한다.
 * '''(b)''': 한 점에서 만난다.
 * '''(c)''': 평행하다. 이것을 기호로 [math(\pi \parallel l)]로 나타낸다.

위에서 '''(a)''', '''(b)'''는 평면과 직선이 직접적으로 만나지만, '''(c)'''는 만나지 않는다는 것에 유의하라.

===== 직선과 평면의 직교 =====
공간 상 한 평면 [math(\pi)]와 해당 평면에 대해 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려하자. 이때, 다음을 만족하면 평면 [math(\pi)]과 직선 [math(l)]은 직교한다고 하고, 기호로 [math(l \perp \pi)]로 나타낸다.
 * 직선 [math(l)]과 평면 [math(\pi)] 위의 모든 직선이 직교할 때

다음 그림을 참고하라:

[[파일:namu_평면직선직교.png|width=150&align=center]]

이때, 한 직선과 한 평면이 직교하는 것은 '''해당 직선과 그 평면 위의 평행하지 않은 두 직선이 직교한다는 것'''을 보이면 된다. 이것의 증명은 아래와 같다.

[[파일:namu_평면직선직교증명_new.png|width=200&align=center]]

평면 [math(\pi)]와 해당 평면에 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려하고, 직선 [math(l)]과 직교하는 두 직선 [math(m)], [math(n)]을 고려해보도록 하자. 이때, 두 직선은 평행이동을 통해여 직선 [math(l)]과의 교점 [math(\mathrm{O})]에서 만나게 할 수 있다. 그러한 직선을 [math(m')], [math(n')]이라 놓고, 직선 [math(l)]에 [math(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}})]를 만족하게 하는 두 점 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{P'})]를 잡자. 또, 두 직선 [math(m)], [math(n)]이 아닌 평면 [math(\pi)] 위의 임의의 직선 [math(L)]을 생각하고, 이 직선 또한 [math(\mathrm{O})]를 지나도록 평행이동한 직선을 [math(L')]이라 하자. 위 그림과 같이 [math(m')], [math(L')], [math(n')]을 통과하는 직선을 놓고, 해당 직선과 세 직선과의 교점을 각각 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{Q})], [math(\mathrm{B})]라 하자. 이때, 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{AP'}} \qquad \qquad \overline{\mathrm{BP}}=\overline{\mathrm{BP'}}  )]}}}
이에 따라 삼각형 [math(\mathrm{APB})], [math(\mathrm{AP'B})]에서 [math(\overline{\mathrm{AB}})]는 공통임에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \triangle \mathrm{APB} \equiv \triangle \mathrm{AP'B})]}}}
이 성립한다. 이로부터 [math(\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{QP'}})]이 성립하므로 삼각형 [math(\mathrm{PQP'})]는 이등변삼각형이 되고, [math(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}})]임을 고려하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle l \perp L' )]}}}
을 얻는다. 이에 따라 평면 [math(\pi)] 위의 임의의 직선 [math(l)]이 수직하므로 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle l \perp \pi )]}}}
임을 얻을 수 있다. 

==== 평면과 평면 ====
공간 상에 있는 두 평면 [math(\pi)], [math(\rho)]는 아래의 그림과 같이 3가지의 위치 관계가 존재한다.

[[파일:namu_평면평면 위치관계.png|width=350&align=center]]

 * '''(a)''': 만난다. (이때, 평면과 평면이 만나는 지점에서 직선이 형성되는데 이를 '''교선(Intersection line)'''이라 한다.)
 * '''(b)''': 평행하다. 이것을 기호로 [math(\pi \parallel \rho)]로 나타낸다.
 * '''(c)''': 일치한다. 이것을 기호로 [math(\pi = \rho )]로 나타낸다.

 따라서 두 평면이 만나지 않으면 두 평면은 평행하다.

=== 삼수선의 정리 ===
평면 [math(\pi)] 위에 있지 않은 한 점 [math(\mathrm{P})]와 평면 [math(\pi)] 위의 직선 [math(l)] 위의 한 점 [math(\mathrm{H})], 직선 [math(l)] 위에 있지 않은 점 [math(\mathrm{O})]에 대하여 다음이 성립하는데, 이를 '''삼수선의 정리(Theorem of three perpendiculars)'''라 한다. 

