문서 보기문서 편집수정 내역 벡터 공간 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:선형대수학)] [include(틀:수 체계)] [목차] * [[수학 관련 정보]] == 정의 == {{{+1 Vector Space[* linear space(선형 공간)라고 부르기도 한다.]}}} [[체(대수학)|체]] 위에서 정의된 [[가군]].[* 책에 따라서는 [[환(대수학)#s-1.2.3.1|나눗셈 환]](division ring) 위의 가군이라고도 한다. 그럴만 한 것이 스칼라곱 조건에 [[스칼라]]끼리의 교환법칙이 기술되지 않기 때문. 애초의 체의 정의 자체가 한마디로 가환 나눗셈환이기도 하고.] 풀어쓰면, [[체]](field)[* 아주 간단히 말해 [[사칙연산]]이 상식대로 성립하는 것.] [math( F )]에 대해, [[집합]] [math( V )]가 '''체 [math(F)]위의 벡터 공간(vector space)'''이라 함은, [math( V )]가 [math( F )]의 [math( F )]-가군(module)인 것이다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 그리고 이때, [math(F)]를 [math(V)]의 [[스칼라]]라고 한다. * (가환군) [math( V )] 위에 [math( + )]가 정의[* [math(u, v \in V \Rightarrow u + v \in V)]]되어 있으며, [math( \left( V,+\right) )]는 가환[[군론|군]](abelian)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.[br]임의의 [math( u , v, w\in V )]에 대하여 * [[교환법칙]] 성립 : [math(\forall u, v\in V)], [math( u + v = v + u )] * [[결합법칙]] 성립 : [math(\forall u, v, w\in V)], [math( \left( u + v \right) + w = u + \left( v + w \right) )] * 덧셈의 [[항등원]] 존재 : [math(\forall u\in V)], [math(\exist 0\in V \ {\sf s.t.}\ u + 0 = u )] * 덧셈의 [[역원]] 존재 : [math(\forall u\in V)], [math(\exist (-u)\in V \ {\sf s.t.}\ u + (-u) = 0 )] * (스칼라 곱) 임의의 체 F에 대하여 연산 [math( f:F\times V\rightarrow V, f(a, v):=a\cdot v)](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math(a,b\in F)], [math(u, v\in V)]에 대해 다음이 성립한다. * [math( a\cdot\left(u+v\right)=a\cdot u+a\cdot v )] * [math( \left(a+b\right)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v )] * [math( \left(ab \right)\cdot v=a\cdot\left(b\cdot v \right))] [* 이 조건 때문에 [math(a\in F)], [math(x\in V)]에 대해 [math(a\cdot x)]를 [math( ax)]로 줄여쓰는 것에 혼동의 여지가 없으므로 스칼라 곱을 [math( ax)]형태로 쓸 수 있다.] * [math( 1_{F}v=v )][* 여기서 [math(1_F)]는 체 [math(F)]의 곱셈의 항등원이다.] 벡터공간 [math(V)]의 원소를 '''[[벡터]]'''(vector)라고 하는데 특히 덧셈 항등원 [math(0)]을 영벡터(zero vector)라고 한다.[* 이 내용이 생소한 사람들을 위해서 간단하게 말해주면 벡터스페이스에 대해서 한 학기 정도 배우게 되면 우리가 알고 있는 [[행렬(수학)|행렬]]이 사실 선형함수(y=ax와 같이 상수항이 없는 [[일차함수]])와 같다는 것 그리고 왜 우리가 행렬 곱을 이상하게 정의하고 있는가에 대해서 알 수 있다 정도로 생각하면 편하다. 물론 그것보다 더 많은 일을 하지만...] 즉, 위 조건들만 만족하면 벡터 공간이 되는 것이다. 따라서 우리가 주로 아는 좌표공간 이외에도, 위상공간에서 좌표 공간으로 가는 연속함수들의 집합[* 연속함수들을 더해도, 스칼라 배해도 연속함수이므로]이나 [[다항식]]들의 집합[* 다항식들을 더해도, 스칼라 배해도 다항식이므로]도 벡터 공간이 된다. 