[include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 projectile motion · [[抛]][[物]][[線]] [[運]][[動]]}}} 중력장이 존재하는 환경에서 물체를 투사했을 때 [[포물선]] 궤적을 그리며 운동하는 것을 '''포물선 운동'''이라 한다. 1차원 [[등가속도 운동]]에 자유도를 더해 차원을 높인 운동으로, 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이다. 이 문서는 [[가속도]] 개념과 [[등가속도 운동]] 문서의 결과를 모두 숙지하고 있다는 가정 하에 작성되었다. == 분석 == 우선 공기 저항을 포함한 모든 마찰을 무시한 경우를 보자. 3차원상에서 분석을 할 수도 있지만, 용이한 분석을 위해 2차원으로만 분석하였다. 아래와 같이 [math(\mathbf{v}_{0})]의 속도로 [math(x)]축[* 수평면이라고도 할 수 있을 것이다.]과 [math(\theta)]의 각으로 물체가 투사된 상황을 고려하자. 이때, 모든 마찰을 무시한다면, 물체는 포물선 궤도로 나아가게 된다. [math(\mathrm{A,\,B})]는 각각 궤도의 최고점, [math(\mathrm{O})]에서 투사된 후 다시 [math(x)]축에 도달한 점이다. [math(\mathrm{H})]는 점 [math(\mathrm{A})]에서 [math(x)]축에 내린 [[수선의 발]]이다. [[파일:나무_포물선운동.png|width=350px&align=center]] 질량 [math(m)]의 물체는 [math(y)]축 방향으로 알짜힘인 중력 [math(\mathbf{F}=-mg \mathbf{\hat{y}})]만을 받는다. 따라서 물체는 [math(y)]축으로 가속도 [math(\mathbf{a}=-g \mathbf{\hat{y}})]인 [[등가속도 운동]]하며, [math(x)]축 방향으로의 알짜힘은 없으므로 등속도 운동할 것이다. 물체는 [math(\mathrm{O})]에서 투사되고, 최고점 [math(\mathrm{A})]에 도달한 후 다시 [math(\mathrm{B})]로 떨어지는 시간 동안만 포물선 운동한다. 그런데 물체에 작용하는 비보존력이 없기 때문에 물체의 역학적 에너지는 보존되고, 결국 이는 물체의 속도 크기는 [math(\mathrm{O})]와 [math(\mathrm{B})]에서 같아야 함을 의미한다. [math(x)]축 방향은 등속도 운동하기 때문에 [math(\mathrm{O})]와 [math(\mathrm{B})]에서 속도의 [math(x)]성분은 같다. 그런데, [math(y)]축으로는 중력 가속도의 크기로 등가속도 운동하기 때문에 결국 [math(\mathrm{B})]에서 속도의 [math(y)]성분은 크기는 같으나, 부호는 반대가 된다. [math(\mathrm{O})]에서 투사될 때, 초기속도의 [math(y)] 성분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\mathbf v_0\boldsymbol{\cdot}\mathbf{\hat{y}}=v_0\sin\theta)]}}} 임을 고려하면, 결국 구하는 시간 [math(T)]는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(-v_0\sin\theta=-gT+v_0\sin\theta \,\to \, T=\dfrac{2v_0\sin\theta}g)]}}} 이다. 다음으로, 수평 도달 거리라 부르는, 물체가 투사된 후 다시 [math(x)]축에 닿을 때까지 이동한 [math(x)]축상의 거리 [math(\overline{\mathrm{OB}} \equiv R)]를 구해보자. 물체는 [math(x)]축으로 등속도 운동하고, 투사될 때 초기속도의 [math(x)] 성분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{x}}=v_{0}\cos{\theta})]}}} 임을 고려하면, 물체는 포물선 운동하는 시간 [math(T)] 동안만 운동하므로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(R=v_0T\cos\theta=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}g)]}}} 가 된다. 여기에서는 [[삼각함수]] 항등식 [math(\sin{2 \theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta})]를 썼다. 또, 최고점 높이 [math(\overline{\mathrm{AH}} \equiv H)]를 구하자. 이것은 [math(\mathrm{O \to A})]로 운동할 때, [math(y)]축 방향의 운동만 고려함으로써 쉽게 구할 수 있다. 점 [math(\mathrm{O})]에서 물체는 초기속도 [math(y)] 성분 [math(v_0\sin\theta)]를 가지고 있었고 최고점 [math(\mathrm{A})]에 도달하면 여기에서 속도의 [math(y)] 성분은 없으므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}-2gH&=0-v_0^2\sin^2\theta\\H&=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}\end{aligned})]}}} 마지막으로 궤도 방정식을 구하자. 