문서 보기문서 편집수정 내역 가우스 법칙/예제 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:상위 문서, top1=가우스 법칙)] [목차] == 개요 == 가우스 법칙과 관련한 예제를 수록한 문서이다. === 예 1: 가우스 법칙 적용 === ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 그림과 같이 진공에 전하량의 크기가 [math(Q)]로 같고, 부호가 다른 두 전하가 떨어져서 고정되어 있다. 폐곡면 [math(S_{1}\sim S_{4})] 표면의 전기 선속을 구하시오. || [[파일:나무_가우스법칙_적용예제_1.png|width=270px&align=center]] {{{#!folding [풀이 보기] ----- 가우스 법칙을 이용한다. 가우스 법칙에 따르면, 폐곡면에 유출입되는 전기 선속은 그 폐곡면 안에 있는 총전하량에 비례한다. [math(S_{1})], [math(S_{2})] 안에 포함된 총전하량은 각각 [math(+Q)], [math(-Q)]이므로, [math(S_{1})]표면의 전기 선속은 [math(Q/\epsilon_{0})], [math(S_{2})] 표면의 전기 선속은 [math(-Q/\epsilon_{0})]가 될 것이다. [math(S_{3})] 안에는 전하가 없다. 따라서 해당 폐곡면 표면의 전기 선속은 0이다. [math(S_{4})] 안에는 총전하량이 [math(Q+(-Q)=0)]이므로 해당 폐곡면 표면의 전기 선속은 0이다. }}} === 예 2: 심화 === ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 그림과 같이 길이가 무한한 도선이 균일 선전하 밀도 [math(\lambda)]로 대전되어 있다. 가우스 면을 아래와 같이 반지름 [math(R)]인 구면으로 잡는다고 하자. 이 구의 중심은 [math(\mathrm{O})]이고, 도선은 구의 중심으로부터 [math(d)]만큼 떨어져있다. 아래의 가우스 면을 통과하는 전기 선속을 구하시오. || [[파일:나무_가우스법칙_적용예제_2.png|width=200px&align=center]] {{{#!folding [풀이 보기] ----- 우선적으로 가우스 면 안에 포함된 도선의 길이를 구하자. [[피타고라스 정리]]에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle 2\sqrt{R^{2}-d^{2}} )] }}} 이므로, 가우스 면 안에든 총전하는 선 전하밀도와 위에서 구한 길이의 곱이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Q=2 \lambda \sqrt{R^{2}-d^{2}} )] }}} 따라서 해당 가우스 면을 통과하는 전기 선속은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{Q}{\epsilon_{0}}=\frac{2 \lambda }{\epsilon_{0}}\sqrt{R^{2}-d^{2}} )] }}} 이 된다. }}} === 가우스 법칙을 이용한 전기장 구하기 === ==== 예 1: 원통형 전하 분포 ==== ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 균일한 전하밀도 [math(\lambda)][* 축으로부터의 거리 [math(\rho)]와 혼동을 방지하기 위해, 부피 전하 밀도로 [math(\lambda)]를 사용했다. 선전하 밀도가 아님에 유의하라. 책에 따라 부피 전하 밀도를 [math(\rho_{v})]로 쓰기도 한다.]로 대전된 무한한 단면의 반지름이 [math(\rho_{0})]인 원통의 내·외부 전기장 분포를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 이 문제에서 가장 유용한 원통 좌표계를 사용하고, 해당 원통의 축은 [math(z)]축과 일치한다고 가정하자. 이 문제에서 전기장은 대칭성 때문에 [math(z)]와 [math(\phi)]에 의존하지 않으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=E_{\rho}(\rho) \hat{\boldsymbol{\rho}}+E_{\phi}(\rho) \hat{\boldsymbol{\phi}}+E_{z}(\rho) \hat{\mathbf{z}} )] }}} [[파일:나무_가우스법칙_원통형_개선.png|width=360&align=center]] 우선 가우스 법칙을 고려하자. 위 그림과 같이 폐곡면으로 단면의 반지름이 [math(\rho)]이고, 높이 [math(L)]의 원통으로 잡자. 위에서 밝혔듯 전기장은 [math(z)]에 의존하지 않고 윗면과 아랫면의 법선 벡터는 반대이므로, 총 원통에 대한 전기 선속을 논할 때 윗면과 아랫면에 대한 선속의 기여는 상쇄되고, 남는 것은 옆면에 대한 선속이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(\rho) \cdot d \mathbf{a}=\int_{\mathrm{side}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a})] }}} 다음 과정은 전기장에 대한 정보를 더 얻고 하기로 한다. 