[include(틀:대수학)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[恒]][[等]][[式]] / identity}}}

문자를 포함한 등식에서, 문자가 가리키는 미지수의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 미지수의 값일 때만 성립하는 것은 [[방정식]]이라고 한다. 항등식의 [[부등식]] 버전으론 [[절대부등식]]이 있다. 주의할 점은 [[방정식]]처럼 보이는 [math(ax+b=0)]같은 식도 [math(a=b=0)]라는 조건이 주어지면 항등식이 된다는 사실이다.[* 이 조건을 '자명하다'라고 말한다.] 조건을 항상 잘 확인하자. 중1 때 잠깐 나오는 건 맛보기라고 여길 법하지만, 고1로 올라가면 [[나머지정리]]와 인수정리와 같이 더 복잡한 문제로 나온다.

f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 '''정의'''할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.

== 예시 ==
[math(e)]는 [[자연로그의 밑]], [math(i)]는 [[허수|허수단위]]이다.

=== [[삼각함수]] ===
 1. [math(\displaystyle \tan\theta= {\sin\theta \over \cos\theta})]
 1. [math(\sin^2\theta + \cos^2\theta=1)]
 1. [math(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta)]
 1. [math(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta)]
 1. [math(\cos x + i \sin x = e^{ix})] ([[오일러 공식]])
 1. [math(\sin \theta = -i \sinh i \theta)]
 1. [math(\cos \theta = \cosh i \theta)]
 1. [math({\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}})]
 1. [math({\displaystyle \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}})]
 1. [math({\displaystyle \tan x = {\sin x \over \cos x} = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}})]

=== [[지수(수학)|지수]] ===
 1. [math(x^{a+b} = x^ax^b)]
 1. [math(\displaystyle x^{a-b} = {x^a \over x^b})] (단, [math(x^{b} \neq 0)])
 1. [math(\left(x^a\right)^b=x^{ab})]
 1. [math(\left(x\cdot y\right)^n=x^n\cdot y^n)]
 1. [math(e^x = \sinh x + \cosh x)]

=== [[로그]] ===
 1. [math(\log{ab}=\log{a}+\log{b})]
 1. [math(\displaystyle \log{a \over b}=\log{a}-\log{b})]
 1. [math(\log{a^n}=n\log{a})]
 1. [math(\displaystyle \log_{a}{b}={\log_{c}{b} \over \log_{c}{a}})] (밑 변환 공식)
 1. [math(\displaystyle \log_{a}{b}={1 \over \log_{b}{a}})]
 1. [math(\displaystyle  \log_i{x} = {2 \over i \pi} \log_e{x})]
 1. [math(\mathrm{li}(x) = \mathrm{Ei} \circ \log_e (x))][* [math(\mathrm{li}(x))]는 [[로그 적분 함수]], [math(\mathrm{Ei}(x))]는 [[지수 적분 함수]]이다.]

=== [[미적분]] ===
 1. [math(\displaystyle {d \over dx} c = 0)] (c는 [[상수]])
 1. [math(\displaystyle {d \over dx}  x^n = n x^{n-1} \leftrightarrow \int x^n = {{1}\over {n+1}} x^{n+1}+c)] (c는 [[상수]])
 1. [math(\displaystyle {d \over dx}  \exp x = \exp x)]
 1. [math(\displaystyle {d \over dx}  \ln x = x^{-1})]
 1. [math(\displaystyle \int^b_a f'(x)dx = f(b) - f(a) )] (단, 함수 [math(f')]이 닫힌 구간 [math(\left[a, b\right])]에서 연속이어야 한다. [[미적분의 기본정리]] 참조.)
 1. [math(\displaystyle \int_{1}^{e}{1 \over x}dx = \ln e - \ln 1 =1)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\sec x=\sec x \tan x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x \cot x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\tanh x=\text{sech}^{2}x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\text{sech} x=-\text{sech}x \tanh x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\text{coth} x=-\text{csch}^{2} x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\text{csch} x=-\text{csch} x \text{coth} x)]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx} |x| = \mathrm{sgn}\left(x\right) \leftrightarrow \int \mathrm{sgn}\left(x\right) = |x| + C)][* [math(\mathrm{sgn}\left(x\right))]는 [[부호 함수]]이다.]
 1. [math(\displaystyle \frac{d}{dx} \mathrm{sgn}\left(x\right) = 2\delta\left(x\right) \leftrightarrow \int 2\delta\left(x\right) = 2 \theta \left(x\right) + C  = \mathrm{sgn}\left(x\right) + 1 + C)][* [math(\delta\left(x\right))]는 [[디랙 델타 함수]], [math(\theta\left(x\right))]는 [[헤비사이드 계단 함수]]이다.]

