선형화 중력 (덤프버전으로 되돌리기)

[include(틀:상대성 이론)]
[목차]
== 개요 ==
'''선형화 중력이론'''(Linearized Theory of Gravity)은 [[일반 상대성 이론]]에서 중력이 매우 약한 환경을 가정해 [[아인슈타인 방정식]]을 선형 방정식으로 전환시켜 다루는 분야로, [[섭동 이론]](Perturbation theory)의 일종이다. [[슈바르츠실트 해]] 등이 천체와 관련된 문제를 해결하기 위해 구형 대칭이나 축 대칭을 가정한다면, 이쪽은 태양계처럼 매우 약한 중력 환경이나 [[중력파]]의 성간 전달을 연구하기 위해 (대칭성 대신) 선형 근사를 가정한다. 검출될만한 중력파는 모두 외부에서 오므로 전자와 같은 대칭성은 애초에 고려할 필요가 없다.

== 중력장의 선형화 ==
선형 중력을 다루기 위해서는 먼저 중력장 [math(g_{\mu\nu})]를 선형화해야 한다. 이것을 표현하는 가장 간단한 방법은 고려하는 시공간 영역 전체에서 (적당한 좌표의 선택으로)


{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \quad |h_{\mu\nu}|≪1)] 
}}}

조건이 성립한다고 가정하는 것이다. 예를 들어 태양계의 경우, [math(\displaystyle |h_{\mu\nu}| \sim |\Phi| \le G/c^2\frac{M_☉}{R_☉} \sim 10^{-6})]이다.

평평한 민코프스키 공간 [math(\eta_{\mu\nu})] 을 배경으로 (작은) 중력 텐서장 [math(h_{\mu\nu})]이 얹혀진, 특수 상대성 이론에 가까운 모델이라 볼 수 있다. 물론, 둘을 합할 수 있으며, 그 합은 시공간의 기하학적 성질을 그대로 보여준다. 하지만 우리가 원하는 수학적 해를 찾고자 할 때에는 "평평한 배경" 관점에서 접근하고, 이것을 어떻게 검출할 것인가 하는 문제에 대해서는 다시 시공간 지형의 관점에서 접근해야 한다. 따라서, 당분간은 배경 [math(\eta_{\mu\nu})]는 무시하고 섭동 [math(h_{\mu\nu})]에만 관심을 둔다. 

이후 선형 조건의 [math(g_{\mu\nu})]를 대입하여 아인슈타인 텐서를 최대한 간단화해야 하는데, 이 과정에서 배경 로렌츠 변환, 게이지 변환, 좌표 고정 등 다양한 수법이 사용될 것이다. 그렇게 간단화된 결과물은 다름 아닌 10개의 '''파동 방정식'''이다. 따라서, 선형화 이론은 태생적으로 중력파, 혹은 중력 복사에 관한 이론이며 특정 중력파 해에 관한 이론, 그리고 그것을 어떻게 검출하느냐는 이론 둘로 나눌 수 있다. 그 외에는 정적인 중력장을 가정할 경우 고전 역학과 유사한 퍼텐셜 분포(뉴턴 극한; Newtonian limit)를 얻게 되며 중력 적색편이나 중력 렌즈 효과를 설명할 수 있다.

=== 좌표 변환 ===
먼저, 선형 이론에서 사용되는 두 가지 좌표변환을 알아보자. 첫번째는 [math(h_{\mu\nu})]를 텐서로 다루기 위한 좌표 변환이고, 두번째는 아인슈타인 방정식을 파동 방정식의 형태로 전환하는 등 해를 우리가 원하는 형태로 구체화하기 위한 좌표 변환이다.
==== 배경 로렌츠 변환 (Background Lorentz transformation) ====
선형 이론에서는 [math(h_{\mu\nu})]를 평평한 시공간 위에 놓인 텐서처럼 보면 편리하다. 그런데 일반적인 좌표변환에서는 [math(\eta_{\mu\nu})]가 텐서처럼 변하지 않으므로, [math(h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})] 역시 텐서가 아니다. 따라서 [math(h_{\mu\nu})]가 텐서처럼 변환되도록, [math(\eta_{\mu\nu})]가 텐서처럼 변하는 로렌츠 변환으로 한정시킬 필요가 있다.