정전기장을 다루고 있으므로 폐곡선을 따라 전기장이 한 일은 0이 돼야 한다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=0)] }}} 우선 [math(C)]를 반지름이 [math(\rho)]인 원으로 잡자. 이 경로상에서 [math(d \mathbf{r}=\rho\,d\phi\hat{\boldsymbol{\phi}})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=\int_{0}^{2 \pi} E_{\phi}(\rho) \rho\,d\phi=0 )] }}} 이것을 만족시키려면, [math(E_{\phi}(\rho)=0)]이어야 한다. 즉, 전기장의 [math(\phi)]성분은 없다. 이번에는 [math(C)]를 위 그림과 같은 사각형 경로로 잡자. 전기장의 각 성분이 [math(\rho)]에만 의존하기 때문에 사각형 경로 중 축과 수직인 경로들은 상쇄된다. 즉, 일 계산에 기여하는 것은 축과 평행한 경로들뿐이다. 이 경로들의 [math(d \mathbf{r}=\pm dz \hat{\mathbf{z}})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=h[E_{z}(\rho_{1})-E_{z}(\rho_{2} ) ]=0 )] }}} 따라서 이것을 만족시키려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{z}(\rho_{1})=E_{z}(\rho_{2} ))] }}} 이므로 전기장의 [math(z)]성분은 상수이다. 대칭성에 의해 이 상수를 0으로 두는 것이 합당하다.[* 도선의 축에 수직한 평면을 기준으로 반사한 상황을 생각해보라. 예를 들어, 이 상수 전기장이 있다고 가정하면, [math(E_{z}=C)]가 될 것이다. 그러나, 반사하면, [math(E_{z}=-C)]가 되면서 해당 전기장 성분은 바뀌게 된다. 그러나, 반사를 하든 하지 않든, 보이는 물리적 상황은 동일하다. 따라서 물리적 상황은 같은데 반사 유무에 따라 전기장에 달라진다는 건 물리적이지 않으므로 상수 전기장은 없다고 하는 것이 합당하다.] 따라서 전기장의 [math(z)]축 성분은 없다. 여기까지의 결과를 정리하면, 전기장은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=E_{\rho}(\rho) \hat{\boldsymbol{\rho}} )] }}} (ⅰ) '''원기둥 내부 ([math(\boldsymbol{\rho<\rho_{0}})])''' 맨 위에서의 폐곡면으로 잡았던 것을 그대로 사용하면, 가우스 법칙에 의해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(\rho) \cdot d \mathbf{a}=\frac{\lambda}{\epsilon_{0}} \pi \rho^{2}L )] }}} 이고, 폐곡면에 대한 적분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(\rho) \cdot d \mathbf{a}=E_{\rho}(\rho) (2 \pi \rho L) )] }}} 이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{\rho}(\rho)=\frac{\lambda}{2 \epsilon_{0}} \rho )] }}} (ⅱ) '''원기둥 외부 ([math(\boldsymbol{\rho>\rho_{0}})])''' 맨 위에서의 폐곡면으로 잡았던 것을 그대로 사용하면, 가우스 법칙에 의해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(\rho) \cdot d \mathbf{a}=\frac{\lambda}{\epsilon_{0}} \pi \rho_{0}^{2}L )] }}} 이다. 주의해야 할 것은 폐곡면 안에 든 전하는 원통 경계 안([math(\rho<\rho_{0})])으로만 있다는 점이다. 폐곡면에 대한 적분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(\rho) \cdot d \mathbf{a}=E_{\rho}(\rho) (2 \pi \rho L) )] }}} 이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{\rho}(\rho)=\frac{\lambda}{2 \epsilon_{0}} \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} )] }}} 이상에서 원통 내·외부의 전기장 분포는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{E}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\lambda}{2 \epsilon_{0}} {\boldsymbol{\rho}} & \quad (\rho<\rho_{0})\\ \\ \displaystyle \frac{\lambda}{2 \epsilon_{0}} \frac{\rho_{0}^{2}}{\rho} \hat{\boldsymbol{\rho}} & \quad (\rho>\rho_{0}) \end{array}\right. )] }}} }}} ==== 예 2: 구면 전하 분포 ==== ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 균일하게 전하량 [math(Q)]로 대전된 반지름 [math(R)]인 구의 내·외부 전기장 분포를 각각 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 이 문제를 다루는 데 편리한 구면 좌표계를 사용하고, 구의 축을 [math(z)]축으로 하자. 