문서 보기문서 편집수정 내역 벡터 미적분학 (덤프버전으로 되돌리기) [[분류:물리학]][[분류:미분 기하학]] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == 벡터 미적분학(Vector Calculus)은 [[벡터 함수]]와 [[다변수 함수]]의 [[모델링]]을 다루는 학문이다.[* \[한화토탈에너지스\] 벡터, 너 참 신기하다! [[https://www.chemi-in.com/675]]][* \[칸아카데미\] 벡터 함수란?[[https://ko.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-adv-funcs/dc-vector-valued-func/v/position-vector-valued-functions]]] 과학 특히 물리학이나[*나 한국수학사학회지 제20권 제2호(2007년 5월), 59-72, 벡터 개념의 강의적 체계순서에 관하여 ,박홍경,김태완,남영만 [[https://koreascience.kr/article/JAKO200721138196900.pdf]]] 공학적으로는 다변수 함수와 관련해서 주요한 미분 개념인 편미분을 사용해 편미분방정식을 고안함으로서 [[접선]](tangent line)과 [[접평면]](tangent plane)의 식을 계산하고 벡터장(vector Field) 모델을 구현 및 해석할 수 있다.[* Vector Calculus, Michael Corral (Schoolcraft College) PDF LastEedition 2022(original 2008) GNU GFDL [[https://www.mecmath.net/]]][*가 Basics of Fluid Mechanics ,Genick Bar-Meir 2014 GFDL[[https://open.umn.edu/opentextbooks/textbooks/85]]][* 구텐베르크 프로젝트 - Calculus Made Easy , Silvanus P. Thompson 1914 ,THE MACMILLAN CO. [[https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf ]]][* 구텐베르크 프로젝트 - Elementary Illustrations of the Differential and Integral Calculus by De Morgan 1899 Kegan Paul, Trench, Tr ̈ubner & Co., Ltd., London [[https://www.gutenberg.org/files/39041/39041-pdf.pdf ]]] 수학적으로는 [[그린 정리]]와 [[발산 정리]](divergence theorem)에 접근하고 이이서 [[스토크스 정리]]를 이해할 수 있다. 또한 [[유체역학]], [[기계공학]], [[열역학]] 등에서 [[열 방정식]], [[방정식#s-2.6|적분방정식]], [[슈뢰딩거 방정식]], [[나비에-스토크스 방정식]], [[수치해석학]](numerical analysis) 등 과학, 공학, 수학 전문분야를 보다 깊이있게 이해하고 응용해 볼 수 있다. 또한 벡터미적분학은 [[전자장]]을 해석하는 데 근간이 된다고 할 수 있다. 벡터 미적분학의 연장선상에서 스칼라(0차텐서)와 벡터(1차텐서) 미적분의 응용은 행렬(2차텐서,Rank2)과 관련해서 텐서 미적분학으로 현대 [[중력]](gravitation)이론을 이해할수있게 해준다.[* \[직역:매트릭스 그리고 텐서 미적분학 \] Matrix And Tensor Calculus:WITH APPLICATIONS TO MECHANICS, ELASTICITY, and AERONAUTICS , ARISTOTLE D. MICHAL(애리스토틀 D. 미할) 1947,New York: J. Wiley, (P99)17.RlEMANN-CHRISTOFFEL TENSOR §The Riemann-Christoffel Curvature Tensor. [[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212664/page/n21/mode/2up]]][* Tensor Calculus , J. L. Synge, A. Schild 1949 [[https://archive.org/details/TensorCalculusByJLSYNGEANDA.SCHILD/page/n7/mode/2up]]][*가 ] 수학과는 물론이고 물리학과, 공과대학에 진학했다면 필수로 배워야 하는 학문이다. == 내용 == || 단원 || 주제 || ||1. 벡터 || 차원과 공간 그리고 변환(transformation), [[좌표계]], [[레벨 커브]](Level Curves) || ||2. 다변수함수와 편미분 || [[다변수함수]], [[편미분]], [[gnuplot]] || ||3. 