 * '''(a)''' [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi)], [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l)]이면, [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l)]이다.
 * '''(b)''' [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi)], [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l)]이면, [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l)]이다.
 * '''(c)''' [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l)], [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l)], [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}})]이면, [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \pi)]이다.

이를 그림으로 나타내면, 아래와 같다.

[[파일:namu_삼수선의정리_수정.png|width=500&align=center]]

여담으로, 평면 기하학에 [[피타고라스 정리]]가 있다면, 공간 기하학에는 삼수선의 정리가 있다는 말이 있을 정도로 공간 기하학에서 자주 써먹는 정리이다. 즉, 공간 기하학을 학습하면서 이 부분을 제대로 학습하지 않고, 넘어가봤자 연습문제의 난이도가 조금만 어려워져도 손도 못대는 자신을 발견할 수 있다는 뜻이다.

==== 증명 ====
'''(a)'''
위에서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi \Rightarrow   \overline{\mathrm{PO}} \perp l   )]}}}
또한, [math(\overline{\mathrm{OH}} \perp l )]이므로 평면 [math(\mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(\mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp l )]}}}

'''(b)'''
위에서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi \Rightarrow   \overline{\mathrm{PO}} \perp l   )]}}}
또한, [math(\overline{\mathrm{PH}} \perp l )]이므로 평면 [math(\mathrm{PHO})]는 [math(l)]과 직교함을 알 수 있다. 이에 [math(\mathrm{PHO})] 위의 모든 직선은 [math(l)]과 직교하므로
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \overline{\mathrm{OH}} \perp l )]}}}

'''(c)'''
위에서 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \overline{\mathrm{PH}} \perp l , \, \overline{\mathrm{OH}} \perp l \Leftrightarrow    l \perp \text{plane} \, \mathrm{PHO}  )]}}}
이에 따라 [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp l)], [math(\overline{\mathrm{PO}} \perp \overline{\mathrm{OH}})]가 성립하므로 [math(\overline{\mathrm{PO}} )]는 평면 [math(\pi)]위의 임의의 두 직선과 직교함에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \overline{\mathrm{PO}} \perp \pi )]}}}

=== 이면각 ===

[[파일:namu_이면각.png|width=115&align=center]]

이제부터는 두 평면이 이루는 각에 대해 알아볼 것이다. 위 그림과 같이 한 교선을 가지는 반평면 [math(\pi)], [math(\rho)]를 고려하자. 이때, 각각의 평면 위에 있는 점 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})]로 부터 내린 교선 위의 수선의 발을 [math(\mathrm{H})]라 하자. 이때, 두 평면이 이루는 각은 해당 수선이 이루는 각 중 작은 각 [math(\angle \mathrm{PHQ} = \theta)]로 정의한다. 

또한, 두 평면이 이루는 각을 '''이면각(Dihedral angle)'''이라 한다.

=== 평면의 방정식 ===
이제부터 공간좌표 상 평면을 기술하는 방정식을 찾기 위하여 우리는 어떤 평면에 수직한 벡터 [math(\mathbf{n})]을 고려해보도록 한다. 이것의 해당 평면의 '''법선 벡터(Normal vector)'''라 하는 것도 참고하자. 이때, 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{n}=(a,\,b,\,c) )]}}}
라 놓자. 여기서 [math(a \sim c)]는 상수이다. 또한 평면이 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]를 지난다고 했을 때, 평면 위의 임의의 점 [math((x,\,y,\,z))]을 종점, [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]를 시점으로 하는 벡터 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{p}=(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}) )]}}}
라 놓을 수 있다. 이때, [math(\mathbf{n})]이 평면에 수직하기 때문에 평면 위에 있는 임의의 벡터 또한 이에 수직하다. 따라서 이들의 내적의 값은 0이 됨에 따라
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p} &= (a,\,b,\,c) \boldsymbol{\cdot}(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}) \\ &=a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) \\&=0  \end{aligned} )]}}}
즉, 법선 벡터가 [math((a,\,b,\,c))]이고, 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]를 지나는 평면의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0}) =0   )]}}}
이다. 일반적인 형태로는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle Ax+By+Cz+D=0   )]}}}
의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(A \sim D)]는 상수이다.