집합으로서의 벡터 공간은 [math(\mathbb{V})]로 표기한다. == 벡터 공간의 준동형 사상(homomorphism) == 벡터 공간의 준동형 사상은, 벡터 공간의 선형성을 보존하는 함수이다. 즉, [[선형 변환]]이 벡터 공간의 준동형 사상이다. 자세한 것은 해당 문서 참조. == 부분공간(subspace) == 벡터 공간 [math(V)]의 부분집합 [math(W\subset V)]가 스칼라 곱과 덧셈, 역원에 대해 다시 닫혀있으면[* 이 때, [math( w_{1}, w_{2} \in W )] 이면 [math(w_{1} + w_{2} \in W )]인 것과, [math(w \in W )]이고 [math(a \in F)] 이면 [math(aw \in W )] 인 것만 확인하면 된다.] [math(W)]를 [math(V)]의 __'''부분공간(subspace)'''__이라 하고, [math(W [math(\left\langle X\right\rangle=\left\{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}:v_{1},\ldots,v_{n}\in X,a_{1},\ldots,a_{n}\in F\right\})][* 즉, [math(\left\langle X\right\rangle)] 는 [math( X)]의 원소들의 선형 결합들 전체의 집합이다] * [math(\left\langle \emptyset\right\rangle=\left\{ 0\right\} )] === 불변부분공간(Invariant Subspace) === 선형 변환 [math( T : V \rightarrow V )]가 주어져 있을 때, [math( V )]의 부분 공간 [math( W )]가 [math(T)]-불변 부분 공간이라는 것은 [math( W )]의 [math( T )]에 의한 상이 [math( W )]의 부분 공간이라는 것과 동치이며, 즉 [math( T)]를 [math( T|_W : W \rightarrow W)]로 축소시킬 수 있다는 것이다. === 순환부분공간(Cyclic Subspace) === 선형 변환 [math( T : V \rightarrow V )]가 주어져 있을 때, [math( V )]의 [math(T)]-불변 부분 공간 [math( W )]가 [math(T)]-순환 부분 공간이라는 것은 고정된 [math( w \in W )]가 존재해서 [math( W = \left\{ f(T) (w) | f(t) \in F[t] \right\} )] [* [math(T)]-불변 부분 공간 [math(W)]는 임의의 다항식 [math( f(t) \in F[t] )]에 대해 [math(f(T))]-불변 부분 공간이다][* 물론, [math( f(t) = a_n t^n + \cdots + a_1 t + a_0 )]일 때 [math( f(T) = a_n T^n + \cdots + a_1 T + a_0 I )]로 정의한다]라는 것이다. 즉, [math( w )]의 상수배와 [math( T(w) )]의 상수배, [math( (T \circ T) (w) )]의 상수배, ... 들의 합만으로 [math( W )]의 모든 원소를 나타낼 수 있다는 것이며, 이는 [math( W = \left< w, T(w), T^{2} (w), \cdots \right> )]와 동치이다. == 벡터 공간의 합 == 벡터 공간 [math(V)]의 두 부분공간 [math(W_{1}, W_{2}\subset V)]를 생각하자. [math(W_{1}+W_{2})]는 [math(W_{1}+W_{2}:=\left\langle W_{1} \cup W_{2}\right\rangle)]로 정의되며, 구체적으로는 [math(W_{1}+W_{2}=\left\{ w_{1}+w_{2}:w_{i}\in W_{i}, i=1, 2\right\} )]로 계산된다. 유한한 경우에 한해 합을 다루었지만, 무한한 벡터 공간의 합도 다룰 수 있다. 물론, [math(W_{1}+W_{2}+...+W_{n})]을 [math(\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V )]로 표현한다. === 직합(direct sum) === 벡터 공간 [math(V)]의 두 부분공간 [math(W_{1}, W_{2}\leq V)]가 [math(W_{1}\cap W_{2}=\left\langle \emptyset\right\rangle=\left\{ 0\right\})]이라 하자. 그러면, 임의의 [math(w_{1}\in W_{1})], [math(w_{2}\in W_{2})]에 대해, [math(w_{1}+w_{2}=0)]이면, [math(w_{1}=w_{2}=0)]이다. 즉, [math(W_{1})], [math(W_{2})]는 독립적이다. 