문서 보기문서 편집수정 내역 상대론적 역학 (r0 버전으로 되돌리기) [include(틀:상대성 이론)] [목차] == 개요 == {{{+1 relativistic mechanics · [[相]][[對]][[論]][[的]] [[力]][[學]]}}} [[맥스웰 방정식]]은 그 자체로 상대론적이나, 반대로 [[고전역학]]은 [[상대성 이론]]에 맞지 않는다. 즉, [[로런츠 변환]]에 대한 상대성 원리(로런츠 공변성; Lorentz Covariance)를 만족시키지 못한다. 상대론적 역학은 고전 역학을 상대성 이론에 맞도록 재구성한 것이다. 이 문서는 상대론적 역학을 초등적으로 요약한 것이다. == [[로런츠 변환]] == [include(틀:상세 내용, 문서명=로런츠 변환)] ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff,#000000><rowbgcolor=#efefef,#555555> '''로런츠 변환''' || '''로런츠 역변환''' || || [math(\begin{aligned} x'&=\gamma_{v}(x-vt) \\ y'&=y \\ z'&=z \\ t'&=\gamma_{v}\biggl(t-\frac{v}{c^2}x\biggr) \end{aligned})] || [math(\begin{aligned}x&=\gamma_{v}(x'+vt) \\ y&=y' \\ z&=z' \\ t&=\gamma_{v}\biggl(t'+\frac{v}{c^2}x'\biggr) \end{aligned})] || 여기서 [[로런츠 인자]] ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle \begin{aligned} \gamma_{v}=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2} }}\end{aligned} )] || 이다. == 속도 덧셈 규칙 == 세 관성계 [math(\mathcal{O})], [math(\mathcal{O}')], [math(\bar{\mathcal{O}})]을 고려한다. [math(\mathcal{O}')]는 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(+x)]방향으로 [math(v)]의 속력으로, [math(\bar{\mathcal{O}})]는 [math(\mathcal{O}')]에 대하여 [math(\mathbf{u'})]로 움직이고 있고, [math(\bar{\mathcal{O}})]에 대하여 정지한 질량 [math(m)]의 물체가 해당 계의 원점에있다. [math(\mathcal{O}')]에 있는 관측자 [math(\rm B)]가 측정한 [math(m)]의 속도는 [math(\mathbf{u'})]가 될 것이다. 고전적으로는 [math(\mathcal{O})]에 있는 관측자 [math(\rm A)]는 [math(\mathbf{u'}+\mathbf{v})]로 관측하게 될 것이다. 그러나 이 식의 문제는 [math(v \to c)] 혹은 [math(u' \to c)]가 되면, [math(\rm A)]가 관측하게 되는 [math(m)]의 속력은 광속을 넘게된다는 것이다. 따라서 새로운 속도의 덧셈 규칙을 만드는 것이 필요한 상황이다. [math(\rm A)]가 관측하게 되는 속도를 [math(\mathbf{u})]라 할 때, 다음을 고려하자. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \\ u_{y}&=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \\ u_{z}&=\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} \end{aligned})] || 여기서 로런츠 역변환을 사용하면 ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{\gamma_{v}({\rm d}x'+v\,{\rm d}t')}{\gamma_{v}\biggl( {\rm d}t'+\dfrac{v}{c^2}\,{\rm d}x' \biggr)} \\ u_{y}&=\frac{{\rm d}y'}{\gamma_{v}\biggl( {\rm d}t'+\dfrac{v}{c^2}\,{\rm d}x' \biggr)} \\ u_{z}&=\frac{{\rm d}z'}{\gamma_{v}\biggl( {\rm d}t'+\dfrac{v}{c^2}\,{\rm d}x' \biggr)} \\ \gamma_{v}& \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^{2}}}} \end{aligned})] || 여기서 '''로런츠 인자에 관계되는 속력이 [math(\boldsymbol{v})]임에 주의하여야 한다.''' 분모, 분자를 [math({\rm d}t')]로 나눈다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'}+v}{ 1+\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} } \\ u_{y}&=\frac{\dfrac{{\rm d}y'}{{\rm d}t'}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} \biggr)} \\ u_{z}&=\frac{\dfrac{{\rm d}z'}{{\rm d}t'}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} \biggr)} \end{aligned})] || 이상에서 다음을 얻는다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table align=center><:> [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{u'_{x}+v}{ 