③ 이제 [math(\hat{\sigma})]가 환준동형사상임을 보이자.
[math((\because) f(x)+, g(x)+
)]에 대하여
[math(\hat{\sigma}(f(x)+
+g(x)+
))]
[math(=\hat{\sigma}(f(x)+g(x)+
))]
[math(=\overline{f}(x)+\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)]
[math(=\overline{f}(x)+<\overline{p}(x)>+\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)]
[math(=\hat{\sigma}(f(x)+
)+\hat{\sigma}(g(x)+
))]
----
[math(\hat{\sigma}(\left[f(x)+
\right]\left[g(x)+
\right]))]
[math(=\hat{\sigma}(f(x)g(x)+
))]
[math(=\overline{f}(x)\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>)]
[math(=(\overline{f}(x)+<\overline{p}(x)>)(\overline{g}(x)+<\overline{p}(x)>))]
[math(=\hat{\sigma}(f(x)+
)\hat{\sigma}(g(x)+
))]
따라서 위의 결과로 전단사함수 [math(\hat{\sigma})]가 환준동형사상이므로 환동형사상이라는 것을 알 수 있다.
이제 함수 [math(\theta)]를 다음과 같이 정의하자. 단, 아래의 [math(\psi)]는 대입 준동형사상[* 흔히 미지수로 오해되기 쉬운 다항식의 부정원 [math(x)]를 실제 미지수인 아래첨자(아래의 경우 [math(\psi_{\alpha})]는 [math(\alpha)], [math(\psi_{\beta})]는 [math(\beta)])로 대응시키는 준동형사상. 전단사함수 한정으로 환동형사상이기도 하다.]으로, 다음과 같이 정의된다.
>[math(\psi_{\alpha}:F\left[x\right]/
\to F\left[\alpha\right])]
>----
>[math(\psi_{\alpha}(g(x)+
)=g(\alpha))]
[math(\theta=\psi_{\beta}\circ\hat{\sigma}\circ\psi_{\alpha}^{-1}:F(\alpha)\to F(\beta))]
그러면 [math(\theta)]는 환동형사상들의 합성이므로 당연히 환동형사상이며, 따라서 [math(\theta(\alpha)=\beta)]가 된다. ||