물체의 위치는 시간의 매개변수로, 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=v_{0}t\cos{\theta} \\ y(t)&=v_{0}t\sin{\theta}-\frac{1}{2}gt^{2} \end{aligned} )] }}} 이 두 식에서 [math(t)]를 소거함으로써 다음의 궤도 방정식을 얻는데, 결과로써도 궤도는 포물선임을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}})]}}} 또한, 속도는 위치의 미분이므로, 포물선 운동 중 물체 속도의 [math(x)]축, [math(y)]축 성분은 각각의 좌표의 시간에 대한 미분이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\begin{aligned}\dot x&=v_0\cos\theta\\\dot y&=v_0\sin\theta-gt\end{aligned})]}}} 속도의 크기는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2})]}}} 아래는 이상의 내용을 요약한 것이다. * '''포물선 운동 시간''': [math(T=\dfrac{2v_0\sin\theta}g)] * '''수평 도달 거리''': [math(R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}g)] * '''최고점 높이''': [math(H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g})] * '''궤도 방정식''': [math(y(x)=x\tan\theta-\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta})] 첨언하면, 위의 포물선 운동은 가장 간단하고 이상적인 경우를 다뤘음에 유의하여야 한다. 실제론 [math(\mathrm{B})]에 도달했을 때, 물체의 운동을 방해하는 요소가 없다면, 물체는 궤도 방정식을 따라 계속 포물선 운동한다. 아래의 그림을 참조하자. [[파일:나무_포물선운동_추후운동.png|width=250px&align=center]] 또한, 위의 공식들은 최고점을 기준으로 궤도가 대칭일 때만 쓸 수 있다는 것에 유의해야 한다. 예를 들어, 위 상황에서 [math(\mathrm{B})] 이후의 운동은 위의 공식들로 분석할 수 없으며, 포물선 운동 특징인 [math(y)]축으로 중력 가속도 크기로, [[등가속도 운동]]하며, [math(x)]축 방향으로는 등속도 운동함을 이용하여 분석하여야 한다. === 심화 === 여러 가지 수학적 분석을 통해 포물선 운동의 특성을 파악할 수 있다. 우선, 초기 속력이 같게 투사되었을 때 수평 도달 거리가 최대가 되는 각을 찾아 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}g)]}}} 그런데, 가능한 [math(\theta)][* [math(0<\theta<\pi/2)]] 중에서 [math(0\leq\sin2\theta\leq1)]임을 고려하면, 가능한 최댓값은 [math(\sin2\theta=1)]일 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(R=\dfrac{v_0^2}g)]}}} 이 되고, 결국 찾는 값은 [math(\theta=\pi/4)]이다. 또한, [math(\theta+\theta'=\pi/2)]를 만족시키는 두 각이 있다고 가정하자. 이때, [math(\theta')]로 투사한 경우, [math(\theta'=\pi/2-\theta)]로 쓸 수 있으므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(R'=\dfrac{v_0^2\sin2\theta'}g=\dfrac{v_0^2\sin(\pi-2\theta)}g)]}}} 그런데, [math(\theta)]로 투사한 경우의 수평 도달 거리는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}g)]}}} 이었으므로 [math(\sin(\pi-2\theta)=\sin2\theta)]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(R=R')]}}} 을 만족시키므로 [math(\theta+\theta'=\pi/2)]를 만족시키는 두 각으로 던졌을 때, 수평 도달 거리는 같다. 다만, 최고점 높이는 상이함에 유의하자. 궤도 방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(y(x)=x\tan\theta-\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta})]}}} 을 분석하는 것에서도 꽤 흥미로운 결과를 얻는다. 위 식 중 [math(x\tan\theta)]는 원점을 지나면서 [math(x)]축과 양의 방향으로 [math(\theta)]만큼의 각을 갖는 직선의 방정식이다. 또한 원점에서 궤도의 접선은 이 직선이 되는데, 이 직선 위의 점의 [math(y)]좌표에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta})]}}} 만큼 뺀 값이 결국 포물선 궤도 위의 점의 [math(y)]좌표가 된다. 