[include(틀:고전역학)]
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== 개요 ==
{{{+1 Hooke's law}}}

탄성체의 일그러짐은 변형력에 비례로 나타낼 수 있다는 응력-변형률 관계식(stress-strain relations)이다. 변형력이 어떤 크기를 넘지 않는다고 전제하면 모든 고체에 대하여 후크 법칙이 성립하고 이를 다룰 수 있게 해준다. 영국의 물리학자 [[로버트 훅|로버트 후크]](Robert Hooke)가 발견하고 1678년에 발표하였다.  

1678년 후크가 그의 저서 〈Lectures de potentia restitutiva, or of spring, explaining the power of springing bodies〉[*출처 Lectures de potentia restitutiva, or of spring, explaining the power of springing bodies, Robert Hooke 1678[[https://digitalcollections.library.cmu.edu/node/68323|#]] P1 Potentia Restitutiva, or spring]에서 언급한 후크 법칙의 주요 내용은 다음과 같다.
>The Power of any Spring is in the same proportion with the Tension thereof: That is, if one power stretch or bend it one space, two will bend it two, and three will bend it three, and so forward.
>-----
>''모든 용수철의 힘은 장력과 동일한 비율이다. 즉, 어떤 한 힘으로 한 공간을 늘리거나 구부리면 그것의 두 배는 두 배를 구부릴 것이고 세 배는 세 배를 구부릴 것이다.''

[[파일:namu_훅의법칙_모식도.svg|width=350&align=center&bgcolor=#ffffff]]

== 상세 ==
자연 길이[* 늘어나지 않은 상태에서 측정된 용수철의 길이를 의미한다.]가 [math(L_{0})]인 용수철에 힘을 가하여 [math(L)]의 길이로 만들었다고 하자. 이때, [math(L-L_{0} \equiv x)]로 변형된 길이로 쓸 수 있다. [math(x>0)]이면 용수철은 늘어난 것이고, [math(x<0)]이면 용수철은 줄어든 것이다. 이것을 압축적으로 나타낼 수 있는 벡터 [math(\mathbf{x})]를 도입하면, 용수철의 탄성력 [math(\mathbf{F})]는
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}=-k\mathbf{x} \end{aligned}  )] }}}
로 주어진다. [math(k)]는 탄성 계수 혹은 용수철 상수라 불리며, 용수철이 단위 길이 당 변형되는 데 필요한 힘의 크기를 의미한다.

후크 법칙은 고체에 힘을 가해 변형시킬 때, 힘이 어떤 크기를 넘지 않으면 고체의 변형된 정도는 힘의 크기에 정비례한다는 법칙으로, [[고체역학]]의 기본 법칙 중의 하나이다. 이 법칙이 성립하는 한계를 넘어서면 [[탄성의 한계]]를 넘게 되는 것이고, 물체는 탄성을 잃고 영구적으로 변형되게 된다. 이 법칙은 1678년 로버트 후크가 늘어나는 용수철을 가지고 실험으로 연구해 발견했다.

후크 법칙은 [[탄성]]을 가진 모든 물체에 대해 성립하는 법칙이지만, 그 중에서도 주로 [[용수철]]과 같이 탄성이 좋은 탄성체를 설명할 때 많이 쓰인다. 중학교나 고등학교 과학 수업에서도 용수철과 탄성력에 대해 배울 때 후크 법칙을 배운다.

후크 법칙은 [[응력-변형률 관계식]]이라는 주요한 고체의 역학을 기술한다.

== 탄성 퍼텐셜 에너지 ==
용수철에 힘을 가하여 용수철을 변형하게 되면 용수철에 일을 하게 되는데, 이 일은 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지로 저장되게 된다.

용수철을 변형시키려면 탄성력 [math(F=-kx')]에 대항하여 힘 [math(kx')]를 가하여야 한다. 용수철에 [math(x)]만큼 변형했다고 하자. 용수철에 한 일은
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{x} kx'\,{\rm d}x'=\frac{1}{2}kx^2 \end{aligned}  )] }}}
따라서 용수철에 저장되는 에너지는 아래와 같고, 이것을 탄성 퍼텐셜 에너지라 한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} U=\frac{1}{2}kx^2 \end{aligned}  )] }}}
=== 보존력과 에너지 보존 ===
3차원에 존재하는 원점에 고정된 용수철을 고려하자. 이때, 용수철의 탄성력은 [math(\mathbf{F}=-k\mathbf{r})]이다. 이것에 [[컬|회전]] 연산을 취하면
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[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}=\mathbf{0} \end{aligned}  )] }}}
이는 용수철의 탄성력이 [[보존력]]임을 뜻하며, 힘을 임의의 [[스칼라]] 함수 [math(U)]의 음의 [[그레이디언트]] [math(\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]로 나타낼 수 있음을 뜻한다. 여기서 그 스칼라 함수가 위에서 나온 탄성 퍼텐셜 에너지[* 3차원에서는 [math(U=kr^2/2)]로 주어진다.]이다. 

