[include(틀:선형대수학)]
[include(틀:해석학·미적분학)]
[목차]
== 개요 ==
TNB 프레임(TNB frame) [* Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL, (P62) CHAPTER 1. VECTORS IN EUCLIDEAN SPACE , moving frame field [[https://www.mecmath.net/]]] 또는 프레네-세레 틀(Frenet-Serret frame) 또는 프레네-세레 공식(Frenet-Serret formula)이라고도 잘 알려진  세레-프레네 방정식(Serret-Frenet equations) 은  [math(x,y,z)]좌표계에서  벡터들 [math(T,N,B)]를 추가적으로 사용하여 3차원 공간에서 물리량의 이동을 계량화 하는데 그목적이 있다.[* UCLA (Math 120A Discussion Session , 2018) Frenet-Serret equations [[https://www.math.ucla.edu/~archristian/teaching/120a-f18/week-2.pdf]]][* (PlanetMath.org)Serret-Frenet equations[[https://planetmath.org/serretfrenetequations]]][* MIT Frenet-Serret formula [[https://web.mit.edu/hyperbook/Patrikalakis-Maekawa-Cho/node25.html]]]
따라서  TNB 프레임(TNB frame)은  3차원 좌표계를 기준으로 상대적인  대상이  갖게 되는 오브젝트(object) 3차원 좌표계 장치라고도 볼수있다.
== T,N,B 틀 ==
3차원 공간에서는 곡률의 수치만으로는 [[곡선]](curve)이 어느 방향으로 휘는지(계속해서 이동하는지) 결정하는 것이 불분명하기 때문에, 방향의 기준을 잡아줄 좌표계에 추가적으로 또 다른 변수가 필요하게 된다. 곡선이 길이 변수 [math(s)]에 대해 매개화되었고, 곡률이 [math(0)]이 아니라고 하자. 이 때, 다음의 세 벡터 [math(\mathbf{T}(s))], [math(\mathbf{N}(s))], [math(\mathbf{B}(s))]로 이루어진 국소 직교좌표를 프레네 프레임(Frenet frame 또는  TNB 틀)이라 부른다.
 * '''단위접선벡터'''(unit tangent vector): [math(\mathbf{T}(s) = {T})]
 * '''단위법선벡터'''(unit normal vector): [math(\mathbf{N}(s)={N} )]
 * '''종법선벡터''' 또는 이중법선벡터(binormal vector): [math(\mathbf{B}(s) = {B} )]
[[파일:Frenet-Serret_TNB-frame.svg|width=500&bgcolor=white]]
(x,y,z)로부터 (T,N,B)은  [math( T \times N = B )]를 정의할수있다. [* \[Paul's Online Notes\]  Calculus III , Section 1-8 : Tangent, Normal and Binormal Vectors [[https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/TangentNormalVectors.aspx]]]
T의 미분 [math( T' )]의 물리량을 곡률(curvature) [math(\kappa)]로 정의하면
T의 기울기는 진행방향으로  N에서 곡률(curvature) [math(\kappa)]만큼 휘어지는 [math(  T'  = \kappa N )]를  정의할수있다.
이어서 변수 [math(\tau)]를 열률[* 捩率](뒤틀림, torsion)의 물리량으로 정의하고
N에서 열률(torsion) [math(\tau )]만큼 뒤틀려지는 B의 미분  [math(  B'  = -\tau N )]을 정의할수있다.
따라서 
N의 미분 [math( N' )]은   [math(  N'  = \tau B -kT )] 으로 정의된다.
이를 (T,N,B)과 [[반대칭행렬]](skew-symmetric matrix)[* 정사각행렬 [math(A)]에 전치를 취하면 [math(A^T=-A)]라는 관계식을 만족하는 행렬을 의미한다. 그 특징상 대각성분은 모두 0이며, 대칭성분은 서로 부호가 다르게 된다. 대칭행렬과의 차이점이라면 대칭행렬은 [math(A^T=A)]로 부호가 다르며, 그 차이로 인해 대각성분이 0일 필요가 없는 것. 이게 복소수 범위로 확장되면 전치에 추가로 켤레를 취하며, [[에르미트 행렬]]이라고 부른다.]에서 [[직교행렬]]의 [[행렬표현]]으로 분해해 보면
[math( \begin{pmatrix} T' \\ N' \\ B'  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \kappa N \\ -\kappa T+\tau B  \\ -\tau N   \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0  \\ -\kappa & 0 & \tau  \\ 0 & -\tau & 0  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T \\ N \\ B  \end{pmatrix}   )]
이다.
== 법선 방정식 ==
법선(normal line)은  2차원(2D) 평면에서 곡선 위의 한 점을 지나고, 이 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직이 되는 직선을 가리키는 용어이다.  3차원(3D) 공간에서는 이러한 접선에 수직이 되는 직선인 법선이 하나가 더 있게 된다.  이를 종법선(이중법선)이라고 한다. 이러한 법선 방정식은 [[접선 방정식]](tangent line equation),[[접평면의 방정식]](tangent plane equation)과 [[내적]](inner product) 그리고 [[외적]]과 상관관계가 있다.
== 역사 ==
1850년대를 전후하는 시기에 이 공식을 발표한 장 프레데릭 프레네(Jean Frédéric Frenet)[*  Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal à l'usage des candidats à l'École polytechnique et à l'École normale, des élèves de ces écoles, et des aspirants à la licence es sciences mathématiques  , Jean Frédéric Frenet,  1904 (6th edition) French (Publisher)  Paris, Gauthier-Villars [[https://archive.org/details/recueildexercic02frengoog/page/n6/mode/2up]]][* Recueil d'exercices sur le calcul infinitésimal  , Jean Frédéric Frenet,  1856 French [[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206322d.image]]]와 역시 동시대에 프레네(Frenet)와는 별개로 이를 독자적으로 연구 및 발표한 조제프 알프레드 세레(Joseph Alfred Serret)[* “Mémoire sur les surfaces orthogonales,” 12 (1847), 241–254 [[http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1847_1_12_A19_0.pdf]] ][* “Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure,” 16 (1851), 193–207 [[http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A12_0.pdf]]]의 이름에서 명명됐다.

== 관련 문서 ==
 * [[직교행렬]]
 * [[벡터 미적분학]]

[[분류:선형대수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:물리학]][[분류:미적분]]