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== 개요 ==
{{{+1 Planck length}}}
[[플랑크 단위]]의 일종. [[광속]] [math(c)], [[디랙 상수]] [math(\hbar)], 중력 상수 [math(G)]를 이용하여 차원 분석을 통해, 길이 단위가 곧 차원 단위가 되도록[* 즉 플랑크 길이는 그 자체로 [[차원(물리량)|차원]]이 [math(\sf L)]인 [[물리 상수]]이다.] 인위적으로 조합된 길이이다. [math(l_{\rm P})]로 나타내며[* [[리터]]와 마찬가지로 [math(l)]의 손글씨가 숫자 [math(1)], 로마자 대문자 [math(I)]와 혼동되는 것을 피하기 위해 [math(\ell_{\rm P})]로 표기하는 경우도 더러 있다.] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.
||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned}l_{\rm P} &= \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} \\ &= 1.616\,255(18)\times10^{-35}\rm\,m\end{aligned})] ||

== 유도 ==
[math(c)], [math(\hbar)], [math(G)]의 단위 및 차원은 다음과 같다.
||<tablealign=center> '''물리 상수''' || '''단위[br]SI 기본 단위 표기''' || '''차원''' ||
|| [math(c)] || [math(\rm m{\cdot}s^{-1})] || [math(\sf LT^{-1})] ||
|| [math(\hbar)] || [math(\begin{matrix}\rm J{\cdot}s \\ \begin{aligned}&= \rm(kg{\cdot}m^2s^{-2}){\cdot}s \\&=\rm kg{\cdot}m^2s^{-1}\end{aligned}\end{matrix})] || [math(\sf ML^2T^{-1})] ||
|| [math(G)] || [math(\begin{matrix}\rm N{\cdot}m^2kg^{-2} \\ \begin{aligned}&= \rm(kg{\cdot}m{\cdot}s^{-2})m^2kg^{-2} \\&=\rm kg^{-1}m^3s^{-2}\end{aligned}\end{matrix})] || [math(\sf M^{-1}L^3T^{-2})] ||
위 상수들을 조합해서 계산해보면 [math(\dfrac\hbar c)]의 차원이 [math(\sf ML)]이 됨을 쉽게 알 수 있다. [[플랑크 질량]] [math(m_{\rm P})]는 차원이 [math(\sf M)]이며 [math(m_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar c}G})]이므로 [math(l_{\rm P})]는 [math(\dfrac\hbar c)]를 [math(m_{\rm P})]로 나눈 값, 즉 [math(l_{\rm P} = \dfrac\hbar{m_{\rm P}c} = \dfrac\hbar c\sqrt{\dfrac G{\hbar c}} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}})]로 정의된다.

== 의의 ==
우리 우주의 근간을 구성하는 물리 법칙[* [math(c)]는 [[광속 불변성]]에 따라 어느 계에서든 일정한 값이며, [math(\hbar)]는 [[불확정성 원리]]와 관련된 상수이고, [math(G)]는 질량을 가진 모든 물질에 작용하는 만유인력의 비례상수이다.]에 연관된 상수를 조합하여 차원이 [math(\sf L)]이 되도록 조합된 길이이므로, '우리 우주에서 어느정도 확실성을 가지고 측정 가능한 최소한의 길이'라는 의미로 해석되기도 한다. 다만 이것을 현실세계판 [[픽셀]]에 비유하는 건 정확하지 않다. 예를 들어 헤르만 바일은 공간이 이산적이라면 [[피타고라스 정리]]에서 도출된 결론이 공간이 이산적이라는 가정과 모순이 생기므로 우주가 연속적일 수 밖에 없다는 논증을 내놓았으며, 단순히 불확정성 원리에서 파생되는 최소 길이 단위에 불과하다는 주장도 있다. 현대 물리학의 두 기둥인 양자역학과 상대성 이론 역시 공간을 양자화하지 않는다. 실제로 공간을 양자화하는 이론으로 [[루프 양자 중력 이론]]이 있는데, 실험적 증거가 없어서 전망이 좋지 않다. 적어도 현대 물리학에 의하면 시공간은 연속적인 것으로 보인다. 게다가 이 정도로 작은 길이는 [[자연 단위계#스토니 단위계|스토니 단위계]]에도 있고, 스토니 단위계의 단위 길이는 플랑크 길이의 [math(\sqrt\alpha)]배라서 '''플랑크 길이보다 더 짧다.''' [[미세구조상수|[math(\alpha)]]] 역시 어느 단위계에서나 일정한 값을 나타내며 우리 우주의 근본 상수라고도 불리는데 '과연 플랑크 길이를 최소 길이로 해석하는 게 타당할까?' 라는 의문이 제기되는 지점이며, 비례 계수를 고려하지 않은 [[차원 분석]]에만 의존하여 나온 결과물이기 때문에 플랑크 길이를 측정 가능한 최소 길이라고 추정하는 것 역시 논리적인 비약이라는 게 요지이다.

[[플랑크 단위계]]를 쓰면 [[불확정성 원리]]에 따라 [math(\sigma_x \sigma_p \ge \dfrac\hbar2)]이므로 플랑크 길이 수준의 정확도를 추구하면 필연적으로 운동량의 표준편차의 최솟값이 플랑크 운동량 [math(p_{\rm P})]의 절반이라는 결론이 얻어진다.[* [math(\sigma_x = l_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}})]이므로 [math(\sigma_p\ge\dfrac\hbar{2l_{\rm P}} = \dfrac\hbar{2\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}} = \dfrac12\sqrt{\dfrac{\hbar c^3}G} = \dfrac12\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}c = \dfrac12m_{\rm P}c = \dfrac12p_{\rm P})]이다. 여기서 [math(m_{\rm P})]는 [[플랑크 질량]]이다.] 소립자 수준에서 이런 오차가 나온다는 것은 터무니없는 수치나 다름없다.

질량이 [[플랑크 질량]]인 블랙홀의 [[사건의 지평선|슈바르츠실트 반지름]]은 정확히 플랑크 길이의 2배가 되며, 콤프턴 파장 [math(\lambda_{\rm C})]는 [math(\lambda_{\rm C} = 2\pi l_{\rm P})]라는 관계가 성립한다. 특히 [math(\lambda_{\rm C} = \dfrac h{mc})]를 [math(2\pi)]로 나누면 [math(\hbar = \dfrac h{2\pi})]이므로 [math(\dfrac{\lambda_{\rm C}}{2\pi} = \dfrac\hbar{mc})]가 되는데, 마치 [math(h)]와 [math(\hbar)]의 관계처럼 이를 [math(\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C})]로 나타내며 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 한다. 유도 항목에서 전술한 것처럼 [math(l_{\rm P} = \dfrac\hbar{m_{\rm P}c})]이므로 '''질량이 [math(m_{\rm P})]인 블랙홀의 환산 콤프턴 파장은 곧 플랑크 길이와 같다'''는 것을 알 수 있다.

[각주]
[include(틀:표절,source=위키백과,version=29)]
[[분류:물리학]][[분류:물리 상수]]