이 문제에서는 [math(\theta, \,\phi)]에 대한 대칭성이 존재하기 때문에 전기장의 각 성분은 [math(r)]에만 의존할 것이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=E_{r}(r) \hat{\mathbf{r}}+E_{\theta}(r) \hat{\boldsymbol{\theta}}+E_{\phi}(r) \hat{\boldsymbol{\phi}} )] }}} 로 쓸 수 있다. [[파일:나무_가우스법칙_구면형_개선.png|width=365&align=center]] 현재 정전기장을 고려하고 있으므로 우선 위의 그림과 같이 축에 수직이고 구의 중심이 중심이 되는 반지름 [math(r)]인 원을 고려하자. 원통 문제와 같이 폐곡선에 대한 전기장의 일은 0이 돼야 하고, 해당 경로의 [math(d \mathbf{r}=r\,d\phi\hat{\boldsymbol{\phi}})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=\int_{0}^{2 \pi} E_{\phi}(r) r\,d\phi=0 )] }}} 이것을 만족시키려면, [math(E_{\phi}(r)=0)]이어야 한다. 즉, 전기장의 [math(\phi)]성분은 없다. 이번엔 구의 축을 한 지름으로 하는 반지름 [math(r)]인 원을 고려하고, 이때의 경로의 [math(d \mathbf{r}=\pm r\,d\theta\hat{\boldsymbol{\theta}})]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=\int_{0}^{\pi} E_{\theta}(r) r\,d\theta+\int_{\pi}^{0} E_{\theta}(r) r\,(-d\theta)=2\int_{0}^{\pi} E_{\theta}(r) r\,d\theta=0 )] }}} 이것을 만족시키려면, [math(E_{\theta}(r)=0)]이어야 한다. 즉, 전기장의 [math(\theta)]성분은 없다. 이상의 결과에서 전기장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=E_{r}(r) \hat{\mathbf{r}} )] }}} 으로 표현된다. 즉 전기장은 [math(r)]방향 성분으로만 표현된다. 이제는 가우스 법칙을 고려해보자. 구에 균일하게 전하량 [math(Q)]가 대전되었으므로, 구의 전하 밀도는 전하량을 부피로 나누면 되므로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{Q}{(4\pi R^{3}) /3} )] }}} 이다. (ⅰ) '''구 내부 ([math(\boldsymbol{r<R})])''' 맨 위에서의 폐곡면으로 잡았던 것을 그대로 사용하면, 가우스 법칙에 의해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(r) \cdot d \mathbf{a}=\frac{1}{\epsilon_{0}} \frac{Q}{(4\pi R^{3}) /3} \left( \frac{4}{3}\pi r^{3} \right) )] }}} 이고, 폐곡면에 대한 적분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(r) \cdot d \mathbf{a}=E_{r}(r) (4 \pi r^{2}) )] }}} 이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{r}(r)=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{r}{R^{3}} )] }}} (ⅱ) '''구 외부 ([math(\boldsymbol{r>R})])''' 맨 위에서의 폐곡면으로 잡았던 것을 그대로 사용하면, 가우스 법칙에 의해, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(r) \cdot d \mathbf{a}=\frac{Q}{\epsilon_{0}} )] }}} 이다. 폐곡면에 대한 적분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint \mathbf{E}(r) \cdot d \mathbf{a}=E_{r}(r) (4 \pi r^{2}) )] }}} 이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{r}(r)=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} )] }}} 이상에서 구 내·외부의 전기장 분포는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{E}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{R^{3}} & \quad (r<R)\\ \\ \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} \hat{\mathbf{r}} & \quad (r>R) \end{array}\right. )] }}} 주목해야 할 것은, 구의 외부 전기장 분포는 전하량 [math(Q)]인 점전하가 구의 중심에 놓여있을 때와 같다는 것이다. '''따라서 "균일하게" 대전 된 구는 구의 전하량과 같은 점전하가 구의 중심에 놓여있다고 취급해도 무리가 없다.'''