이것을 그림으로 표현하면 아래와 같다. [[파일:나무_포물선운동_기하학적분석_수정_수정.png|width=450&align=center]] 그런데 수평 방향으로 [math(x)]까지 이동하는데 걸린 시간을 [math(T)]라 하면, [math(x=v_{0}T\cos{\theta})]로 쓸 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}=\dfrac{g(v_{0}T\cos{\theta})^{2}}{2v_0^2\cos^2\theta}=\dfrac{1}{2}gT^{2})]}}} 이것은 곧 뺀 길이가 직선 [math(y=x\tan{\theta})]과 [math(x=x)]의 교점에서 에서 [math(T)]만큼 [[자유낙하]]한 거리임을 의미한다. === 벡터 분석법 === 이제 3차원의 포물선 운동을 표현해 보자. 이는 [[벡터]]로 분석하는 것이 훨씬 효과적이다. 아래와 같이 중력장 안에서 물체가 포물선 운동을 원점 [math(\mathrm{O})]에서 시작한 경우를 생각해보자. 단, 중력 가속도 벡터 [math(\mathbf{g}=g\mathbf{\hat{g}} )]임에 유의하자. [[파일:나무_벡터_포물선 운동_수정.png|width=190&align=center]] 그리고, 궤도 위의 한 점 [math(\mathrm{P})]인 경우에서 먼저 속도 벡터 [math(\mathbf{v})]를 분석하자. 이에 앞서 [math(\mathbf{g} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{T}=0)]이 성립하는 [math(\mathbf{\hat{T}} )]를 택하자. 편의상 [math(\mathbf{\hat{T}})]는 포물선 운동하는 방향[* 정확히 말하면 투사체가 던져진 방향.] 쪽이 되게 잡는다. 위 그림을 참고하자. [math(\mathrm{P})]에서 속도 벡터는 아래와 같이 분해 가능하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{v_{g}}+\mathbf{v_{T}} )] }}} 여기서 [math(\mathbf{v_{g}})]는 중력장 벡터 [math(\mathbf{g})]와 평행한 성분, [math(\mathbf{v_{T}})]는 [math(\mathbf{T})]와 평행한 성분이다. 포물선 운동의 특성[* 중력 가속도와 평행한 축은 중력 가속도로 등가속도 운동, 중력 가속도와 수직인 축은 등속도 운동]에 따라 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\mathbf{v}&=[(\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} -\mathbf{\hat{g}})(-\mathbf{\hat{g}})+\mathbf{g} t] -(\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{T}})\mathbf{\hat{T}}\\&=\mathbf{\hat{g}} (\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{g}}+gt)+\mathbf{\hat{T}}(\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{T}})\end{aligned})]}}} 따라서 만약 [math(\mathrm{O})]에서 [math(\mathrm{P})]까지 [math(t)]만큼 걸렸다면, 점 [math(\mathrm{P})]를 기술하는 위치 벡터 [math(\mathbf{s})]를 찾을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}&=\int_{0}^{t} \mathbf{v} \,dt \\ &=\mathbf{\hat{g}} \left( \mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{g}}t+\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\mathbf{\hat{T}}(\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{T}}t) \end{aligned} )] }}} 따라서 이것이 포물선 운동을 벡터로 기술한 것이다. 그런데 통상적으로 쓰는 [math(\mathbf{g}=-g\mathbf{\hat{y}})]를 사용하고, 이를 2차원에 국한하여 [math(\mathbf{\hat{T}}=\mathbf{\hat{x}})]를 사용한다면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}=&\mathbf{\hat{y}} \left( \mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{y}}t-\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\mathbf{\hat{x}}(\mathbf{v}_{0} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{x}}t) \end{aligned} )] }}} 이므로 맨 위에서 분석했던 결과와 같다. == [[라그랑주 역학]]을 이용한 분석 == 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이므로 두 일반화 좌표 [math(x,\,y)]로 기술해도 무리가 없다. 이에 대한 일반화 속도는 [math(\dot{x},\,\dot{y})]이다. 