또한 양함수 형태로 쓰면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle z=f(x,\,y)=\alpha x+\beta y+\gamma )]}}}
꼴로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\alpha \sim \gamma)]는 상수이다. 즉, 좌표공간 상 평면을 기술하는 것은 [math(z)]가 [math(x)], [math(y)]에 대한 일차식으로 이루어져있을 때임을 알 수 있다.

여기서 법선 벡터를 이용하여 평면의 위치 관계에 대해 더 논의할 수 있는데, 좌표공간 상 두 평면이 있고, 해당 평면의 법선 벡터를 각각 [math(\mathbf{n}_{1})], [math(\mathbf{n}_{2})]이라 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
 * '''평행하거나 일치''': [math(\mathbf{n}_{1}=k \mathbf{n}_{2})] (단, [math(k)]는 상수.)
 * '''직교''': [math(\mathbf{n}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}_{2}=0)]

==== 세 점을 지나는 평면의 방정식 ====
서로 다른 세 점 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{Q})], [math(\mathrm{R})]을 고려하자. 평면은 서로 다른 세 점이 주어지면 유일하게 결정되므로 이 세 점으로 평면의 방정식을 결정할 수 있다.

가장 쉬운 방법은 외적을 이용하여 법선 벡터를 직접 구하는 것이다. 평면 위의 모든 벡터는 법선 벡터와 수직하고, 해당 세 점이 구하는 평면 위의 점이기 때문에 [math(\overrightarrow{\mathrm{PQ}})], [math(\overrightarrow{\mathrm{PR}})]을 구하고, 이 두 벡터를 외적하면 구하는 평면의 법선 벡터가 나온다. 그리고 세 점 중 하나를 이용하면 바로 구해진다.

그러나 문제는 고등학생은 이 쉬운 방법을 쓰지 못한다는 것이다. 그 이유는 고급수학을 배우지 않는 한 외적을 배우지 않기 때문이다. 그렇기 때문에 고등학교 수준에서는 구하는 평면의 방정식을 [math(Ax+By+Cz+D=0)] 꼴로 놓고, 세 점을 대입하여 세 변수를 한 변수로 표현한 뒤 해당 변수와 공통 인수를 약분하는 방법을 사용하게 된다. 

==== 교선의 방정식 ====
교선은 곧 두 평면 상에 동시에 놓인다. 따라서 해당 직선의 방향 벡터는 각각의 법선 벡터와 수직하다. 어떤 두 평면의 법선 벡터를 각각 [math(\mathbf{n}_{1})], [math(\mathbf{n}_{2})]라 하자. 교선의 방향 벡터는 이들과 각각 수직해야 하므로 [[외적]]을 이용하여 교선의 방향 벡터를
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}   )]}}}
로 놓을 수 있다. 또한 두 평면의 방정식을 연립함으로써 교점의 좌표를 구할 수 있다.[* 다만, 미지수가 3개인데 식은 2개이므로 각 미지수의 비 밖에 구하지 못한다.] 따라서 구한 교점의 좌표와 외적을 통해 구한 법선 벡터를 이용함으로써 교선의 방정식을 구할 수 있다.

==== 교선을 지나는 평면의 방정식 ====
좌표평면 위의 두 평면 [math(ax+by+cz+d=0)], [math(a'x+b'y+c'z+d'=0)]를 고려하자. 이 두 평면이 일치하거나 평행하지 않은 이상, 두 평면은 교차하여 교선을 형성한다. 이 교선 위의 점을 [math((\alpha, \, \beta, \, \gamma))]라 둔다면, 이 점에서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \begin{aligned} a\alpha+b\beta+c\gamma+d&=0 \\ a'\alpha+b'\beta+c'\gamma+d'&=0 \end{aligned} )]}}}
가 성립한다. 이때, 다음의 방정식
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle  ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]}}}
을 고려하자. 여기서 [math(k)]는 상수이다. 이 방정식이 공간좌표 상 평면을 나타내는 것은 수학적으로 자명하며, 이 평면에 교선 위의 점을 대입하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle  a\alpha+b\beta+c\gamma+d+k(a'\alpha+b'\beta+c'\gamma+d')=0 )]}}}
이것은 [math(k)]값에 관계 없이 성립하는 항등식이므로 해당 평면은 두 평면의 교선을 지난다는 것을 알 수 있다. 다만 위 형식에서는 [math(a'x+b'y+c'z+d'=0)]가 제외되는 문제가 발생하기 때문에
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle  m(ax+by+cz+d)+n(a'x+b'y+c'z+d')=0 )]}}}
의 형식으로 쓰기도 한다. [math(m)], [math(n)]은 상수이다.