[* 전기장에서의 구각 정리로 생각할 수 있다.] }}} ==== 예 3: 대전된 판 ==== ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 균일한 표면 전하 밀도 [math(\sigma)]로 대전된 무한한 판의 전기장 분포를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 직교 좌표계상에서 아래의 그림과 같은 상황을 고려하자. [[파일:나무_가우스법칙_판형.png|width=280&align=center]] 현재 판이 무한하기 때문에 [math(x)]와 [math(y)]에 대한 대칭성 때문에 전기장의 각 성분은 [math(z)]에만 의존할 것이다: {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=E_{x}(z) \hat{\mathbf{x}}+E_{y}(z) \hat{\mathbf{y}}+E_{z}(z) \hat{\mathbf{z}} )] }}} 장의 대칭성 때문에 다음이 성립한다.[* [math(x=0)] 평면을 기준으로 이 문제 상황은 반사 대칭성이 있다. 사실 후술할 것이지만, 이 문제는 [math(y=0)]을 기준으로도 대칭성이 있다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} E_{x}(z)&=-E_{x}(-z) \\ E_{y}(z)&=E_{y}(-z) \\ E_{z}(z)&=-E_{z}(-z) \end{aligned} )] }}} 우선 위 그림의 [math( \mathrm{(b)} )]의 [math(C_{1})]과 같은 경로를 고려하자. 다루는 전기장은 정전기장이기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{C_{1}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=0)] }}} 이 돼야 한다. 그런데 전기장의 각 성분은 [math(z)]에만 의존하므로 판을 가로지르는 두 부분은 선적분 시 상쇄된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{C_{1}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=a[E_{x}(z)- E_{x}(-z) ]=0)] }}} 따라서 위 조건을 만족시키려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{x}(z)=E_{x}(-z))] }}} 그런데, 위에서의 장 대칭성 조건 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{x}(z)=-E_{x}(-z))] }}} 또한 있으므로, 전기장의 [math(x)]성분은 없다. 마찬가지로, [math(C_{2})]에 대해서도 같은 논리를 적용하면, 전기장의 [math(y)]성분 상수라는 것을 증명할 수 있다. 그러나, 원통 문제에서 상수장을 없앴던 유사한 이유로 이 문제에서도 상수장은 없어진다. 따라서 전기장의 [math(y)]성분은 없다.[* 이 상수장이 있으면, [math(x=0)]평면에 대한 반사 대칭을 만족시키지 않는다.] 이상에서 이 문제에서의 전기장은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=E_{z}(z) \hat{\mathbf{z}} )] }}} 이제 그림의 [math( \mathrm{(a)} )]와 같이 단면적의 넓이가 [math(A)]이고, 높이가 [math(2z)]인 원통을 폐곡면 [math(S)]로 잡자. 그런데, 전기장은 [math(z)]성분밖에 없으므로 선속 계산에 기여하는 것은 윗면과 아랫면이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a}=A[E_{z}(z)-E_{z}(-z) ] )] }}} 그런데, 장의 대칭성 조건에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a}=2AE_{z}(z) )] }}} 가우스 법칙에 의해선, 폐곡면 내에 있는 전하는 [math(\sigma A)]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \oint_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a}=\frac{\sigma A}{\epsilon_{0}} )] }}} 이상에서 장의 대칭성까지 고려한 전기장의 [math(z)]성분은 다음과 같으며, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle E_{z}(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} \frac{z}{|z|} )] }}} 전기장 분포는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}} \frac{\mathbf{z}}{|z|} )] }}} 이 문제는 흥미로운 두 결과를 보여준다. * 무한히 대전된 판의 전기장은 감소되지 않고, 공간상으로 퍼진다. * 대전된 판의 전기장은 판을 가로지를 때, 불연속이 생긴다. 