최대값최소값 문제 || [[최대최소정리]], [[임계점]](critical point), [[최소제곱법]](OLS), [[접평면]](Tangent plane), [[다변수함수#s-6.7|2차 편도함수 판정법]](2nd Partial Derivative Test), [[연쇄법칙]] || ||4. 구배와 벡터장 그리고 방향미분 || [[기울기]], [[델 연산자]](the Del Operator), [[벡터장]], [[방향편미분]](방향편도함수), [[라그랑주 승수법]] || ||5. 편미분방정식(PDE)의 확장 || [[이중적분]], [[변수 변환]](Change of Variables), [[자코비 행렬]], [[그린 정리]], [[뇌터 정리]] || === 벡터해석의 응용 === || 단원 || 주제 || ||6. 유체역학(FM)과 물(water) || [[베르누이 정리]], [[레이놀즈 수송 정리]](RTT), [[켈빈-스토크스 정리]], [[스트레스 텐서]]([[응력/응용]]), [[나비에-스토크스 방정식]](NSE), [[전산유체역학]](CFD) || ||7. 행렬과 텐서 그리고 중력(Gravity) || [[자코비 공식]], [[힐베르트 액션]], [[크리스토펠 기호]], [[리만 곡률 텐서]], [[공변미분]], [[비앙키 항등식]] || ||8. RANK2 (지구와 우주) || [[스트레스-에너지 텐서]], [[TOV 방정식]],[[아인슈타인 방정식]] || 물리학에서 많이 쓰이는 벡터를 직접 다루는 만큼 그 응용의 범위가 넓으며, 고전역학에서부터 상대성 이론까지 쓰이지 않는 곳이 없다. == 역사 == 역사적으로 17세기 [[아이작 뉴턴]](Newton,I)으로부터 19세기에 걸처 [[윌리엄 로원 해밀턴]](Hamilton,W.R.)에 이르기까지 벡터의 주요 개념들(기울기, 발산, 회전 등)이 물리학 특히 유체역학과 관련된 개념의 수학적 기술에서 주요하게 등장하고 다루어져 왔다는 것은 벡터의 정보처리 능력면에서 물리적 현상과 수학적 기술의 연결성을 잘 시사한다고 할수 있다. 이러한 벡터의 성질은 텐서 개념으로 발전하였다.[*나 ][* The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines (직역)유동의 방법와 무한 급수: 곡선의 기하학에 적용 1736 [[https://books.google.co.kr/books?id=WyQOAAAAQAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false]]] 아래에 벡터 개념의 구현 시대순서와 상관없이 연대순으로 기록물을 나열해보면 1827년 [[오귀스탱루이 코시]]의 스트레스 텐서 표현식 [math( \begin{Bmatrix} p cos \lambda = A cos \alpha + F cos \beta + E cos \gamma \\ p cos \mu = F cos \alpha + B cos \beta + D cos \gamma \\ p cos \nu = E cos \alpha + D cos \beta + C cos \gamma \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} A & F & E \\ F& B & D \\ E & D & C \end{Bmatrix} )] 나비에-스토크스 방정식은 코시 스트레스 텐서의 [[라플라시안]] 연산자를 잘 보여줄뿐만 아니라 벡터(rank1)가 텐서(rank2)로 다루어지는 물리적 현상을 기하학적으로도 행렬로 표현되는 과정을 이해할수 있게 해준다. 1861년 헤르만 한켈(Hermann Hankel)이 그린 정리를 사용해 켈빈-스토크스 정리를 증명하였다. [math(\displaystyle \int ( \xi \,{\rm d}x +\eta \,{\rm d}y +\zeta \,{\rm d}z) \quad )] [math( \displaystyle \int_{\partial S} S \cdot dC = \iint_{S} \left( \nabla \times S \right) \cdot dA )] 켈빈-스토크스 정리는 그린정리와 발산정리로부터 벡터의 컬(curl,회전) 성질을 잘 보여준다. 1903년 오스본 레이놀즈의 레이놀즈 수송 정리(RTT) 표현식 [math( \dfrac{d}{dt}\left[\Sigma (QdS)\right] = \Sigma \left( dS\dfrac{dQ}{dt} \right) + \iiint \begin{Bmatrix} \dfrac{d}{dx}\left(\overline{u}Q \right) + \dfrac{d}{dy}\left(\overline{v}Q \right) +\dfrac{d}{dz}\left(\overline{w}Q \right) \end{Bmatrix}dxdydz \quad)] 발산(divergence)과 물질 시간 도함수의 주요한 물리적 수학적 벡터 표현을 담고 있다. == 관련 문서 == * [[델(연산자)]] * [[미분 기하학]] * [[행렬 미적분학]] * [[톰슨 미적분학]]캡챠되돌리기