문서 보기문서 편집수정 내역 부분적분/예제 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:상위 문서, top1=부분적분)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 예제 1 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(\ln{x})]의 역도함수를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 주어진 피적분함수를 [math(f(x))]로 놓고, 다음과 같이 설정하자.[* 이 방법은 [[역삼각함수]], [[특수함수]]에도 똑같이 써먹을 수 있다.] ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f(x)=\ln{x} ,\; g'(x)=1 \, \rightarrow \, \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x},\;g(x)=x )] || 부분적분 공식에 대입하면 다음과 같다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,\mathrm{d}x &= x\ln{x}-\int \frac{1}{x} \cdot x\,\mathrm{d}x \\ &=x\ln{x}-x+\mathsf{const.} \end{aligned} )] ||}}} == 예제 2 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(e^{x}\cos{x})]의 역도함수를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 위에서 다뤘던 LIATE 법칙 때문에, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 나으므로 다음과 같이 설정하자. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f(x)=e^{x} ,\;g'(x)=\cos{x} \, \rightarrow \,\displaystyle f'(x)=e^{x},\; g(x)=\sin{x} )] || 부분적분 공식에 대입하면, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}-\int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} )] || 우변의 제2항에 대해 다시 부분적분해야 한다. 함수의 꼴은 같으므로 위와 같은 방법으로 부분적분하면 된다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\begin{aligned}\displaystyle \int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x&=-e^{x}\cos{x}+\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x\\\displaystyle \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x &= e^{x}\sin{x}+e^{x}\cos{x}-\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x\\\therefore\displaystyle\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x&=\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+ \mathsf{const.} \end{aligned} )] || '''[별해]''' [[도표적분법]]을 사용한다. ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff> ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})] ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(\displaystyle \int \,\mathrm{d}x)] || || ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(+)] || [math(\cos{x})] || [math(e^{x})] || [math(\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=)] || ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(-)] || [math(-\sin{x})] || [math(e^{x})] || [math(\displaystyle +e^{x}\cos{x})] || ||<bgcolor=#f2f2f2> [math(+)] || [math(-\cos{x})] || [math(e^{x})] || [math(\displaystyle +e^{x}\sin{x})] || ||<-3> [math(\rightarrow)] || [math(\displaystyle -\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x)] || ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\begin{aligned}\therefore\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x &=e^{x}(\sin{x}+\cos{x})-\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+\mathsf{const.} \end{aligned} )] || }}} == 예제 3 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(\ln x \sin{x})]의 역도함수를 구하시오.[* '''특수함수가 등장하는 적분'''이다.] || {{{#!folding [풀이 보기] ----- [[LIATE 법칙]]에 따라, 미분된 함수를 [[삼각함수]]로 놓는 것이 나으므로 다음과 같이 설정하자. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle f(x)=\ln x,\;g'(x)=\sin{x} \, \to \, \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x},\;g(x)=-\cos{x} )] || 부분적분 공식에 대입하면 다음과 같다. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = -\ln{x}\cos{x} + \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned} )] || 그런데 [math(\int ({\cos{x}}/{x}) \,\mathrm{d}x)]는 다음과 같이 [[삼각 적분 함수|[math(\mathrm{Ci}(x))]]]로 쓸 수도 있다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이다. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) -\ln{x}\cos{x} + \mathsf{const.} \end{aligned} )] ||}}} == 예제 4 == ||<table width=100%>'''[문제]''' ----- [math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2})]을 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- [[최대 정수 함수|[math(\lfloor x\rfloor)]]]는 불연속이므로 미분계수 쪽으로 옮기는 것이 좋으므로, [[스틸체스 적분]]의 부분적분식에 대입하여 ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2} = \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor)] || 의 꼴로 만들자. 이때, ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [[바젤 문제|[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor &= \sum \frac{1}{x^2} \\&= \zeta(2) \\&= \frac{\pi^2}{6} \end{aligned})]]] || 이 성립하므로 역도함수는 다음과 같다. [math(\mathsf{const.})]는 적분 상수이고, [math(\zeta)]는 [[제타 함수]]이다. ||<bgcolor=#ffffff,#000000><tablebordercolor=#ffffff,#000000><tablealign=center> [math(\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2}= \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \frac{\pi^2}{6}+ \mathsf{const.})] ||}}} [include(틀:문서 가져옴, title=부분적분, version=197)] [[분류:미적분]]캡챠되돌리기