그중 두 번째 결과는 정전기학 문제에서 경계에 표면 전하가 있을 때는 경계를 가로지를 때, 전기장의 불연속이 생김을 알 수 있다. 이것은 [[전기 퍼텐셜]] 문서에서 정전기학의 경계치 문제에서의 경계 조건을 다룰 때 수학적으로 논의했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{E}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{E}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}=\frac{ \sigma }{ \epsilon_{0} } )] }}} 이 문제에서 나온 결과를 적용해보면, 위 식이 옳다는 것을 알 수 있다. }}} ==== 예 4: 중첩 ==== ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 그림과 같이 축이 [math(z)]축이고, 중심이 [math(\mathrm{O})], 반지름이 [math(2a)]인 구에 중심 [math(\mathrm{A}(0,\,0,\,a))], 반지름이 [math(a)]인 구의 공동을 내었다. 균일한 부피 전하 밀도 [math(\rho)]로 대전되어 있을 때, 공동 내 전기장을 구하시오. || [[파일:나무_가우스법칙_중첩원리.png|width=180&align=center]] {{{#!folding [풀이 보기] ----- 이 문제 상황은 '''"공동이 나지 않았을 때의 [math(\boldsymbol{\rho})]로 대전된 구"'''와 '''"전하밀도 [math(\boldsymbol{-\rho})]로 대전된 공동에 해당되는 구"'''가 중첩된 상황과 같다. 따라서 이들에 가우스 법칙을 사용한다. [[파일:나무_가우스법칙_중첩원리_가우스면설정.png|width=180&align=center]] 위와 같이 공동 내 어느 점 [math(\mathrm{P})]의 전기장을 관측하려 한다면, 우선 중심이 [math(\mathrm{O})]이고 반지름이 [math(r)]인 구를 가우스 면으로 잡자. 단, '''"공동이 나지 않았을 때의 [math(\boldsymbol{\rho})]로 대전된 구"'''만 고려한다. 위에서의 구면 전하 분포에 대한 결과를 그대로 쓰도록 하자. 단, 관측 지점이 구 내부에 있음에 유의해야 하며, '''"공동이 나지 않았을 때의 [math(\boldsymbol{\rho})]로 대전된 구"'''를 나타내는 첨자 [math(1)]을 붙였다. 총 전하량은 곧, 전하 밀도에 부피를 곱하는 것이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}_{1}= \frac{\rho}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{4}{3}\pi \cdot 8a^{3} \right) \frac{\mathbf{r}}{8a^{3}}=\frac{\rho}{3 \epsilon_{0}} {\mathbf{r}} )] }}} 참고로, [math(\mathbf{r}=\overrightarrow{\mathrm{OP}} )]이다. 다음으로는, '''"전하밀도 [math(\boldsymbol{-\rho})]로 대전된 공동에 해당되는 구"'''에 대해서만 생각하자. 중심이 [math(\mathrm{A})]이고, 반지름이 [math(r')]인 구를 가우스 면으로 잡자. 이 경우에도 구 대칭의 전하 분포 전기장에 대한 결과를 인용할 것이며, 구 내부에 관측점이 있다는 것에 유의해야 한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}_{2}=-\frac{\rho}{3 \epsilon_{0}}\mathbf{r'} )] }}} 첨자 [math(2)]는 '''"전하밀도 [math(\boldsymbol{-\rho})]로 대전된 공동에 해당되는 구"'''임을 의미하며, [math(\mathbf{r'}=\overrightarrow{\mathrm{AP}} )]이다. 그런데, 위 그림에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a \hat{\mathbf{z}}+\mathbf{r'}=\mathbf{r} )] }}} 이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}_{2}=-\frac{\rho}{3 \epsilon_{0}}(\mathbf{r}-a \hat{\mathbf{z}}) )] }}} 따라서 구하는 공동 내 전기장은 두 구가 만드는 전기장의 중첩이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2} \\ &=\frac{\rho}{3 \epsilon_{0}} {\mathbf{r}}+\left[ -\frac{\rho}{3 \epsilon_{0}}(\mathbf{r}-a \hat{\mathbf{z}}) \right] \\&=\frac{\rho a}{3 \epsilon_{0}}\hat{\mathbf{z}} \end{aligned} )] }}} 으로 주어진다. '''따라서 해당 공동 내의 전기장의 크기는 균일하며, [math(+\hat{\mathbf{z}})]방향을 향한다.''' }}} ==== 예 5: 심화 ==== ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 그림과 같이 진공상에 전하량 [math(3Q)]로 대전된 영역 [math(0 <r<a)]과 전하량 [math(-2Q)]로 대전된 도체 구각 영역 [math(b<r<c)]가 있다. 