이 점을 강조해주기 위해, [math(W_{1}+W_{2})]를 [math(W_{1}\bigoplus W_{2})], [math({\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{2}}W_{i})] 등과 같이 쓴다. 이를 __'''직합(direct sum)'''__이라 한다. 무한 개의 부분 공간들의 모임[math(\left\{ W_{\alpha}:\alpha\in A\right\} )]에 대해서도 마찬가지의 일을 할 수 있고, 이때 독립성 조건은, 임의의 [math(\beta\in A)]에 대해 [math(W_{\beta}\cap{\displaystyle \sum_{\alpha\neq\beta}}W_{\alpha}=\left\langle \emptyset\right\rangle )]인 것이다. 두 벡터 공간 [math(V)], [math(W)]에 대해서도 직합을 정의할 수 있다. [math(V\bigoplus W:=\left\{ \left(v,w\right):v\in V,w\in W\right\} )]라 정의해주고, 스칼라 배와 덧셈을 좌표별로(component wise) 정해준다. 무한 개의 벡터 공간들에 대해서도 비슷하다. 이 경우, [math(V=\left\{ \left(v,0\right):v\in V\right\} 임의의 서로 다른 [math(v_{1},\ldots,v_{n}\in S)]와 임의의 [math(a_{1},\ldots,a_{n}\in F)]에 대해, [math({\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}=0)]이면, [math(a_{1}=\ldots=a_{n}=0)]이다.[* 이 정의에서, [math(S)]는 무한집합일 수도 있지만, 합하는 건 유한 개뿐이라는 것에 주목하자.] * [math(\mathbb{R}^{2})]에서, [math(\left\{e_{1}, e_{2}\right\})]는 선형 독립이지만, [math(\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\})]는 선형 독립이 아니다. [math(\left\{e_{1}+e_{2}\right\})]는 나머지 둘의 선형결합으로 생성될 수 있기 때문이다 [math(S\subset V)]의 선형 독립성이 중요한 이유는, [math(S)]가 선형 독립이면 벡터 공간[math(V)]의 모든 원소가 [math(S)]의 선형 결합으로 '''유일하게''' 표현되기 때문이다. [math(S)]가 선형 종속이면, [math(V)]의 원소에 대한 묘사가 유일하지 않을 수도 있다. 위에서 예로 든 [math(\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\})]의 경우, [math( (3, 2))]가 [math( 3e_{1} + 2e_{2} )]로 표현될 수도 있고, [math( 3(e_{1}+e_{2})-e_{2})]로 표현될 수도 있다. === 기저(basis)[* 원 의미는 어떤 것의 바닥, 밑바탕이 되는 기초를 뜻한다.] === 부분 집합 [math(S\subset T\subset V)]를 생각하자. [math(S)]는 [math(T)]보다 선형 독립이기 쉬운 반면[* 즉, T가 선형 독립이라면 S도 선형 독립이다.], [math(\left\langle S\right\rangle \lneq V)]이기도 쉽다[* 즉, .[math(\left\langle T\right\rangle \lneq V)]이면 [math(\left\langle S\right\rangle \lneq V)]이다.]. 한마디로, 집합이 작으면 선형독립이기 쉽고, 집합이 크면 [math(V)] 전체를 표현하기 쉽다. 예컨대 위에서 예로 든 [math(\mathbb{R}^{2})]에서, [math( \left\{e_{1}\right\})]는 작아서 선형독립이지만 너무 작아서 [math(\mathbb{R}^{2})] 전체를 표현하지 못하고[* [math( (1, 2) = e_{1}+2e_{2})]를 표현하지 못한다], [math(\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\})]는 커서 [math(\mathbb{R}^{2})] 전체를 표현할 수 있지만 너무 커서 선형독립이지 않다. 이러한 관점에서, 집합의 크기에 따라 선형독립(즉, 유일한 표현)과 [math(V)]전체에 대한 표현의 여부가 달라진다고 볼 수 있다. 그렇다면, 두 조건(선형독립과 [math(V)] 전체에 대한 묘사)을 모두 만족하는 "적절한" 크기의 집합을 찾을 수 있을까? 만약 이러한 집합이 존재한다면, 그 적절한 크기의 집합을 기저(basis)라 부른다. 