국제수학올림피아드/1960년 (덤프버전으로 되돌리기)

[목차]
== 개요 ==
1960년에 열린 제 2회 [[국제수학올림피아드]]에 수록된 문제들과 그 문제의 풀이를 서술한 문서이다.

== 문제 목록 ==
=== 1번 문제 ===
> [math(N)]은 11의 배수이고, [math(\displaystyle N \over 11)]은 [math(N)]의 각 자리수들의 제곱의 합과 같다. 이런 세 자리의 수 [math(N)]을 모두 구하여라.

우선 [math(\displaystyle N \over 11)]을 [math(10a + b)]로 두자.

첫번째로, [math(a+b \le 9)]일 경우, N 의 각 자릿수는 백의 자리 [math(a)], 십의 자리 [math(a+b)], 일의 자리 [math(b)]이므로, [math({a^2+(a+b)^2+b^2}={10a+b})]이며, 좌변을 정리하면 [math({2a^2+2ab+2b^2}={10a+b})]가 된다.
[math(10a+b)] 가 2로 나뉘어 떨어지므로 [math(b)]는 짝수이다. 그러므로, [math(b = 2b')]라고 두고 위의 등식에 대입 하면 아래와 같은 결과가 나온다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math({2a^2+2ab+2b^2}={10a+2b'})][br][math({a^2+2ab'+4b'^2=5a+b'})][br][math({a(a-5)+2ab'+4b'^2=b'})]}}}
[math(b')]는 다시 2로 나뉘므로 [math(b)]는 4의 배수인 0, 4, 8 이 셋중 하나라는 뜻이다. [math(b=0)]일때 [math(a=5)] 이고, [math(b=4)]일때 [math(a)]는 해가 존재하지 않으며, [math(b=8)]일때 또한 [math(a)]의 해는 존재하지 않는다.
고로, [math(a+b \le 9)]일때 [math(\displaystyle {N \over 11}=55)]이며, [math(N=550)]이다.

두번째로, [math(a+b \ge 10)]일 경우, N의 각 자릿수는 백의 자리 [math(a+1)], 십의 자리 [math(a+b-10)], 일의 자리 [math(b)]이므로, [math({(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2}=10a+b)]이다.
[math(10a+b)]가 2로 나뉘어 떨어지지 않으므로 [math(b=2b'+1)]이라고 두고 위의 등식에 대입하면 아래와 같은 결과가 나온다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math({(a+1)^2+(a+2b'-9)^2+(2b'+1)^2}=10a+2b'+1)][br][math({a^2+2a+1+a^2+4b'^2+81+4ab'-18a-36b'+4b'^2+4b'+1}=10a+2b'+1)][br][math(2a^2+4ab'+8b'^2-26a-32b'+82=0)][br][math({a^2+2ab'+4b'^2-13a-17b'+41}=0)][br][math({a^2-13a+41}={17b'-2ab'-4b'^2})]}}}
여기서 [math(a^2-13a)]는 항상 짝수이기 때문에 좌우변은 항상 홀수이므로, [math(b')]또한 홀수이다. 이를 만족하는 [math(b)]는 3과 7이며, [math(b=3)]일때 [math(a=4)] or [math(7)]인데, [math(a+b \ge 10)]이므로 [math(a=7)], [math(b=7)]일때 [math(a)]는 해가 존재하지 않는다.
고로, [math(a+b \ge 10)]일때 [math(\displaystyle {N \over 11}=73)]이며, [math(N=803)]이다.

즉, 문제의 조건을 모두 만족하는 N은 550, 803이다.
=== 2번 문제 ===
> 다음 부등식을 만족하는 [math(x)]의 값을 모두 구하여라.
>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle {{4x^2} \over {(1-\sqrt{1+2x})^2}}<2x+9)]}}}

=== 3번 문제 ===
> 주어진 직각 삼각형 [math(ABC)]에서 길이 [math(a)]인 빗변이 [math(BC)]를 [math(n)]등분하였다([math(n)]은 홀수). 이렇게 나뉘어진 선분들 중에서 빗변의 중점을 포함하는 선분의 양끝점을 [math(A)]에서 바라본 각을 [math(α)]라 하자. 이제 [math(A)]에서 빗변에 내린 높이를 [math(h)]라 하자. 다음을 증명하여라.
>{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \tan α={4nh \over {(n^2-1)a}})]}}}

=== 4번 문제 ===
> [math(A)]와 [math(B)]에서 내린 삼각형의 높이가 각각 [math(h_a,h_b)]이고 [math(A)]로부터의 중선의 길이가 [math(m_a)]인 삼각형 [math(ABC)]를 작도하여라.

=== 5번 문제 ===
> 정육면체 [math(ABCDA'B'C'D')]을 생각하자. (단, 면 [math(ABCD)]가 면 [math(A'B'C'D')]의 바로 위에 놓여있다.)
>(a) [math(AC)]위를 움직이는 점 [math(X)]와 [math(B'D')]위를 움직이는 점 [math(Y)]에 대해, 선분 [math(XY)]의 중점의 자취를 구하여라.
>(b) (a)와 같은 조건에서, [math(ZY = 2XZ)]를 만족하는 선분 [math(XY)]위의 점 [math(Z)]의 자취를 구하여라.

=== 6번 문제 ===
> 어떤 원뿔의 옆면과 밑면에 동시에 내접한 구면을 생각하자. 이 구면에 원기둥이 외접해 있는데 그 원기둥의 한 면은 원뿔의 밑면에 놓여있다. [math(V_1)]을 원뿔의 부피라 하고, [math(V_2)]를 원기둥의 부피라 하자.
>(a) [math(V_1 \ne V_2)]임을 증명하여라.
>(b) [math(V_1=kV_2)]를 만족하는 [math(k)]의 최솟값을 구하고, 이 경우 원뿔의 꼭짓점에서 원뿔의 밑면의 지름을 바라보는 각을 작도하여라.

=== 7번 문제 ===
> [math(a)]와 [math(c)]를 윗변과 밑변으로 하고 높이가 [math(h)]인 등변사다리꼴이 주어져 있다.
>(a) 이 등변사다리꼴의 대칭축 위의 점 중에서, 옆변의 양끝점을 바라보는 각이 직각인 점 [math(P)]를 모두 찾아라.
>(b) [math(P)]에서 윗변 혹은 밑변까지의 거리를 구하여라.
>(c) 이런 점 [math(P)]가 실제로 존재할 조건을 구하여라. (생길 수 있는 여러 경우를 모두 논의하여라.)

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