예를 들어 [math(x)]축 방향 속도 [math(v)]의 부스트의 경우 로렌츠 변환 행렬은

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\Lambda^{\overline \alpha}_{\,\, \beta} = \begin{pmatrix} \gamma&-v\gamma&0&0 \\ -v\gamma&\gamma&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix})]
}}}

이다. 이러한 로렌츠 변환들을 모아, 다음과 같이 약한 중력장에 대한 배경 로렌츠 변환을 정의한다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(x^{\overline \alpha} = \Lambda^{\overline \alpha}_{\,\, \beta}\,x^{\beta})]
}}}

이것을 [math(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu})]에 적용해보면 [math(\,g_{\overline \alpha \overline \beta} = \Lambda^{\mu}_{\,\, \overline \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \overline \beta}g_{\mu\nu} = \Lambda^{\mu}_{\,\, \overline \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \overline \beta}\eta_{\mu\nu} + \Lambda^{\mu}_{\,\, \overline \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \overline \beta}h_{\mu\nu})]이고, [math(\,\Lambda^{\mu}_{\,\, \overline \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \overline \beta}\eta_{\mu\nu} = \eta_{\overline \alpha \overline \beta})]이므로

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(h_{\overline \alpha \overline \beta} = \Lambda^{\mu}_{\,\, \overline \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \overline \beta}h_{\mu\nu})]
}}}

를 얻는다.

==== 게이지 변환 (Gauge Transformation) ====
아인슈타인 방정식은 [math(g_{\mu\nu})]의 10개 성분 중 6개를 결정하며, 나머지 넷은 좌표를 임의로 고정함으로써 정해진다. 따라서 좌표를 자유롭게 선택하는 형식으로 물리적으로 동등한 해들을 얻을 수 있는데, 이는 전자기학의 게이지 변환과 비슷하다. 게이지 변환으로 연관된 두 [math(h_{\mu\nu})] 해는 물리적으로 동일한 해를 가지므로, 만약 방정식이 복잡하다면 적절한 게이지 고정(gauge fixing)으로 주어진 상황을 바꾸지 않고 해를 간단하게 만들 수 있다.

먼저, [math(x^{\alpha '} = x^{\alpha} + \xi^\alpha(x^{\beta}))]이란 형태의 좌표변환을 생각하자. 여기서 [math(\xi^{\mu})]는 크기가 매우 작은 벡터장으로 생각할 수 있다. 이것이 충분히 작다면 각 점의 [math(h_{\mu\nu})]도 매우 조금 변할 것이며, [math(|h_{\mu\nu}|≪1)]이란 조건도 유지될 것이다. 이를 이용해 게이지 변환을 만들 수 있다. [math(|\xi^{\alpha}_{\,\,,\beta}| ≪ 1)]을 가정한다면

[math(\Lambda^{\alpha '}_{\,\,\beta} = \delta^{\alpha}_{\,\,\beta} + \xi^{\alpha}_{\,\,,\beta})]
[math(\Lambda^{\alpha}_{\,\,\beta '} = \delta^{\alpha}_{\,\,\beta} - \xi^{\alpha}_{\,\,,\beta} + 0(|\xi^{\alpha}_{\,\,,\beta}|^2))]

이다. 이것을 정리하면 [math(g_{\alpha '\beta '} = \eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta} - \xi_{\alpha, \beta} - \xi_{\beta, \alpha})]가 된다. ([math(\xi_{\alpha} = \eta_{\alpha\beta}\xi^{\beta})]로 정의한다.) 따라서

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(h_{\mu\nu} \rightarrow h_{\mu\nu} - \xi_{\mu, \nu} - \xi_{\nu, \mu})]
}}}

를 게이지 변환으로 받아들일 수 있다. 이것을 리만 텐서에 대입해보면 실제로 표현이 달라지지 않음을 확인할 수 있다.