형식적인 정의는 다음과 같다. 부분 집합 [math(\mathcal{B}\subset V)]가 [math(V)]의 __'''기저(basis)'''__라 함은, 다음을 만족하는 것이다. > * (선형 독립성, linearly independent) [math(\mathcal{B})]는 선형 독립이다. > * (생성성, span) [math(\left\langle \mathcal{B}\right\rangle =V)] [[선택공리]]하에 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다. 좀 더 의미를 찾자면 다음과 같이 적을 수 있을 것이다. > * [math(V={\displaystyle \bigoplus_{v\in \mathcal{B}}}\left\langle v\right\rangle )] ==== 기저의 존재성 증명 ==== 선택공리와 동치인 초른의 보조정리(Zorn's lemma)[* 부분순서 집합 [math(\left(P, \leq \right))]가 있다고 하자. 이때 [math(\left(C, \leq \right))]가 전순서 집합이 되는 [math(P)]의 임의의 부분집합 [math(C)]의 상계가 [math(P)]에 존재하면, [math(\neg \exists x\in P :M\leq x \,\ \text{and} \,\ x\neq M)]을 만족하는 [math(M\in P)]가 존재한다. 다시 말해 부분순서 집합 [math(P)]의 임의의 사슬이 [math(P)]에서 상계를 가지면 [math(P)]는 극대원소를 갖는다.]를 이용한다. [math(V)]의 선형독립인 부분집합 [math(L)]이 있다고 할 때, [math(L)]을 포함하면서 선형독립인 [math(V)]의 부분집합들을 모두 모은 집합을 [math(P)]라고 하자. 그리고 [math(P)] 위의 순서 관계 [math(\leq)]를 포함 관계 [math(\subset)]와 같도록 정의하자. 그러면 [math(\left(P, \leq \right))]는 부분순서 집합이 된다. 이때 [math(P)]의 임의의 사슬 [math(C=\left\{L_i : i\in I\right\})]에 대하여 [math(\displaystyle L_{\text{max}}=\bigcup C)]를 생각하자. [math(L_{\text{max}})]에서 임의로 유한 개의 원소 [math(v_1, v_2, \cdots, v_n)]을 뽑았을 때 [math(C)]가 포함 관계에 대하여 전순서 집합이기 때문에 [math(\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}\subset L_i)]인 [math(i\in I)]가 존재한다. 이때 [math(L_i)]가 선형독립이므로 [math(\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\})]도 선형독립이다. 따라서 [math(L_{\text{max}})]는 선형독립이고, [math(L)]을 포함하는 것은 자명하므로 [math(L_{\text{max}}\in P)]이다. 이로부터 [math(P)]의 임의의 사슬의 상계가 [math(P)]에 존재함을 알 수 있고 초른의 보조정리에 의하여 부분순서 집합 [math(\left(P, \leq \right))]은 극대 원소를 갖는다. 그 원소를 [math(B)]라 하자. 일단 [math(B)]는 선형독립이다. 그런데 [math(V\setminus \left\langle {B}\right\rangle \neq \emptyset)]이라면 [math(V\setminus \left\langle B\right\rangle)]의 원소 [math(w)]를 뽑아 [math(M:=B\cup \left\{w\right\})]이라 할 때 [math(M)]은 선형독립이고 [math(L)]을 포함하므로 [math(M\in P)]이다. 그러면 [math(B\leq M)]이고 [math(B\neq M)]이므로 [math(B)]가 극대원소라는 데 모순이다. 따라서 [math(V\setminus \left\langle {B}\right\rangle = \emptyset)]이어야 하고, [math(B)]는 [math(L)]을 포함하면서 [math(V)]의 기저가 된다. === 차원(dimension) === 벡터 공간의 기저의 크기를 __'''차원(dimension)'''__이라 부르고, [math(\dim_{F}V)]라 적는다. 이것이 잘 정의되어있으려면([[well-defined]]), 모든 벡터 공간은 기저를 가져야 하고, 주어진 벡터 공간의 기저들은 모두 같은 크기를 가져야 한다. 전자는 위에서 말한 대로 [[선택공리]]를 가정한다면 보일 수 있고, 후자도 쉽게 보일 수 있다. 