=== 점과 평면 사이의 거리 ===
공간좌표 상 한 평면 [math( ax+by+cz+d=0)]과 평면 외부의 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]을 고려하자. 또한 이 평면이 [math(\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1},\,z_{1}))]을 지난다고 생각해보자.

우선 주어진 평면의 법선 벡터는 [math(\mathbf{n}=(a,\,b,\,c))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(\mathbf{p} \equiv \overrightarrow{\mathrm{PQ}})]
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},\,y_{0}-y_{1},\,z_{0}-z_{1}) )]}}}
를 고려하자.

그렇다면, 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리는 한 점에서 평면에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(\mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(\mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[* [[정사영]] 문서의 벡터 사영 문단 참조. 벡터 사영의 크기가 스칼라 사영이다.]이 될 것이다. 우리가 구하는 점과 평면 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \begin{aligned} s&=\text{comp}_{\mathbf{n}} \, \mathbf{p} \\
&=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}|}{|\mathbf{n}|} \\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})+c(z_{0}-z_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \\
&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{aligned} )]}}}
의 결과를 얻는다.

=== 평면이 이루는 각 ===
==== 평면과 직선이 이루는 각 ====

[[파일:namu_평면직선각_벡터_New_수정.png|width=180&align=center]]

위 그림과 같이 한 평면 [math(\pi)]와 이 평면에 한 점에서 만나는 직선 [math(l)]을 고려해보자. 이 직선이 평면과 이루는 각을 [math(\theta)]라 하자. 이때, [math(\theta)]는 예각으로 잡는다. 그렇다면, 평면 [math(\pi)]의 법선 벡터 [math(\mathbf{n})]와 직선 [math(l)]의 방향 벡터 [math(\mathbf{u})]가 이루는 각은 두 종류[* 그림의 상황은 모든 상황을 표현하는 것이 아닌 한 상황을 묘사하는 것에 유의하라.] 가 가능하다: [math(\pi/2-\theta)], [math(\pi/2+\theta)] 이때,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \left| \cos{\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)} \right|=\left| \cos{\left( \frac{\pi}{2}+\theta \right)} \right|=\sin{\theta} )]}}}
이므로 다음을 얻는다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \sin{\theta}=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}|}{|\mathbf{n}| |\mathbf{u}|} )]}}}

==== 이면각 ====

[[파일:namu_이면각_벡터.png|width=180&align=center]]

위 그림과 같이 두 평면 [math(\pi)], [math(\rho)]를 고려하자. 이때, 위 그림과 같이 교선에 내린 수선이 이루는 각을 [math(\theta)]라 하자. 이때, 이 각은 곧 두 법선 벡터가 이루는 각의 크기와 같으므로 두 평면의 이면각을 [math(\theta_{0}\,(0 \leq \theta_{0} \leq \pi/2))]라 하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \begin{aligned} \cos{\theta_{0}}&=|\cos{\theta}| \\ &=\frac{|\mathbf{n}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}_{2}|}{|\mathbf{n}_{1}| |\mathbf{n}_{2}|} \end{aligned})]}}}
임을 알 수 있다.