==== 미분동형사상 (diffeomorphism) ====
지금까지 설명한 좌표변환을 수학적으로 세련되게 말하자면, 일종의 미분동형사상이다. 먼저, 배경 민코프스키 공간 [math(M_b)]에서 (아인슈타인 방정식이 결정하는) 공간 [math(M_p)]로 가는 미분동형사상 [math(\phi : M_b \rightarrow M_p)]를 생각하자. 이 사상에 의해 [math(M_b)]와 [math(M_p)]는 서로 동등한 공간이며, [math(\,p \in M_b)]와 [math(\,\phi(p) \in M_p)]가 서로 대응된다. 단, [math(M_b)]의 메트릭은 언제나 [math(g_{\mu\nu}(p) = \eta_{\mu\nu})]이며, [math(M_p)]의 메트릭은 [math(g_{\mu\nu}(\phi(p)))]로 주어진다.

우리가 원하는 것은 선형 이론을 평평한 공간 [math(M_b)]를 배경으로 이론을 전개하는 것이므로, [math(M_p)]를 [math(M_b)]로 옮겨와 [math(M_b)] 위에서 텐서 [math(h_{\mu\nu})]를 다루고 싶다. 따라서, pullback [math(\phi^*)]에 대하여


{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(h_{\mu\nu} = (\phi^*g)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})]
}}}

로 정의한다. [math(h_{\mu\nu})]는 [math(M_b)]에서 정의된 것이다. 만약 중력장이 약한 상황이라면 [math(|h_{\mu\nu}|≪1)]이도록 [math(\phi)]를 정할 수 있다.

한편 [math(M_b)]와 [math(M_p)]를 대응시키는 방법, 즉 [math(\phi)]가 유일하지 않다는 것을 알 것이다. [math(\phi)]를 교체할 수 있도록 미분동형사상 [math(\psi_{\epsilon} : M_b \rightarrow M_b)]를 생성하는 벡터장 [math(\xi^{\mu})]를 생각하자. 이 벡터장은 적분 곡선(integral curve) [math(x^{\mu})]를 만들며, [math(\displaystyle \frac{dx^{\mu}}{dt} = \xi^{\mu})]이다. 이 경로를 따라 [math(\epsilon)]으로 매개되는 미분동형사상 [math(\psi_{\epsilon})]이 연속적으로 정의된다. [math(\epsilon > 0)]을 매우 작은 양수로 가정하면, 이는 게이지 변환에서 정의한 "미소 변동"과 같은 개념이다. 즉 [math(h_{\mu\nu})]가 매우 작다는 조건을 유지하는 변환이다. 이제, [math(\xi^{\mu})]는 pullback [math(\psi_{\epsilon *})]에 의해 [math(h_{\mu\nu})]를


 [math(h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = [(\phi \circ \psi_{\epsilon})^* g]_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})][math(\,= [\psi_{\epsilon }^*(\phi^*g))][math(]_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})]
[math(\quad\quad\,\,= \psi_{\epsilon}^*(h + \eta)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})][math(\displaystyle \,= (\psi_{\epsilon}^* h)_{\mu\nu} + \epsilon \biggl[\frac{(\psi_{\epsilon}^* \eta)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}}{\epsilon} \biggr])]


로 바꾼다. 이 때, [math(\epsilon \rightarrow 0)]이면 [math((\psi_{\epsilon}^*h)_{\mu\nu} = h_{\mu\nu})]로 간주할 수 있다. 따라서

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \epsilon \mathcal{L}_\xi \eta_{\mu\nu})]
}}}

이다. 즉, 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \epsilon (\xi_{\mu, \nu} + \xi_{\nu, \mu}))]
}}}

를 얻는다. [math(h^{(\epsilon)}_{\mu\nu})]는 [math(h_{\mu\nu})]와 물리적으로 동일한 상황을 나타낸다. 실제로, 리만텐서는 두 상황에서 똑같이 계산된다. 즉, [math(\xi^{\mu})]는 선형화 방정식의 게이지 군을 정의하게 된다.
=== 아인슈타인 방정식의 선형화 ===
이제 선형 조건을 아인슈타인 텐서에 잘 대입해보면

[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = -\dfrac{1}{2}[\overline{h}_{\mu\nu,\alpha}\;^{\alpha}+\eta_{\mu\nu}\overline{h}_{\alpha\beta}\;^{,\alpha\beta} - \overline{h}_{\mu\alpha,\nu}\;^{\alpha} - \overline{h}_{\nu\alpha,\mu}\;^{\alpha} + 0(h^2_{\mu\nu}) ] \quad (\overline{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h))]