다음 물음에 답하시오. '''(a)''' 각 영역의 전기장 분포를 구하시오. '''(b)''' 각 영역의 전기 퍼텐셜 분포를 구하시오. '''(c)''' 각 경계의 표면 전하 밀도를 구하시오. || [[파일:나무_가우스법칙_심화예제.png|width=190px&align=center]] {{{#!folding [풀이 보기] ----- '''(a)''' 이 문제는 구면 대칭성을 가지기 때문에 [math(r<a)]영역의 전기장을 구할 때, 이것은 예 2의 결과를 사용하면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}_{1}=\frac{3Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{a^{3}} \quad (r<a) )] }}} 마찬가지의 이유로, [math(a<r<b)]영역의 전기장을 구할 때도, 예 2의 결과를 이용하면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}_{2}= \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \quad (a<r<b) )] }}} 도체 구각 내부인 [math(b<r<c)] 영역의 전기장은 존재하지 않는다. 이것의 이유는 [[전기장#s-9.2|]]을 참고하라. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}_{3}=0 \quad (b<r<c) )] }}} 도체 내부에 전기장이 유입되지 않으려면, 도체 구각 외부 [math(r<b )]에서 유입되는 전기장을 도체 구각은 모두 상쇄해야 한다. 이렇게 되려면, [math(r=b)]의 표면에 도체 구각은 [math(-3Q)]으로 대전되어서, [math(0 <r<a)]영역에 의해 생성되는 전기장을 상쇄하고, 본래의 도체 구각은 [math(-2Q)]로 대전되어 있음을 고려하면, 도체 구각 외부 표면 [math(r=c)]에는 [math(-2Q-(-3Q)=Q)]으로 대전되어야 한다. 그리고, 점 [math(\mathrm{O})]를 중심으로 하고, 반지름 [math(r\,(r>c) )]인 구면을 가우스 면으로 잡는다면, 도체 구각 외부 [math(r>c)]의 전기장을 구면 대칭성이 있음을 고려해서 쉽게 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}_{4}= \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \quad (r>c) )] }}} 이상에서 아래와 같이 전기장이 결정된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{a^{3}} & \quad (r<a)\\ \\ \displaystyle \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} \hat{\mathbf{r}} &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle 0 & \quad (b<r<c) \\ \\ \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}} \hat{\mathbf{r}} & \quad (r>c) \end{array}\right. )] }}} '''(b)''' [[전기 퍼텐셜]]의 정의는 다음과 같다. [[전기 퍼텐셜]] 참고. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \Phi \equiv - \int_{ \infty}^{\mathbf{d}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r} )] }}} 따라서 우선 도체 구각 외부 [math(r>c)]의 전기 퍼텐셜부터 구하자. 이상에서 구한 전기장은 모두 [math(\hat{\mathbf{r}})]방향이고, 미소 변위 벡터 [math(d \mathbf{r})] 또한, [math(\hat{\mathbf{r}})]방향으로 잡는다면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi_{4}&=-\int_{\infty}^{r} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}\,dr \\ &=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r} \quad (r>c) \end{aligned} )] }}} 다음으로, 도체 구각 내부 [math(b<r<c)]의 전기 퍼텐셜을 구하자. 