문서 보기문서 편집수정 내역 사교수 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:정수론)] [include(틀:약수의 합에 따른 자연수의 분류)] [목차] == 개요 == {{{+1 [[社]][[交]][[数]], [[群]][[居]][[性]][[數]] / sociable numbers, aliquot cycle}}} [[친화수]]를 일반화한 개념이다. 군거성수([[群]][[居]][[性]][[數]])라고도 한다. 서로 다른 여러 [[자연수]] [math(n_1, n_2, n_3, ... , n_k )]가 있을 때, [math(n_1)]의 [[약수(수학)|진약수]]들의 합이 [math(n_2)]이 되고, [math(n_2)]의 진약수들의 합이 [math(n_3)]이 되고, 이것이 계속되다가 [math(n_k)]의 진약수들의 합이 다시 [math(n_1)]이 되면, 이 수들을 사교수라고 한다. 일반적으로 [[주기]]([math(k)])가 3 이상인 경우에 사교수라고 부르며, [math(k=1)]인 경우는 [[완전수]]라고 하고, [math(k=2)]인 경우는 [[친화수]]라고 한다. 다만, 경우에 따라서는 [math(k)]가 1 이상인 모든 경우(즉, [[완전수]], [[친화수]] 포함)를 다 묶어서 사교수라고 부르기도 한다. == 성질 == 어떤 수 n의 약수 함수(divisor function) [math(\sigma\left(n\right))]는 n의 모든 [[약수(수학)|약수]]의 합을 나타낸다. aliquot sum이라고 부르는 함수 s(n)은 'n의 모든 진약수의 합'을 의미한다. 이를 약수 함수로 쓰면 [math(s\left(n\right) = \sigma\left(n\right) - n)]이 된다. Aliquot sequence는 이 aliquot sum을 반복 계산해서 나오는 수열이다. 그런데, 이 수열이 어떤 주기로 반복될 경우 aliquot cycle이라고 부른다. 그리고, 이 aliquot cycle은 정의상 '사교수'와 동일하다. 엄밀하게 따지면 '''aliquot cycle = { 완전수 } ∪ { 친화수 } ∪ { 사교수 }'''이다. 2017년 기준으로 주기가 3이상 사교수는 총 5410개가 발견되었다. [[http://djm.cc/sociable.txt|보러가기]] * 4, 5, 6, 8, 9, 28의 주기를 가지는 사교수가 확인되었다. 다른 주기가 있는지 여부는 알려지지 않았다. * 4의 주기를 갖는 사교수는 5398개로 발견된 사교수의 '''99%'''를 차지한다. 이 중 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {1264460,1547860,1727636,1305184}이며, 이는 발견된 사교수 중 3번째로 작은 수로 시작한다. * 5의 주기를 갖는 사교수는 {12496, 14288, 15472, 14536, 14264}가 '''유일'''하며, 이는 '''가장 작은''' 수로 시작하는 사교수이다. * 6의 주기를 가지는 사교수는 5가지가 발견되었다. 이 중 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {21548919483, ...}이며, 이는 발견된 사교수 중 32번째로 작은 수로 시작한다. * 8의 주기를 가지는 사교수는 4가지가 발견되었다. 이 중 가장 작은 수로 시작하는 사교수는 {1095447416, ...}이며, 이는 발견된 사교수 중 18번째로 작은 수로 시작한다. * 9의 주기를 가지는 사교수는 {805984760, ...}가 '''유일'''하다. * 28의 주기를 가지는 사교수는 {14316, ...}가 '''유일'''하며, 이는 '''두번째로 작은''' 수로 시작하는 사교수이다. * 3의 주기를 가지는 사교수는 아직 발견된 적이 없으며, 홀수인 완전수 문제와 마찬가지로 정말로 존재하지 않는지 아닌지도 알려지지 않았다. 또한 3개의 자연수로 이루어진 사교수가 존재하지 않는다는 명제도 증명되거나 반증되지는 않았다. 그 외에도 [[완전수|홀수 완전수]]의 [[반완전수|존재성]]의 문제와 비슷하게, 사교수는 무한히 많은지, n개의 자연수로 이루어진 사교수가 몇개까지 존재할 수 있는지, 아직 발견되지 않은 다른 주기의 사교수가 존재할 수 있는지와 같은 문제는 아직까지 미해결 상태로 남아 있다. == 준사교수[anchor(준사교수)] == 1을 제외한 [[약수(수학)|진약수]]들의 합(1과 자기 자신을 제외한 약수의 합, 즉 자명하지 않은 약수들의 합)을 계속 취하면 주기가 3이상인 수이다. [[혼약수]]는 주기가 2인 경우이며 주기가 1인 경우는 [[준완전수]]이다. 준완전수는 존재하지 않는 것으로 추측된다. * 1215571544 = 2³×11×13813313 * 1270824975 = 3²×5²×7×19×42467 * 1467511664 = 2⁴×19×599×8059 * 1530808335 = 3³×5×7×1619903 * 1579407344 = 2⁴×31²×59×1741 * 1638031815 = 3⁴×5×7×521×1109 * 1727239544 = 2³×2671×80833 * 1512587175 = 3×5²×11×1833439 주기가 8인 현재까지 유일한 준사교수 사이클은 1997년에 Mitchell Dickerman이 발견하였다. [[분류:정수론]][[분류:수]][[분류:수학 용어]][[분류:한자어]]캡챠되돌리기