인데, 첫번째 항은 달랑베르 연산자 [math(\square)]이고 선형 중력 이론에서 중요한 역할을 할 것이다. 자연스럽게 나머지 항은 게이지 변환으로 없애고 싶어진다. 게이지 변환 후 [math(\displaystyle \; \overline{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)]이 되도록 만들 수 있으면 이 목적은 달성된다. 
그런데, [math(\overline h_{\mu\nu})]의 게이지 변환은 [math(\overline h_{\mu\nu} \rightarrow \overline h_{\mu\nu} - \xi_{\mu, \nu} - \xi_{\nu, \mu} + \eta_{\mu\nu}\,\xi_{\alpha}^{\,\,\,, \alpha})]이다. 따라서 위 조건은 [math(\square \xi_{\mu} = \overline h_{\mu\nu}^{\quad,\nu})]으로 변형되며, 우변은 상수이므로 이러한 방정식의 해는 항상 존재한다. 이 [math(\displaystyle \; \overline{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)]을 로렌츠 게이지(Lorenz gauge) 조건[* 혹은 조화 게이지(harmonic gauge)]이라고 한다. 이제 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 정리된다.


||<tablewidth=500px><height=60px><table bordercolor=gray><bgcolor=#FFFFFF,#1D1E23><tablealign=center> [math(\displaystyle \square \overline{h}_{\mu\nu} = - 16 \pi G T_{\mu\nu} \quad (c=1))] ||

이것이 선형화 이론(Linearized theory)의 중력장 방정식이다. 이 때, 전자기학의 지연 퍼텐셜(Retarded potential)을 활용하면 다음을 얻는다.


{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu}(t, \mathbf x) = 4G\int\frac{T_{\mu\nu}(t - \mathbf{|x-x'|}, \mathbf{x'})}{\mathbf{|x - x'|}}\mathrm{d^3} \mathbf{x'})]
}}}

각각의 [math(\mu, \nu)]를 따로 생각해서 16개의 실숫값 함수로 보고, [math(T_{\mu\nu})]가 시변(중력)원천이므로 [math(\overline{h}_{\mu\nu})]가 위치한 점까지 정보가 도달하는 데 걸리는 시간(지연 시간 ; retarded time)을 고려한다고 치면 쉽게 유추할 수 있다. 
== 뉴턴 극한 (Newtonian limit) ==
위에서 얻은 중력장 방정식은 시변 중력장을 전제한다. 먼저, 이 시변항까지 없앤 정적인 중력장을 알아보자. 즉, (태양계의 경우) 태양이 좌표 원점에 고정되어 있고, 태양 자전 속도를 비롯한 모든 속도가 광속(여기에선 [math(c=1)])보다 크게 작은 상황을 가정한다. 이 때 우리는 뉴턴 중력의 퍼텐셜에 대응되는 완전히 고전적인 해를 얻을 수 있다.
먼저, [math(T_{\mu\nu})]는 [math(T_{00} = \rho)]만 남고 나머지는 없어지므로 [math(\overline{h}_{00})]만 고려하면 된다. 또한, 정적인 해를 가정하고 있으므로 [math(T_{\mu\nu})]는 시간에 독립적이고, 지연 시간은 무시할 수 있다. 따라서

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \overline{h}_{00}(t, \mathbf x) = 4G\int\frac{\rho(t, \mathbf{x'})}{\mathbf{|x - x'|}}\mathrm{d^3} \mathbf{x'})]
}}}

를 얻는다. 이 중 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \Phi := -G\int\frac{\rho(t, \mathbf{x'})}{\mathbf{|x - x'|}}\mathrm{d^3} \mathbf{x'}\,\rightarrow\,-\frac{GM}{r})] [* 원점에서 충분히 멀 때]
}}}

를 뉴턴 중력의 퍼텐셜에 대응시킬 수 있고, 이 때 [math(\displaystyle \overline{h}_{00} = -4\Phi)]가 된다.