차원은 스칼라를 어떻게 택하느냐에 따라 달라지기도 한다. 예를 들어, 복소수체는 실수체와 복소수체 모두의 벡터 공간이고, [math(\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2\neq 1=\dim_{\mathbb{C}}\mathbb{C})]이다. 같은 스칼라 체를 갖는 두 벡터 공간이 동형적(isomophic)일 필요충분 조건은 차원이 같은 것이다. 동형이라면 차원이 같음은 자명하고, 차원이 같다면 두 벡터 공간의 기저 사이에 일대일 대응을 만든 후, 그 대응을 선형 변환으로 확장하면 된다. 이때 확장 가능성은 물론 기저의 선형 독립성과 생성성에 의해 보장된다. ==== 차원의 유일성 증명 ==== ===== 무한차원 벡터공간 ===== [math(V)]의 모든 기저가 무한집합이고 [math(\mathcal{B})]와 [math(\mathcal{C})]가 [math(V)]의 서로 다른 두 기저라 하자. 그러면, 임의의 [math(b\in \mathcal{B})]에 대하여 [math(b\in\langle S_{b}\rangle)] 를 만족하는 유한집합 [math(S_{b}\subset C)]가 존재한다. 그런데 임의의 [math(c \in\mathcal{C})] 각각[* 임의의 X에 대하여 Y가 존재한다는 류의 문장은 두가지로 해석가능한데, 각 X에 대해서 Y가 같아야 하는지, 달라도 되는지이다. 여기선 c에 따라 b가 달라도 상관없다. 그래서 각각이란 단어를 붙였다.]에 대하여, [math(c\in S_{b})]를 만족하는 [math(b\in\mathcal{B})]가 존재하여야 한다. (그렇지 않으면 임의의 [math(b\in\mathcal{B})]에 대하여 [math(c\notin S_{b})]인 [math(c)]가 존재해서, [math(\mathcal{B})]가 [math(V)]의 기저이므로, [math(c=k_{1}b_{1}+\cdots+k_{m}b_{m})] 를 만족하는 [math(b_{1},\cdots,b_{m})]이 존재하는데, 위 식의 우변이 [math(\langle S_{b_{1}}\cup\cdots\cup S_{b_{m}} \rangle )]의 원소가 되므로 기저는 일차독립이라는것에 모순이다.) 따라서 [math(c\in S_{b})]를 만족하는 [math(b)]중 하나를 [math(f(c))]가 되도록 함수 [math(f:\mathcal{C}\to \mathcal{B})]를 정의할 수 있다.[* 선택공리] 또한 임의의 [math(b\in f(\mathcal{C}))]에 대하여, [math(f^{-1}(\{b\})\subset S_{b})]는 유한집합이다. 즉, [math(\Gamma=\{f^{-1}(\{b\}):b\in f(\mathcal{C})\})]는 공집합이 아닌 유한집합으로 이루어진 [math(\mathcal{C})]의 분할이다. 따라서 [math(\Gamma)], [math(\mathcal{C})], [math(f(\mathcal{C}))]의 카디널리티가 모두 같고, [math(f(\mathcal{C})\subset \mathcal{B})]이므로, 아래의 부등식 [math(|\mathcal{B}|\geq |\mathcal{C}|)] 가 성립한다. 위의 증명을 [math(\mathcal{B})] 와 [math(\mathcal{C})]를 바꿔서 반복하면 반대방향 부등식도 성립한다는것을 보일 수 있다. ===== 유한차원 벡터공간 ===== [math(V)]의 기저 중 유한집합이고, 원소의 갯수가 가장 작은것을 [math(\mathcal{B})]라고 하자. 또한 [math(\mathcal{C})]를 어떤 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(|\mathcal{B}|=m [math(V^{*}:=L\left(V,F\right))][* [math(V)]에서 [math(F)]로 가는 [[선형 변환]]들의 집합이다. [math(F)] 역시 자기 자신의 벡터 공간이 때문에, [[선형 변환]]들의 모임 [math(L\left(V,F\right))]을 생각할 수 있다. ] === 쌍대 기저(dual basis) === [math(V )]가 유한 차원인 경우, [math(V )]의 기저 [math(\mathcal{B} = \left\{ v_1, ..., v_n \right\} )]를 알고 있다면 이로부터 [math(V^{*} )]의 기저 [math(\mathcal{B}^{*} = \left\{ \varphi_1, ..., \varphi_n \right\} )]를 구성할 수 있다. [math(\varphi_i )]가 [math(\varphi_{i} (v_j) = \delta_{j}^{i} = )] [math(\begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \ne j) \end{cases} )][* [math(\delta_{j}^{i} )]는 크로네커 델타(Kronecker Delta)라고도 부른다.]