[[분류:부족수]][[분류:반증된 추론]]
[include(틀:토론 합의, 토론주소1=AwfulSynonymousVariousGoodbye, 합의사항1=문서 존치)]
||<table bgcolor=#ffffff,#000000><colbgcolor=#efefef,#555555> '''읽는 법''' || 삼억 삼천삼백삼십삼만 삼천삼백삼십일 ||
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|| '''[[중국어]]''' || 三[[亿]]三千三百三十三万三千三百三十一[br](sānyìsānqiānsānbǎisānshísānwàn[br]sānqiānsānbǎisānshísānyī) ||
|| '''[[영어]]''' || three hundred thirty-three million three hundred[br]thirty-three thousand[br]three hundred thirty-one ||

[목차]
== 개요 ==
333333331은 333333330보다 크고 333333332보다 작은 [[자연수]]이다. 3이 8개 계속되고 하나의 1로 끝난다.

== 특징 ==
333333331은 17×19607843으로 [[소인수분해]]된다. 따라서 333333331의 [[진약수]]의 합은 1+17+19607843=19607861<333333331이므로 333333331은 [[부족수]]이다.

3이 [math(n)]번 반복된 후 1이 붙는 수는 [math(\alpha_{n}=1+3\cdot10\cdot\frac{10^{n}-1}{9})]로 나타낼 수 있다. 이 수열은 [math(n=1,\cdots,7)]일 때는 소수지만 [math(n=8)]일 때에는 333333331=17×19607843으로 합성수가 된다.

한때 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331이 모두 [[소수(수론)|소수]]임이 검증된 후, 3이 계속되다가 하나의 1로 끝나는 [[자연수]]가 모두 소수일 것[* 한층 더 수학적인 표현으로 나타내면 '[math(3\displaystyle\sum_{k=1}^n 10^k+1)]이 [math(n)]의 값에 관계없이 소수인가'가 된다.]이라는 추론이 나오기도 했다.[* 다음으로 3이 계속되다가 하나의 1로 끝나는 소수는 333333333333333331(33경 3333조 3333억 3333만 3331)로 3이 17개나 있다. 이처럼 수열의 초반부에만 소수가 계속되지 뒤로 갈수록 소수의 간격이 다른 수열들처럼 띄엄띄엄해진다.] 숫자가 커지면 소수라는 걸 손으로 확인하는 것이 오래 걸릴 수 있지만 333333331이 위와 같이 매우 작은 소수인 17로 나누어 떨어지는 것이 밝혀지면서 상황은 간단하게 종료되었다.

일반적으로 [math(b)]진법에서 0이 아닌 [math(d)]자리수 [math(x)]가 [math(n)]번 반복된 후 0이 아닌 [math(e)]자리수 [math(y)]가 붙는 수는 [math(\alpha_{n}=y+x b^{e}\frac{b^{nd}-1}{b^{d}-1})]으로 나타낼 수 있다. [math(p)]가 [math(x)], [math(y)], [math(b)], [math(b^{d}-1)], [math(y(b^{d}-1)-xb^{e})]의 약수가 아니고(서로소이고), [math(b^{d})]를 [[원시근]]으로 하는 소수라고 가정하자. [math(\alpha_{n}=y+x b^{e}\frac{b^{nd}-1}{b^{d}-1}=0~(\mathrm{mod}~p))]는 [math((b^{d})^{n}=1-y(xb^{e})^{-1}(b^{d}-1)~(\mathrm{mod}~p))]으로 나타낼 수 있으므로, 무한히 많은(법 [math(\phi(p)=p-1)]로 같은) [math(n)]에 대해 [math(\alpha_{n})]은 [math(p)]의 배수가 된다.

예를 들어, 333333331은 17이 1, 3, 10, 9, 9-30=-21의 약수가 아니고 10을 원시근으로 하므로, [math(10^{n}=1-9\cdot30^{-1}=16~(\mathrm{mod}~17))]에 의해 [math(n=16k+8)]([math(k)]는 음이 아닌 정수)일 때 [math(x_{n})]이 17의 배수가 된다는 사실에서 합성수임을 증명할 수 있다. 더불어 [math(x_{24}=3333333333333333333333331=17×821593951×238656128290493)] 역시 17의 배수일 것이란 것도 직접 계산하지 않고 알 수 있다.

== 다른 진법 ==
10진법이 아닌 다른 진법에서도 한 숫자 y 앞에 y가 아닌 똑같은 숫자 x를 연달아 계속 붙여나가면서 일의 자리가 y이고, 나머지 자리(오른쪽에서 2번째 이후의 자리)는 모두 x로 되어있는 형태의 수 [* xx...xxy의 꼴로 표현되는 수]로 소수를 최대한 길게 만들 수 있는지 알아볼 수 있는데 본 문서처럼 8번째가 되었을 때 처음으로 합성수가 나오는 사례는 드물다. 1000진법 이하에서 8번째 혹은 그 이후에서 처음으로 합성수가 나오는 경우는 아래와 같은데, 1000개 진법의 333,833,500가지 경우의 수 중에선 33가지의 경우만이 7번째까지 소수가 나오고 단지 하나의 경우만이 무려 8번째까지 소수가 이어진다.
|| 진법([math(b\le1000)]) || 첫자리수([math(x)]) || 끝자리수([math(y)]) || 첫 합성수([math(n_{\mathrm{min}})]) ||
|| 10 || 3 || 1 || 8 ||
|| 38 || 30 || 31 || 8 ||
|| 56 || 15 || 23 || 8 ||
|| 69 || 10 || 37 || 8 ||
|| 195 || 156 || 11 || 8 ||
|| 290 || 42 || 277 || 8 ||
|| 310 || 249 || 47 || 8 ||
|| 314 || 1 || 209 || 8 ||
|| 320 || 91 || 281 || 8 ||
|| 340 || 111 || 113 || 8 ||
|| 342 || 205 || 271 || 8 ||
|| 350 || 117 || 233 || 8 ||
|| 399 || 232 || 391 || 8 ||
|| 410 || 11 || 37 || 8 ||
|| 509 || 340 || 299 || 8 ||
|| 510 || 434 || 157 || 8 ||
|| 542 || 70 || 113 || 8 ||
|| 551 || 500 || 499 || 8 ||
|| 552 || 380 || 517 || 8 ||
|| 687 || 14 || 683 || 8 ||
|| 735 || 358 || 491 || 8 ||
|| 740 || 552 || 641 || 8 ||
|| 752 || 273 || 331 || 8 ||
|| '''774''' || '''495''' || '''137''' || '''9''' ||
|| 819 || 750 || 643 || 8 ||
|| 830 || 261 || 577 || 8 ||
|| 875 || 858 || 509 || 8 ||
|| 905 || 306 || 491 || 8 ||
|| 917 || 642 || 179 || 8 ||
|| 958 || 114 || 701 || 8 ||
|| 961 || 570 || 593 || 8 ||
|| 980 || 447 || 359 || 8 ||
|| 984 || 667 || 743 || 8 ||
|| 1000 || 213 || 281 || 8 ||