이제 [math(\displaystyle \square \overline{h}_{00} = \nabla^2 \overline{h}_{00} = - 16 \pi G \rho)] 와 푸아송 방정식 [math(\displaystyle \nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho)]의 관계는 명확하다.

마무리로, [math(\displaystyle - 4 \Phi = \overline{h}_{00} = -\overline{h})]와 [math(h_{\mu\nu} = \overline{h}_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\overline{h})] 로부터 

[math(\displaystyle {h}_{00}=h_{xx}=h_{yy}=h_{zz}=-2\Phi)] (나머지 항은 [math(0)]) 또는


||<tablewidth=500px><height=60px><table bordercolor=gray><bgcolor=#FFFFFF,#1D1E23><tablealign=center> [math(\displaystyle ds^2=-(1+2\Phi)dt^2+(1-2\Phi)(dx^2+dy^2+dz^2))] ||

를 얻는다. 이 공식은 뉴턴 중력과의 관계를 잘 보여주지만 근사를 너무 강하게 적용해서 태양계 내에서 빛의 굴절량이나 중력 적색편이는 충분한 수준으로 설명할 수 있지만 수성의 근일점 이동까지는 설명하기 어렵다.[* Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman,Princeton University Press: 445 ~ 446]
== [[중력파]] (Gravitational wave) ==
뉴턴 계량은 정적인 중력장을 가정하기 때문에 달랑베르 연산자 [math(\displaystyle \square)]에서 시간 미분 항을 제거하여 라플라스 연산자 [math(\nabla^2)]로 바꾸었다. 이번엔 조금 조건을 유연하게 해서 달랑베르 연산자 그대로 가져가보자. 즉, "시변" 중력장을 허용한다. 이 때, 진공 조건에서 [math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu})]는 곧바로 각각의 항마다 다음과 같은 파동 방정식을 만족시키게 된다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \square \overline{h}_{\mu\nu} = \biggl( - \frac{\partial ^2}{\partial t^2} + \nabla^2 \biggr) \overline{h}_{\mu\nu} = 0)]
}}}

이것은 물론 중력파이다. 로렌츠 게이지 조건을 사용하면 [math(\displaystyle \square)]만이 남고, 진공 조건에서는 이처럼 중력파 항이 남는다. 속임수같다고 생각할지 모르지만, 지금까지 "게이지 고정"만 했으므로 다른 해(좌표)에서도 완전히 같은 물리적 과정이 일어날 것이다. 가장 알아보기 쉬운 해(좌표계)에서만 확인하면 되는 것이다. 어쨌든 전자기학에서처럼

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu} = \mathrm{Re} \Bigl[A_{\mu\nu}\;\rm {exp}\mathit{(i k_{\alpha} x^{\alpha})} \Bigr] \quad ... \quad (1))]
}}}

([math(A_{\mu\nu})]은 상수 행렬이다.)라 둘 수 있다. [math(\overline{h}_{\mu\nu})]는 실수부분만 취하기로 한다. 로렌츠 게이지 조건 [math(\displaystyle \; \overline{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)]에 대입해보면 [math(k^{\alpha}k_{\alpha} = 0)], 즉 [math(k^{\alpha})]가 null-벡터일 때 해가 된다는 것을 알 수 있다. 이는 [math(k^{\alpha})]가 어떤 빛의 세계선(속도 벡터)에 나란하다는 것을 보여준다.

이 때, [math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu} = A_{\mu\nu}\;\rm {exp}\it(i k_{\alpha} x^{\alpha}))]는 [math(\displaystyle k_{\alpha} x^{\alpha})]가 상수인 면에서 일정하다는 것을, 즉 각각의 초평면 [math(\displaystyle k_{0}t + (k_{1}x + k_{2}y + k_{3}z) = C)]가 [math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu})]의 등위면을 형성한다는 것을 알 수 있다. 시간 성분 [math(k^{0})]을 파동의 주파수 [math(\omega)]라 두고, 공간 성분 [math((k^{1}, k^{2}, k^{3}))]을 파수 벡터 [math(\bold k)]라 두면 벡터 [math(k^{\alpha})]는 [math((\omega, \bold k))]라 둘 수 있다. 이제 [math(k^{\alpha})]를 4-파수벡터(4-wavevector)라 하자.