1+\dfrac{u'_{x}v}{c^2} } \\ u_{y}&=\frac{u'_{y}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{u'_{x}v}{c^2} \biggr)} \\ u_{z}&=\frac{u'_{z}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{u'_{x}v}{c^2} \biggr)} \end{aligned})] || 이것의 역변환은 [math(v \to -v)]로 대치하고, 프라임 붙은 변수와 그냥 변수를 교환하며, 부호를 다음과 같이 바꾼다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\begin{aligned}\displaystyle u'_{x}&=\frac{u_{x}-v}{ 1-\dfrac{u_{x}v}{c^2} } \\ u'_{y}&=\frac{u_{y}}{\gamma_{v}\biggl( 1-\dfrac{u_{x}v}{c^2} \biggr)} \\ u'_{z}&=\frac{u_{z}}{\gamma_{v}\biggl( 1-\dfrac{u_{x}v}{c^2} \biggr)} \end{aligned})] || == 상대론적 운동량 == 기존의 운동량을 사용하면, 운동량 보존이 되지 않는 문제가 발생하게 된다. 이때, 3차원 속도 [math(\bf u)]에 대하여 다음 식을 운동량으로 정의한다면 상대론적으로도 운동량이 보존됨을 알 수 있고, 더욱이 고전적 극한([math(\gamma \to 1)])에서 기존의 운동량 식으로 환원되는 것을 알 수 있다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math({\bf p}=\gamma m {\bf u})] || 여기서 [[로런츠 인자]] [math(\gamma)]는 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math( \gamma=\dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}})] || 이다. 위의 운동량을 '''상대론적 운동량(relativistic momentum)'''이라 한다. == 에너지 == 고전역학에서 사용했던 논리 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\bf F}\boldsymbol{\cdot}{\rm d}{\bf r} = {\rm d}T \end{aligned})] || 를 사용해서 상대론적 운동 에너지를 유도해보자. [math(T)]는 [[운동 에너지]]다. 이때, [math({\bf F} = \mathbf{\dot{ p}})]임을 사용하면 물체가 [math(\bf u)]의 방향으로 움직였을 때, 받은 일은 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\rm d}W &= \frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t}\boldsymbol{\cdot}{\bf u}\,{\rm d}t \\ &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}(m\gamma{\bf u})\boldsymbol{\cdot}{\bf u}\,{\rm d}t \end{aligned})] || 한편, ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t }(m\gamma{\bf u})\boldsymbol{\cdot}{\bf u} &= mu^2\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}+ \gamma m\frac{{\rm d}{\bf u}}{{\rm d}t}\boldsymbol{\cdot}{\bf u} \\ &= mu^2\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}+\frac12\gamma m\frac{{\rm d}(u^2)}{{\rm d}t} \\ &= mc^2{\left(1-\dfrac1{\gamma^2}\right)}\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t} + \frac12\gamma m{\left(\frac{2c^2}{\gamma^3}\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}\right)} \\ &= mc^2\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}\end{aligned})] || 이상에서 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math({\rm d}W = mc^2\,{\rm d}\gamma)] || [math(u(0) = 0)]라고 하면 [math(u)]의 적분 범위는 [math([0,\,u])], 따라서 [math(\gamma)]의 적분 범위는 [math([1,\,\gamma])]이므로 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} T &= mc^2\int_1^{\gamma}\,{\rm d}\gamma' \\ &= \gamma mc^2 - mc^2\end{aligned})] || 여기서 나온 속도와 관련 없는 항 [math(E_0\equiv mc^2)]을 '''정지 에너지(rest energy)'''로 정의한다. 이 정지 에너지항은 [math(u = 0)], 즉 [math(\gamma = 1)]일 때의 에너지로 물체가 정지하고 있을 때 고유의 에너지를 나타낸다. 위의 운동 에너지가 고전적 극한([math(\gamma \to 1)])일 때, 고전적 운동 에너지 [math(mu^2/2)]로 간다는 것은 테일러 전개를 함으로써 쉽게 보일 수 있다. 