따라서 용수철이 연결된 계는 역학적 에너지가 보존된다.
== 용수철의 연결 ==
이 문단에서는 용수철의 직렬 연결과 병렬 연결에 대해서 기술한다. 이는 위의 예시인 용수철 진자의 경우에도 적용할 수 있다. 아래의 그림은 예로써 용수철 상수가 각각 [math(k_{1})], [math(k_{2})]인 두 용수철을 (a) 직렬 연결, (b) 병렬 연결 했을 때의 모습이다. 

[[파일:namu_용수철연결.png|width=450&align=center]]

이 계는 단일 용수철이 진동하는 계로 대치할 수 있다. 용수철의 탄성력은 물체(질점)에 바로 가해진다고 가정한다.

=== 직렬 연결 ===
[math(n)]개의 용수철을 직렬 연결했다고 생각해보자. 이때, [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이다. 용수철에 연결된 물체에 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(j)]번째 용수철을 [math(\Delta x_{j})]만큼 늘렸다고 생각해보자. 이때, 모든 용수철에선 탄성력을 발생시키며, 그 크기는 [math(F)]로 같다.[* 이 조건이 만족이 안되면 용수철들은 가속 운동할 것이다.][* 오해하기 쉬우나 [math(F)]의 크기는 용수철들의 탄성력 크기의 합과 '''같지 않다'''.] 따라서
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[br] [math(\displaystyle F=k_{j}x_{j} \,\to\, x_{j}=\frac{F}{k_{j}} )] }}}
이 성립한다. 모든 용수철의 늘어난 길이의 합 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} \Delta x_{j}=\Delta x )]라 하자. 그런데 
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[br] [math(\displaystyle \Delta x= \sum_{j=1}^{n} \frac{F}{k_{j}} \,\to\, F=\left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j} } \right]^{-1}\cdot \Delta x )] }}}
이상에서 용수철을 직렬로 연결했을 때는 용수철 상수가 [math(\displaystyle \left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j}}\right]^{-1})]인 용수철을 연결한 상황과 동일함을 알 수 있다. 저항에서 병렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다.

=== 병렬 연결 ===
[math(n)]개의 용수철을 병렬 연결했다고 생각해보자. [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이고, 자연 길이는 [math(L_{j})]이다. 용수철의 자연 길이가 다르므로 용수철을 물체에 연결할 때, 용수철은 늘어나거나 줄어든다. 용수철을 물체에 연결했을 때, 평형 상태의 물체의 위치를 [math(X_{0})]라 하자. 각 용수철의 변위는 [math(L_{j}-X_{0})]이므로 다음이 성립한다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle 0=\sum_{j=1}^{n} k_{j} [L_{j}-X_{0}] \,\to \, {\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}L_{j} }=X_{0}{\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}} )] }}}
이 평형 위치로 부터 물체를 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(\Delta x)]만큼 늘였다고 생각하자. 용수철의 모든 탄성력의 합은 이 [math(F)]의 합과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br] [math(\displaystyle \begin{aligned} F&=\sum_{j=1}^{n} k_{j}[\Delta x-L_{j}] \\ &=\sum_{j=1}^{n} k_{j} \Delta x -\sum_{j=1}^{n} k_{j} L_{j} \\&=\left[ \sum_{j=1}^{n} k_{j} \right] (\Delta x-X_{0}) \end{aligned} )] }}}
단일 용수철 계로 생각할 때, [math(\Delta x-X_{0})]는 평형 위치로 부터 늘어난 길이라 볼 수 있으므로 곧 이 계는 용수철 상수 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j})]인 용수철이 연결되었다고 볼 수 있다. 저항에서 직렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다.
== 관련 문서 ==
 * [[뉴턴 유체]]

[각주]
[include(틀:문서 가져옴, title=로버트 훅, version=128, paragraph=3.1.2)]
[include(틀:문서 가져옴, title=조화 진동자, version=275, paragraph=4.1.1)]
[[분류: 역학 ]]