를 만족하는 [math(V^{*} )]의 원소라고 하자. 그러면 임의의 [math(\varphi = c_1 \varphi_1 + ... + c_n \varphi_n )]에 대해 [math(\varphi (v_i) = c_i )]이므로, [math(f \in V^{*} )]에 대해 [math(c_i = f(v_i) )]로 두면 [math(f = \varphi )]이다. 즉, [math(\mathcal{B}^{*} )]는 [math(V^{*} )]를 생성한다. 또한, [math(c_1 \varphi_1 + ... + c_n\varphi_n = 0 )]일 때 [math((c_1 \varphi_1 + ... + c_n\varphi_n) (v_i) = c_i = 0_F )]이므로, [math(\mathcal{B}^{*} )]는 선형 독립이다. 따라서, [math(\mathcal{B}^{*} )]는 [math(V^{*} )]의 기저가 되며 이를 쌍대 기저(dual basis)라 부른다. 그렇다면, [math(V )]가 무한차원인 경우는 어떨까? [math(V )]의 기저 [math(\mathcal{B} = \left\{ v_i : i \in I \right\} )]를 생각해보자. 이때 index [math(I )]는 [math(V )]가 무한차원이므로 무한집합이다. 이제 [math(V^{*} )]의 쌍대기저 [math(\mathcal{B}^{*} = \left\{ \varphi_i : i \in I \right\} )]를 위와 같이 정의하자. 만약 [math(\mathcal{B}^{*} )]가 [math(V^{*} )]의 기저라면 [math(V^{*} )]의 모든 원소는 [math(\mathcal{B}^{*} )]의 유한한 부분집합에 의해 생성되어야 한다. 하지만 이는 불가능하다. 원소 [math(\varphi )]를 임의의 [math(i )]에 대해 [math(\varphi(v_i) = 1 )]이 되도록 잡고 이것이 [math(\mathcal{B}^{*} )]에 의해 생성된다고 하자. 그러면 [math(I )]의 유한한 부분집합 [math(J )]가 있어서 [math(\left\{ \varphi_j : j \in J \right\} )]의 한 선형결합이 [math(\varphi )]이여야 한다. 즉, [math(\varphi = \sum_{j \in J} {c_j \varphi_j} )]인 [math(c_j \in F )]가 존재한다. 하지만 임의의 [math(k \notin J )]에 대해 [math(\sum_{j \in J} {c_j \varphi_j} (v_k) = 0 )]이므로 모순이 일어난다. 즉, 무한 차원 공간에서는 쌍대 기저가 쌍대 공간의 기저가 될 수 없다.[* [[양자역학]]에서 (무한 차원) 켓-공간의 "기저"를 뒤집어서 얻은 브라-공간의 원소들이 "기저"가 됨을 배운 사람들은 여기에서 혼동을 느낄 수도 있을 것이다. 하지만 사실 양자역학 등에서 말하는 "기저"는 그냥 기저가 아닌 [[힐베르트 공간|orthonormal basis]]이고, 사실 orthonormal basis는 엄밀하게 말해 벡터 공간의 기저가 아니다. (Hamel basis를 찾아보자.)] 두 벡터 공간 [math(V)], [math(W)]에 대해 선형 사상 [math(A : V \to W)]를 생각해 보자. 이로부터 [math(V^*)]와 [math(W^*)] 간의 자연스러운 선형 사상을 어떻게 줄 수 있는지 생각해 보자. 먼저 [math(A)]의 이미지는 [math(W)]에 살고 있으므로 그 이미지의 아무 원소에나 [math(W^*)]의 아무 원소를 적용시킬 수 있을 것이다. 즉, 임의의 [math(v \in V)]와 [math(g \in W^*)]에 대해 [math(g(Av))]를 생각할 수 있다. 즉, [math((g \circ A)(v))]를 생각할 수 있다. 그런데 [math(g \circ A)]는 분명 [math(V)]를 [math(F)]로 보내는 선형 사상이다. 게다가 임의의 [math(g_1, g_2 \in W^*)]와 [math(a, b \in F)]에 대해 [math((ag_1 + bg_2) \circ A = a(g_1 \circ A) + b(g_2 \circ A))]가 성립한다. 따라서 [math(W^* \ni g \mapsto A^*(g) = g \circ A \in V^*)]를 만족하는 사상 [math(A^* : W^* \to V^*)]가 존재하며 이는 선형 사상이다. 