따라서 상대론적 운동 에너지를 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(T \equiv (\gamma-1)mc^2)] || 으로 정의하고, 입자의 에너지를 자유 상태일 때 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(E=T+E_0 = \gamma mc^2)] || 으로 한다. 한편, ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\gamma = \dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}} \quad \to \quad u^2 = c^2{\left(1-\dfrac1{\gamma^2}\right)})] || 이므로 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} p^2 &= \gamma^2 m^2 u^2 \\ &= \gamma^2 m^2 c^2 \biggl(1-\frac1{\gamma^2} \biggr) \\ &= \frac1{c^2}(\gamma mc^2)^2-m^2c^2 \\ &= \frac{E^2}{c^2}-m^2c^2 \end{aligned})] || 이상에서 다음을 얻는다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(E^2 = p^2 c^2 +m^2 c^4)] || == 상대론적 힘 == 상대론적 힘, 민코프스키 힘의 공간 성분은 다음과 같이 정의된다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} {\bf K} &= \frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}\tau} \\ &= \frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}\frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t} \\ &= \gamma {\bf F} \end{aligned})] || == 4-벡터 물리량 == 특수 상대성 이론은 민코프스키 공간에서 전개된다. 이때, 각 물리량들은 4-벡터의 형태로 나타낼 수 있으며, 해당 벡터들은 로런츠 변환에 따라 변환된다. 4-속도는 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\mathbb V = \dfrac{{\rm d}{\bf x}}{{\rm d}\tau})] || 로 정의된다. [math(\tau)]는 고유 시간이다. 따라서 그 성분을 밝혀적으면 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\mathbb V = \biggl( \dfrac{{\rm d}(ct)}{{\rm d} \tau},\,\dfrac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d} \tau} \biggr))] || 이때, [math(t=\gamma \tau)]를 사용하면 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\mathbb V = ( \gamma c,\,\gamma {\bf u}))] || 이때, 4-벡터에 스칼라인 질량을 곱해도 로런츠 공변성은 깨지지 않으므로 4-벡터 운동량은 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \mathbb P &= m\mathbb V \\ &= ( \gamma mc,\,\gamma m {\bf u} ) \\ &= \biggl(\frac Ec, \,{\bf p} \biggr) \end{aligned})] || 로 나타낼 수 있다. == 운동량과 에너지의 변환 == 4-벡터 [math(\mathbb{P})]는 로런츠 공변성을 만족시킨다. 따라서 다음과 같은 변환이 이루어진다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} E' &=\gamma_{v}(E-vp_{x}) \\ p_{x}'&=\gamma_{v} \biggl(p_{x}-\frac{vE}{c^2} \biggr) \\ p_{y}'&=p_{y} \\ p_{z}'&=p_{z} \end{aligned})] || == 힘의 변환 == 3차원 힘 [math(\mathbf{F})]는 어떻게 변환하는가? 우선 [math(\mathbf{F}=\mathbf{\dot{p}})]임을 상기한다. 즉, ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} F_{x}'&=\frac{{\rm d}p_{x}'}{{\rm d}t'} \\F_{y}'&=\frac{{\rm d}p_{y}'}{{\rm d}t'} \\ F_{z}'&=\frac{{\rm d}p_{z}'}{{\rm d}t'} \end{aligned})] || 이상에서 다음과 같이 구할 수 있다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle \begin{aligned}\frac{{\rm d}p_{x}'}{{\rm d}t'}&=\frac{ \gamma_{v} \biggl({\rm d}p_{x}-\dfrac{v}{c^{2}}\,{\rm d}E \biggr)}{\gamma_{v}\biggl({\rm d}t-\dfrac{v}{c^2} \,{\rm d}x \biggr)} \\&=\frac{\dfrac{{\rm d}p_{x}}{{\rm d}t}-\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}E}{{\rm d}t} }{1-\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}t }} \\ &=\frac{F_{x}-\dfrac{v}{c^2} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{u} }{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\ \\ \frac{{\rm d}p_{y}'}{{\rm d}t'}&=\frac{{\rm d}p_{y}}{\gamma_{v}\biggl({\rm d}t-\dfrac{v}{c^2} \,{\rm d}x \biggr)} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{\dfrac{{\rm d} p_{y}}{{\rm d}t }}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{F_{y}}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\ \\ \frac{{\rm d}p_{z}'}{{\rm d}t'}&=\frac{{\rm d}p_{z}}{\gamma_{v}\biggl({\rm d}t-\dfrac{v}{c^2} \,{\rm d}x \biggr)} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{\dfrac{{\rm d} p_{z}}{{\rm d}t }}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{F_{z}}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}}\end{aligned} )] || 한편, [math(\mathbf{u}=\mathbf{0})]을 만족할 때, ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math( \displaystyle \begin{aligned} F_{x}'&=F_{x} \\ F_{y}'&=\frac{F_{y}}{\gamma_{v}}\\ F_{z}'&=\frac{F_{z}}{\gamma_{v}}\end{aligned} )] || 이다. == 해석역학 == [anchor(상대론적 라그랑지언)] === 라그랑지언 === 특수 상대성 이론에 의하면 운동 에너지는 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(T = (\gamma-1) mc^2 )] || 로 정의되기 때문에 특수 상대성 이론에서 라그랑지언을 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(L=T-U)] || 로 생각하기 쉽다. 하지만 이는 틀린 생각이다. 상대성 이론에서도 라그랑주 역학이 성립한다고 생각할 때 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\dfrac{\partial \mathscr L}{\partial \dot x_i} = p_i)] || 또한 성립할 것이다. 따라서 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\dfrac{\partial \mathscr L}{\partial \dot x_i} = \gamma m\dot x_i )] || 일단 라그랑지언에 넣는 운동 에너지를 [math(T^\ast)]라 하자. 간단한 역학계에서 [math(T^\ast(\dot x_i))], [math(U(x_i))]이므로 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot x_i} &= \frac{\partial T^\ast}{\partial \dot x_i} \\ &= \gamma m\dot x_i \end{aligned})] || 양변을 적분함으로써 [math(T^{\ast})]를 얻는다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} T^\ast &= -mc^2\sqrt{1-\biggl(\frac{\dot x_i}c \biggr)^2} \\&= -\frac{mc^2}\gamma \\ &\ne T \end{aligned})] || 이상에서 상대론적 라그랑지언은 다음과 같다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\mathscr L = -mc^2\sqrt{1-\biggl(\dfrac{\dot x_i}c \biggr)^2} - U)] || 참고적으로 해당 라그랑지언에 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}t} {\left[\gamma m \dot x_i \right]} = -\dfrac{\partial U}{\partial x_i}=-F_i)] || 인데 이것은 뉴턴 제2법칙으로 환원됨을 알 수 있다. [anchor(상대론적 해밀토니언)] === [[해밀토니언]] === 특수 상대성 이론에서 해밀토니언은 어떻게 되는가? 이것은 라그랑지언과 해밀토니언의 연결 공식인 르장드르 변환을 사용하면 된다. ||<tablealign=center><table bordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\begin{aligned} \mathcal H &= \sum_ip_i \dot x_i- \mathscr L \\ &= \sum_i\frac{{p_i}^2c^2}{\gamma mc^2} -{\left[-\frac{mc^2}{\gamma}-U \right]} \qquad (\because p_i = \gamma m \dot x_i) \\ &=\frac{p^2c^2+m^2c^4}{\gamma mc^2} +U \\ &= \frac{E^2}{\gamma mc^2} +U \\ &= T+U+E_0 \qquad (\because \gamma mc^2=E) \end{aligned})] || 즉, 해밀토니언은 정지 에너지 만큼 차이가 나게 된다. == 관련 문서 == * [[질량-에너지 동등성]] * [[상대론적 전자기학]] [[분류:역학의 하위 학문]]캡챠되돌리기