=== [[벡터]] ===
 1. [math((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = -(\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{b})]
 1. [math(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) -  \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}))]
 1. [math(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0})]

=== 미분류 ===
 1. [math({}_n\mathrm P_r = \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+1 \right)} = \left( n-r+1 \right) \dfrac{\Gamma \left( n+1 \right)}{\Gamma \left( n-r+2 \right)} = \left( n-r+1 \right) \cdot {}_n\mathrm P_{r-1})]
 (단, [math(\Re(n+1), \Re(n-r+1), \Re(n-r+2) \notin \mathbb{Z} - \mathbb{N})][* [[감마 함수]]에 들어가는 인수의 실수부가 [[0]] 또는 음의 정수가 되어서는 안된다는 뜻이다.])
 1. [math(\Im(a)=0 \,\,\,(a \in \mathbb{R}))][* [[실수(수학)|실수]]의 [[허수]]부는 무조건 0이라는 의미이다.]

=== [[곱셈 공식]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=곱셈 공식, 문단=2)]
1. [math((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)]
2. [math((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)]
3. [math((a+b)(a-b)=a^2-b^2)]
4. [math((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab)]
5. [math((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd)]

여기까지가 [[중학교]] 과정에서 배우는 [[곱셈 공식]]들이고, 나머지는 [[고등학교]] 입학하면 배운다.

=== [[인수분해]] ===
[include(틀:상세 내용, 문서명=인수분해, 문단=3.1)]
1. [math(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)]
2. [math(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2)]
3. [math(a^2-b^2=(a+b)(a-b))]
4. [math(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b))]
5. [math(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d))]

여기까지 중학교 과정이다. (물론, [[곱셈 공식]]들의 양변을 바꾼 것들이다.)

== 미정계수법 ==
[math(x)]에 관한 등식 [math(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=a_0=0)]이다. 비슷하게 [math(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0)]이 [math(x)]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math(a_0=b_0,a_1=b_1,\cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n)]이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 '''미정계수법'''이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.
1. 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
2. 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[* 보통 0이나 1을 대입한다.] 방정식을 푸는 방법.
숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
[* 항이 [math(x)]개인 [[다항식]](일차식)을 [math(y)]제곱한 [[다항식]]의 항의 개수는 [math(x^{y})]개이다. 따라서 항이 2개이고 지수가 10이므로 [math(2^{10}=1024)]개가 된다. 참고로, 항이 2개이고 지수가 100인 다항식 [math((x+y)^{100})]의 항은 [math(2^{100}=1267650600228229401496703205376)]개이다. 물론, [[동류항]]은 정리하지 않고 순전히 [[전개]]만 했을 때이다.]

고1 올라가면 항등식을 이 방법으로 풀어야 한다.

== 판별법 ==
>예:[math(a)]×[math(y)]=[math(a)]×[math(y)]
 * 식을 정리했을 때, 위와 같이 좌변과 우변이 같다면 항등식이다.

== 관련 문서 ==
 * [[오일러 등식]]
 * [[곱셈 공식]], [[인수분해]][* 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다. 애초에 곱셈 공식은 복잡한 곱셈의 결과를 쉽게 찾게 해주는것, 인수분해는 식을 곱셈의 꼴로 나타내는것이 목적이다.]
 * [[동치관계]]
 * [[방정식]]
 * [[부정적분표]]

[[분류:대수학]] [[분류:방정식]]