물체의 [[퍼텐셜 에너지]]는 중력에 의한 것만 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle U=mgy )] }}} 이고, 운동 에너지는 물체의 속도의 크기 [math(|\mathbf{v}|=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}})]으로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}) )] }}} 따라서 물체의 [[라그랑지안]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L}&=T-U \\&= \frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}) - mgy \end{aligned})] }}} 오일러-라그랑주 방정식을 이용해, 각 축의 운동 방정식을 나타낼 수 있다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\partial \mathscr L}{\partial x_{i}} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot{x}_{i}} \right) = 0)] }}} 을 이용하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{cases} \ddot{x}=0 \\ \ddot{y}=-g \end{cases} )] }}} 결국 초등적인 방법으로 분석할 때 언급했던 [math(y)]축으로 중력 가속도 크기로 [[등가속도 운동]]하며 [math(x)]축 방향으로 등속도 운동한다는 포물선 운동의 특징이 여기서도 나온 것이다. == 공기 저항을 고려한 분석 == 이제 현실과 가장 유사하도록 공기 저항을 고려하자.[* 저항력이 속도에 비례하는 꼴의 식은 물체가 상당히 작을 때 적용되는 식이고, 야구공처럼 표면적 및 질량이 큰 물체라면 저항력이 속도의 제곱에 비례하는 식을 사용해야 한다. 2차원 포물선 운동 상황이라면 해괴한 미분방정식 형태가 되어 '''해석적으로 해를 구할 수 없다.'''] 우선 이러한 공기 저항이 물체의 운동량에 비례한다고 하자. 즉, 마찰력을 [math(-mk \mathbf{v})]로 놓는다. 여기서 [math(k)]는 공기 저항 계수가 될 것이다. 이때, 속도는 각 축의 성분으로 분해할 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{v}=\dot{x} \mathbf{\hat{x}}+ \dot{y} \mathbf{\hat{y}})] }}} 따라서 마찰력 또한 각 축의 성분으로 분해될 수 있다. 다음의 초기 조건을 안다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x(t=0)&=0 \\ y(t=0)&=0 \\ \dot{x}(t=0)&=v_{0}\cos{\theta} &&\equiv V \\ \dot{y}(t=0)&=v_{0}\sin{\theta} &&\equiv W \end{aligned} )] }}} 따라서 각 축에 대한 운동 방정식을 아래와 같이 세울 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m\ddot{x}&=-mk \dot{x} \\ m\ddot{y}&=-mg-mk \dot{y} \end{aligned} )] }}} 이 미분 방정식을 풂으로써 물체의 위치가 결정된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kt} ) \\ y&=-\frac{gt}{k}+\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kt}) \end{aligned} )] }}} 이 결과에서 눈여겨봐야 하는 것은 모든 축 방향의 운동이 '''가속도 운동'''이라는 것이다. 각 위치를 시간에 대해 이차미분해보라. 이 조건에서 물체가 포물선 운동하는 시간은 [math(t=T\,(T \neq 0))]일 때, [math(y=0)]이 되는 시간이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{gT}{k}=\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kT}) )] }}} 의 방정식을 풀면 된다. 그러나 이 방정식은 해석적인 해를 갖지 않기 때문에 수치계산이나 섭동법을 이용해야 한다. 만약, 수치계산이나 섭동법을 통해 포물선 운동 시간 [math(T)]를 구했다고 하자. 그렇다면, 수평 도달 거리는 [math(R=x(t=T) )]가 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle R=\frac{V}{k}( 1-e^{-kT}) )] }}} 으로 구할 수 있다. 아래는 [math(\theta=\pi/4)], [math(v_{0}=200\,\mathrm{m/s})]일 때 여러 [math(k)]에 대해 궤도를 시뮬레이션한 것이다. [[파일:나무_마찰고려_포물선운동_수정.png|width=330&align=center]] [math(k=0)] 즉, 적색 궤도는 공기 저항을 고려하지 않았을 때이며, 공기 저항 계수가 커질수록 수평 도달 거리는 줄어든다. 다음을 참고하자. 조건은 위의 궤도를 구할 때와 같고, 수치계산을 이용하였다. [[파일:나무_마찰고려_포물선운동_수평도달거리.png|width=300px&align=center]] 참고로, [math(k \ll 1)]일 때를 가정하여 이 과정을 섭동으로 풀 수도 있으나 계산이 매우 복잡하다. [[고전역학]] 교재를 참고하는 편이 좋다. == 표면 운동으로 근사되지 않는 경우 == [[파일:namu_포물선 운동_심화_스케일확대.svg|width=310&align=center&bgcolor=#ffffff]] 분석하기 앞서 지구의 자전, 공전, 마찰 등은 고려하지 않음을 일러둔다. 