=== 삼원일차연립방정식과 평면 ===
다음과 같은 삼원연립일차방정식을 생각해보자.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d&=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'&=0  \\  a''x+b''y+c''z+d''&=0
\end{matrix}\right. )]}}}
우리가 이 방정식을 푼다는 것은 곧 세 방정식을 동시에 만족시키는 [math(x \sim z)]를 구하는 것과 같다. 그런데 각각의 방정식은 좌표공간 상 평면을 나타내는데 좀 더 생각해보면 위 세 등식이 동시에 만족하는 점은 세 평면의 교점 뿐이다. 즉, 우리가 삼원연립일차방정식을 푼다는 것은 세 평면의 교점의 좌표를 구하는 것과 같은 과정인 것이다.

더 나아가 평면의 위치 관계를 알 수 있다면 해의 개수도 정해진다. 우리가 [[직선]] 문서에서 다뤘듯, 이원일차연립방정식도 해를 갖는 경우와 불능, 부정 3개의 특성을 갖는다고 했다. 이 경우도 마찬가지다. 평면의 위치 관계에 따라 교점이 없을 수도 있고, 교점이 아닌 직선일 수도 있다. 또 세 평면이 모두 평행하여 교점이 아예 없는 경우도 있을 것이다. 즉, 삼원연립일차방정식 또한 세 평면의 위치 관계에 따라 해의 특성이 정해진다는 것을 알 수 있다.

=== 접평면의 방정식 ===
[include(틀:관련 문서, top1=접면)]
접평면이란, 3차원 이상의 도형에 접하는 평면이다. 즉, 2차원에서는 곡선에 접하는 직선 즉, 접선의 개념을 다뤘듯, 비슷하게 접하는 평면을 구하는 것이 이 문단의 목표인 것이다.

[[델(연산자)]] 문서의 그레이디언트 항목을 보면, 4차원 도형의 등위곡면에 수직한 벡터는 [math(f(x,\,y,\,z)=k)]에 대하여 [math(\boldsymbol{\nabla}f)]임을 알 수 있었다. 따라서 해당 등위곡면에 대한 접평면을 구하는 문제로 치환할 수 있고, 해당 곡면의 한 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]의 표면에 수직한 벡터는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]}}}
가 될 것이다. 이로써 우리는 접평면의 법선 벡터를 구한 셈이다. 그리고 해당 접평면이 점 [math((x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]을 지나야만 하는 것에서 부터 접평면의 방정식은 아래와 같이 됨을 알 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle  [\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{x}  (x-x_{0})+[\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{y}(y-y_{0})+[\boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) ]_{z}(z-z_{0})=0 )]}}}

이제 우리는 위의 내용을 바탕으로 3차원 공간에서 반지름 4인 구를 기술하는 [math(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^2)]의 한 점 [math((\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3}))]의 접평면의 방정식을 구해보도록 하자. 우선적으로 우리는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} )]}}}
로 택하자. 이때,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} f(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=(2\sqrt{2},\,2\sqrt{2}, 4\sqrt{3}))]}}}
을 쓸 수 있다. 그러나 해당 벡터의 상수배한 [math((\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2\sqrt{3}))]를 써도 무방하다. 따라서 구하는 접평면의 방정식은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle \sqrt{2}(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(y-\sqrt{2})+2\sqrt{3}(z-2\sqrt{3})=0  )]}}}
으로 구할 수 있다.

== 기타 ==
 * 2009 개정 교육과정에서는 중학교에서 간단히 배우고 고등학교 [[기하와 벡터]] 교과목에서 자세히 다루었다. 그러나 2015 개정 교육과정에 들며 공간벡터가 제외되면서, 좌표공간에서 평면의 방정식을 나타내는 방법이 제외되었다.
 * 많은 학생들이 [[기하와 벡터]]를 배울 때 비교적 쉬웠던 [[원뿔곡선]] 파트를 넘어, 본격적으로 공간으로 넘어가면서 고전하는 파트 중 하나이다. 이 부분은 개념 이해가 필연적으로 중요하며, 개념에 대한 정확한 이해를 바탕으로 많은 문제를 풀어봐야 각종 내신이나 모의고사를 대비할 수 있다.
 * [[택시 기하학]]은 평면 위에서 전개되지만, 위의 내용이 성립하지 않는다.

== 관련 문서 ==
 * [[수학 관련 정보]]
 * [[기하학]]
  * [[해석기하학]]
 * [[공간]]
 * [[도형]]

 [[분류:기하학]]