이 영역에서는 전기장이 0이었으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi_{3}&=-\int_{\infty}^{c} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}\,dr \\ &=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}c} \quad (b<r<c) \end{aligned} )] }}} [math(a<r<b)] 영역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi_{2}&=-\int_{\infty}^{c} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}\,dr-\int_{b}^{r} \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}\,dr \\ &=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{c}-\frac{3}{b}+\frac{3}{r} \right) \quad (a<r<b) \end{aligned} )] }}} [math(r<a)] 영역은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi_{1}&=-\int_{\infty}^{c} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}\,dr-\int_{b}^{a} \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2}}\,dr-\int_{a}^{r} \frac{3Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{r}{a^{3}} \,dr \\ &=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{c}-\frac{3}{b}+\frac{9}{2a}-\frac{3r^{2}}{2a^{3}} \right) \quad (r<a) \end{aligned} )] }}} 으로 결정된다. 따라서 전기 퍼텐셜 분포는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \Phi=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{c}-\frac{3}{b}+\frac{9}{2a}-\frac{3r^{2}}{2a^{3}} \right) &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{c}-\frac{3}{b}+\frac{3}{r} \right) &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}c} &\quad (b<r<c) \\ \\ \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}r} \quad &(r>c) \end{array}\right. )] }}} 으로 결정된다. 이때, 전기 퍼텐셜은 각 경계를 가로지를 때 연속이며, 도체 구각 영역은 모두 등전위이다. '''(c)''' [[전기 퍼텐셜]] 문서에서 경계치 문제를 논하면서, 표면 전하 밀도가 존재하면, 경계에 수직한 전기장의 성분이 불연속이 된다는 것을 논의했다. 이 문제에서 전기장은 모두 경계에 수직하므로 결국 전기장이 연속이느냐를 따지면 된다. 이 문제에서 경계는 총 3곳 있다: [math(r=a)], [math(r=b)], [math(r=c)]. 그런데, 전기장에 불연속이 있는 곳은 [math(r=b)], [math(r=c)]이므로 이곳만 구하면 된다. 즉, [math(r=a)]는 전기장 성분이 연속이므로 표면 전하 밀도는 0이다. [math(r=b)]에서 표면 전하 밀도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle -\epsilon_{0}[E_{2}(r=b)-E_{3}(r=b) ]=\frac{3Q}{4 \pi b^{2}} )] }}} [math(r=c)]에서 표면 전하 밀도는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \epsilon_{0}[E_{4}(r=c)-E_{3}(r=c) ]=\frac{Q}{4 \pi c^{2}} )] }}} 각 표면 전하 밀도는 [math(\theta,\,\phi)]에 의존하지 않으므로 도체 구각 표면에는 균일하게 전하가 퍼져 있음을 나타내며, 사실 이것은 이 문제가 구면 대칭이 있기 때문에 당연한 결과이다. 혹은, [[전기장#s-9.2|이곳]]을 참고하면, 정전기학적 상황을 만족시키기 위해선 구각 외부 표면들에 전류가 생성되면 안되며, 이를 위해선, 전하가 균일하게 표면상에 분포할 수밖에 없다는 결론이 도출된다. ||<table width=100%>'''[추가 자료]''' || 아래의 그래프는 위에서 나온 결과를 바탕으로, 전기장 세기 분포와 전기 퍼텐셜 분포를 나타낸 것이다. [[파일:나무_가우스법칙_심화예제_그래프_수정.png|width=300px&align=center]] }}} [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=가우스 법칙, version=134)] [[분류:전자기학]][[분류:물리학]]캡챠되돌리기