위의 분석에서는 그림 (가)와 같이 물체는 지구 표면과 가까워 일정한 표면 가속도 [math(\mathbf{g})]에 의한 힘을 받는 비스듬히 투사된 물체의 궤도는 포물선임을 다뤘다. 이제는 그림 (나)와 같이, 예를 들어 [[ICBM]] 처럼 지구 표면에서 충분히 멀어질 수 있는 스케일, 즉 표면 가속도에 의한 힘으로 근사되지 않는 진정한 중력 [math(\mathbf{F})]를 받는 물체의 궤도를 분석해보려고 한다. 이 경우에도 왠지 포물선 운동할 것 같다는 생각이 든다. 결론부터 말하자면 이는 틀린 생각이다. 사실 [[중심력]] 문서에서 답은 나와있다. 보통 중심력을 다룰 때는 공전을 하거나, 속박되지 않을 때 그 궤도가 원뿔 곡선이라 생각하는 경향이 짙으나 사실은 속박된 상태에서도 그 궤도는 원뿔 곡선이다. 그 이유는 어째됐던 물체에 작용하는 힘은 (외력이 없다면) 중심력인 중력 뿐이기 때문이다. 그럼 결국 후보는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선로 그 후보가 압축된다. 이때, 한 초점은 지구의 중심과 같다. 중심력 문서로 부터 궤도 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle r=\frac{r_{0}}{1+\varepsilon \cos{\theta}} )] }}} 이고, 궤도 이심률은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \varepsilon=\sqrt{1+\frac{2El^{2}}{ (GM)^{2} m^{3} } } )] }}} 이다. [math(m \ll M)]이므로 환산 질량 [math(\mu \approx m)]임을 이용했다. 그런데 위 식을 보면 [math(E)]의 부호에 따라 이심률의 크기가 결정됨을 쉽게 알 수 있다. 또한 우리는 퍼텐셜에 속박된 상태를 다루므로 [math(E<0)]이다. 따라서 가능한 [math(0 \leq \varepsilon <1)]이다. 이에 후보는 놀랍게도 '''포물선이 아닌''' 원 혹은 타원으로 압축된다. 우선 해당 궤도가 원 궤도라 가정해보자. 그럴 경우 [math(\varepsilon=0)]이다. 해당 운동에서 각운동량은 보존되므로 초기 각운동량의 크기가 곧 [math(l)]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle mv_{0}R\sin{\theta}=l )] }}} [math(R)]은 지구의 반지름이다. 또, 에너지 또한 보존되므로 초기 에너지를 [math(E)]라 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle -\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=E )] }}} 원 궤도가 되려면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 2El^{2}=-(GM)^{2} m^{3} )] }}} 여기에 위의 [math(E)], [math(l)]을 대입하면 [math(v_{0}^2)]에 대한 이차방정식을 얻는데, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle R^2v_{0}^4-2GMRv_{0}^{2}+G^2M^2\csc^{2}{\theta}=0 )] }}} 이 방정식의 해의 유형을 조사하기 위해 판별식 [math(D)]를 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{D}{4}=G^2 M^2 R^2 [1-\csc^{2}{\theta}] \leq 0 )] }}} 따라서 대부분 [math(v_{0})]에 대해서 원 궤도는 불가능하고, 가능한 경우는 딱 한 경우 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle 1-\csc^{2}{\theta}=0 \quad \to \quad \theta=\frac{\pi}{2} )] }}} 에 원 궤도가 가능하며, 이 경우 [math(v_{0}=\sqrt{GM/R})]이다. 하지만 이 경우는 물체가 비행하지 않으므로 우리의 논의 목적에 비춰볼 때 더 이상 탐구할 필요가 없다. 따라서 이 논의의 답은 타원인 것이다. '''즉, 포물선 운동은 곧 이 타원 운동의 근사가 되는 것이다.''' 물체의 가장 높게 올라갔을 때, 지구의 중심으로부터 거리 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle r_{\max}=-\frac{GMm}{E_{0}}(1+\varepsilon) )] }}} 임을 남겨둔다. 관심있는 독자는 증명해볼 것. [math(E_{0})]는 초기 물체의 에너지이다. == 관련 예제 == [[수능]] 등에서는 변별을 가르기 위한 고난도 문항으로 출제되고 있으며, 항상 한 정보만 알면 쉽게 풀 수 있는데도 불구하고 그것을 주지 않아 어려워지거나 여러 운동 상황과 섞는 등으로 난이도가 급상승하는 경우가 많다. 더군다나, 포물선 운동 자체가 [[등가속도 운동]]과 등속도 운동 두 항목에 대한 이해도를 효율적으로 물을 수 있으므로 출제자 입장에서는 어려운 문제로 내기 딱 좋은 소재이다. 2문제를 관련 예제로 제시하였다. 예제 1은 등가속도 운동과 등속도 운동을 분석하는 방법으로, 예제 2는 역학적 에너지 보존을 이용하여 분석하는 방법으로 푸는 문제이다. === 예제 1 === ||