이 선형 사상을 보통 [math(A)]의 쌍대(dual)라고 부른다. 이걸 쌍대 기저와 엮으면 재밌는 결과를 얻을 수 있다. [math(\{v_1, \cdots, v_n\})], [math(\{w_1, \cdots, w_m\})]을 각각 [math(V)], [math(W)]의 기저라고 하자. 그러면 [math(v_i^*(v_j) = \delta_{ij})], [math(w_i^*(w_j) = \delta_{ij})]인 [math(v_i^* \in V^*)], [math(w_i^* \in W^*)]가 존재하고, 이들은 각각 [math(V^*)], [math(W^*)]의 기저가 됨을 위에서 보였다. 그러면 이 기저들에 대한 [math(A^*)]의 행렬 꼴은 어떻게 될 지 궁금할 것이다. 즉, [math(A^* w_j^* = \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^*)]라고 썼을 때 [math(b_{ij})]가 과연 무엇인가 하는 것이다. 더 구체적으로, [math(Av_j = \sum_{i = 1}^m a_{ij} w_i)]라고 썼을 때 [math(a_{ij})]와 [math(b_{ij})]의 관계를 알아보자는 것이다. [math(A^*)]의 정의로부터 다음을 생각할 수 있다. [math(\displaystyle (A^* w_j^*)(v_r) = \sum_{i = 1}^n b_{ij} v_i^*(v_r) = \sum_{i = 1}^n b_{ij} \delta_{ir} = b_{rj} )] [math(\displaystyle \phantom{(A^* w_j^*)(v_r)} = w_j^*(Av_r) = w_j^* \left( \sum_{i = 1}^m a_{ir} w_i \right) = \sum_{i = 1}^m a_{ir} w_j^*(w_i) = \sum_{i = 1}^m a_{ir} \delta_{ji} = a_{jr}.)] 따라서 [math(b_{ij} = a_{ji})]를 얻게 된다. 즉, 해당 [math(A^*)]의 행렬 꼴은 사실 대응하는 [math(A)]의 행렬 꼴의 전치행렬과 같다. 이로부터 '''전치행렬은 본질적으로 쌍대 사상과 같은 것'''임을 알 수 있다. === 이중 쌍대 공간(double dual space) === [math(V^{*})]도 벡터 공간이므로 이것의 쌍대 공간인 [math(V^{**})]을 생각할 수 있다. 이를 [math(V)]의 __'''이중 쌍대 공간(double dual space)'''__이라 한다. 이 역시 차원이 유한할 때, [math(V\cong V^{*}\cong V^{**})]에서, [math(V\cong V^{**})]이다. 이 동형은 [math(V\cong V^{*})]의 경우와 달리, natural isomorphism이다.[* 이 때 natural의 의미는 벡터 공간과 그 쌍대의 대상(벡터 및 선형범함수) 및 사상(선형 변환)으로만 구성된 (따라서 기저의 선택에 의존하지 않는) 동형사상이 존재한다는 것이다. 일반적으로 차원이 같은 두 벡터 공간 사이의 동형사상은 기저를 먼저 잡은 후에 기저 사이에 일대일 대응을 만들지만, 이 경우에는 기저를 잡을 필요가 없다.] [math(\phi:V\rightarrow V^{**})]를 [math(\phi\left(v\right)\left(f\right)=f\left(v\right))]라 정의하면, [math(\phi)]가 동형이기 때문이다.[* 설명을 덧붙이자면, 기저와 쌍대기저 사이의 1:1대응을 선형확장하는 방법으로, 벡터공간과 쌍대공간 사이에 동형사상을 줄 수 있는데, 똑같은 방법으로 쌍대공간과 이중쌍대공간 사이의 동형사상을 구성한 후, 벡터공간과 쌍대공간 사이의 동형사상과 합성하면 처음에 기저를 어떻게 잡았는지와 관계없이 위의 \phi와 동일한 선형변환이 나온다. ] 이러한 자연스러운 동형사상 등의 여러 이유로 인해 이중 쌍대 공간은 흔히 '''원래 벡터 공간과 똑같다'''고 본다. 즉 [math(V \cong V^{**})]도 아니고 아예 [math(V = V^{**})]라고 둔다는 것이다. 무한차원의 경우 [math(V = V^{**})]는 일반적으로 참이 아니다. 일반적으로 [math(V \subseteq V^{**})]이며, [math(V = V^{**})]인 경우 [math(V)]를 반사적(reflexible)이라 한다. === 텐서(Tensor) === 쌍대 공간의 개념을 다중 선형 사상 공간의 개념으로 확장한 것. [[텐서]] 문서 참조. == 관련 항목 == * [[델(연산자)|델]][* 벡터의 미분 연산이다.] [[분류:선형대수학]]캡챠되돌리기