문서 보기문서 편집수정 내역 사인 법칙 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:평면기하학)] [목차] == 개요 == {{{+1 正弦法則 / sine law}}} [[2009 개정 교육과정]]에서 빠졌다가[* 참고로, 이 교육과정 당시 대부분의 문과는 아예 삼각함수를 배우지 않았다.], [[2015 개정 교육과정]]에 따라 고등학교 2학년 때 배우게 되는, 평면기하학의 공식 중 하나. [[삼각형]]에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 [[삼각함수]]를 이용해서, 그 중에서도 이 정리는 [math(\sin)]을 이용하여 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다. ||[math(\triangle{\mathrm{ABC}})]의 세 각의 크기 [math(A)], [math(B)], [math(C)], 대변의 길이 [math(a)], [math(b)], [math(c)], 그리고, 그 삼각형에 외접하는 외접원의 반지름 길이 [math(R)]에 대해 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R )]}}} || 한편, [math((\sin x)^{-1} = \csc x)]가 성립하므로 다음과 같이 쓸 수도 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle a \csc A = b \csc B = c \csc C =2R )]}}} == 증명 == === [[원주각]]을 이용한 증명 === [math(\triangle \mathrm{ABC})]의 외접원의 중심을 [math(\mathrm{O})]라 하고, [math(\overline{\mathrm{BO}})]의 연장선이 원과 만나는 점을 [math(\mathrm{A'})]라 하자. 그렇게 하면, [math(\overline{\mathrm{BA'}})]은 외접원의 지름이므로, [math(\overline{\mathrm{BA'}}=2R)]가 된다. 또한, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a\qquad \qquad \overline{\mathrm{AC}}=b \qquad \qquad \overline{\mathrm{AB}}=c)] }}} 임을 참고하라. '''(ⅰ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때''' [[파일:사인법칙_증명_예각.png|width=140&align=center]] 위 그림에서 원주각의 성질에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \angle{A}=\angle{A'} )] }}} 이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \angle{\mathrm{BCA'}}=90\degree )] }}} 이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sin{A}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} )] }}} 이고 이것을 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )] }}} 가 얻어진다. '''(ⅱ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때''' [[파일:사인법칙_증명_둔각.png|width=145&align=center]] 위 그림에서 원주각의 성질에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \angle{A}=180\degree-\angle{A'} )] }}} 이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \angle{\mathrm{A'BC}}=90\degree )] }}} 이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sin{A}=\sin{(180\degree-A')}=\sin{A'}=\frac{a}{2R} )] }}} 이고[* 내접 사각형의 대각의 합이 [math(180\degree)]인 것을 이용했다.] 이것을 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )] }}} 가 얻어진다. '''(ⅲ) [math(\triangle \mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때''' [[파일:사인법칙_증명_직각.png|width=140&align=center]] 위 그림에서 [math(\angle{A}=90\degree)]이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sin{A}=1 \qquad \qquad a=2R )] }}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R )] }}} 가 성립한다. === [[외적|벡터곱]]을 이용한 증명 === [[파일:사인법칙_증명_벡터외적.png|width=100&align=center]] 임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 영벡터다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{B} \times \mathbf{B}=\mathbf{0} )] }}} 따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B}=\mathbf{A \times B} )] }}} 이때, 새로운 벡터 [math(\mathbf{C})]를 아래와 같이 정의해보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{C} \equiv \mathbf{A-B} )] }}} 이제 벡터 [math(\mathbf{A})], [math(\mathbf{B})], [math(\mathbf{C})]는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상 [math(A)], [math(B)], [math(C)]라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| \equiv a \qquad \qquad \left| \mathbf{B} \right| \equiv b\qquad \qquad \left| \mathbf{C} \right| \equiv c )] }}} 이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left| (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B} \right|=bc\sin{A} )] }}} 우변은, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|=ab\sin{C} )] }}} 위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c} )] }}} 이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[* 다만, 위의 식에서 [math( \dfrac{\sin{C}}{c} = \dfrac{1}{2R})]로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.] == 활용 == * '''각을 변으로 바꾸기''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{A} &=\frac{a}{2R} \\ \sin{B}&=\frac{b}{2R} \\ \sin{C}&=\frac{c}{2R} \end{aligned} )] }}} * '''변을 각으로 바꾸기''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} a&=2R\sin{A} \\ b&=2R\sin{B} \\ c&=2R\sin{C} \end{aligned} )] }}} * '''변의 비와 각에 따른 사인값의 비''' {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle a:b:c=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C} )] }}} 그 외에도 삼각형에서 [[삼각함수]]의 등식을 증명하거나, 넓이를 찾을 때에는 위 세 가지 변형과 [[코사인 법칙]]을 잘 활용하면 쉽게 해결할 수 있다. ===# 예제 #=== 사인법칙과 제2코사인법칙을 이용하여 아래 문제를 풀 수 있다. || [[파일:20190910(고2).png|width=400]] || || '''2019년 9월 고2 10번''' || {{{#!folding [풀이] ------ 세 변의 길이 비가 [math(2k:3k:4k)]임을 알 수 있으므로, 제2코사인 법칙에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \cos{C}= \dfrac{(2k)^2+(3k)^2-(4k)^2}{2\cdot 2k\cdot 3k}=-\dfrac{1}{4})] }}} 이다. 정답은 ②번. }}} == [[비유클리드 기하학]]에서 == 유클리드 평면 위의 삼각형이 아니라 비유클리드 기하학의 삼각형에서는, 다음과 같은 공식이 성립한다. === [[비유클리드 기하학#s-3.1|구면기하학]]에서 === 삼각형이 [[구(도형)|구]] 위에 있으면 이 식의 형태가 바뀌게 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \frac{\sin a}{\sin{A}}=\frac{\sin b}{\sin{B}}=\frac{\sin c}{\sin{C}}=2R )]}}} 즉 사인이 분자에까지 적용된다는 이야기이다. ==== [[비유클리드 기하학#s-3|타원기하학]]으로의 일반화 ==== 구면뿐만 아니라 모든 [[타원면]]으로 일반화할 수 있으며, 이 경우 [[야코비 타원 함수]]를 이용해 아래의 식으로 표현할 수 있다. [math(\rm sn)] 함수에서 이심률에 해당하는 두번째 변수가 0일 경우 [math(\sin)]과 동치가 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \frac{{\rm sn}(a;\,k_1)}{{\rm sn}(A;\,k_2)}=\frac{{\rm sn}(b;\,k_1)}{{\rm sn}(B;\,k_2)}=\frac{{\rm sn}(c;\,k_1)}{{\rm sn}(C;\,k_2)}=2R \quad )](단, [math(k_1,\,k_2 \in [0,\, 1))])}}} === [[비유클리드 기하학#s-2|쌍곡기하학]]에서 === 쌍곡기하학에서는 더해서 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \frac{\sinh a}{\sin{A}}=\frac{\sinh b}{\sin{B}}=\frac{\sinh c}{\sin{C}}=2R )]}}} 분자가 [[쌍곡선 함수]]로 바뀐다. == 관련 항목 == * [[수학 관련 정보]] * [[삼각함수]] * [[코사인 법칙]] * [[삼각형]] * [[구면삼각형]], [[쌍곡삼각형]] [[분류:삼각형]]캡챠되돌리기