null-벡터 [math(k^{\alpha})]에 나란하게 진행하는 빛을 하나 잡고, 이 빛의 경로(세계선)를 매개변수 [math(\lambda)]에 대하여 [math(x^{\mu} = k^{\mu}\lambda + l^{\mu})]라 두면 [math(k_{\mu}x^{\mu})]가 상수가 된다. 이는 빛이 [math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu})]의 등위면에 고정됨을, 즉 [math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu})]가 만드는 파동에 그대로 실려 간다는 것을 의미하며, 반대로 말하면 파동 [math(\displaystyle \overline{h}_{\mu\nu})]가 빛의 속도로 이동한다는 것을 알 수 있다.

한편 로렌츠 게이지 조건 [math(\displaystyle \; \overline{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)]을 다시 가져와보면 "진폭" 행렬 [math(A_{\mu\nu})]는 조건 [math(A_{\mu\nu} k^{\nu} = 0)]을 만들게 된다. 따라서, 4-파수벡터 [math(k^{\mu})]는 진폭 행렬 [math(A_{\mu\nu})]에 수직이다.

이렇게 얻은 해를 '''평면파(plane wave)'''라고 한다. 그러나 아직 게이지 조건을 다 사용하지 않았으므로, 더 엄격한 진폭 조건을 만들어 해를 구체화할 수 있다. 다음 TT 게이지가 그 예이다.
=== TT(Transverse-Traceless) 게이지 ===
로렌츠 게이지 조건 [math(\displaystyle \; \overline{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)]은 벡터 [math(\,\xi^{\mu})]에 [math(\,\square \xi^{\mu} = 0)]이란 조건을 부여한다. 따라서 마찬가지로

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \xi_{\mu} = \mathrm{Re}\Bigl[B_{\mu}\;\rm {exp}\mathit{(i k_{\alpha} x^{\alpha})} \Bigr] \quad ...\quad (2))]
}}}

라 두자. 물론 [math(B_{\mu})]는 상수이고, 평면파에서 유도했듯이 [math(k^{\mu})]는 null-벡터이다. 이제부터는 진폭 행렬 [math(A_{\mu\nu})]의 게이지 변환을 유도하고, 어떤 식으로 게이지 고정을 시킬 수 있는지 알아보자. 유도하는 건 [math(h_{\mu\nu} \rightarrow h_{\mu\nu} - \xi_{\mu, \nu} - \xi_{\nu, \mu})]에 (1)과 (2)을 도입하면 어렵지 않다. 

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(A_{\mu\nu} \rightarrow A_{\mu\nu} - iB_{\mu}k_{\nu} - iB_{\nu}k_{\mu} + i\eta_{\mu\nu}B^{\alpha}k_{\alpha})]
}}}

여기에 적절한 게이지 조건을 가하면 [math(A^{\mu}_{\, \mu} = 0)]과 [math(A_{\mu\nu}U^{\nu} = 0)] ([math(\vec U)]는 어떤 time-like 4벡터이다.)이 성립하도록 할 수 있는데, 이 둘과 [math(A_{\mu\nu} k^{\nu} = 0)]을 합해서 TT(transverse-traceless) 게이지 조건이라고 한다. 이 때 traceless란 [math(A^{\mu}_{\, \mu} = 0)]을 두고 말하는 것이다. 이 때 [math(\overline{h} = \overline{h}_{\mu}^{\mu} = \mathrm{Re} \Bigl[A^{\mu}_{\mu}\,\mathrm{exp}(ik_{\alpha}x^{\alpha}) \Bigr] = 0)]이므로 [math(\overline h_{\mu\nu}^{\mathrm {TT}} = h_{\mu\nu}^{\mathrm {TT}})]이다.

마지막으로, [math(\vec U)]가 시간 기저벡터가 되도록 좌표계를 잡을 수 있다. 즉 [math(\vec U = (1, 0, 0, 0))]이다. 이 때 [math(A_{\mu\nu}U^{\nu} = 0)]에 의해 [math(A_{\mu 0} = 0)]임을 알 수 있다. 이번엔 공간 좌표축을 회전시켜 [math(k^{\alpha} = (\omega, 0, 0, \omega))]가 되도록, 즉 중력파 [math(h_{\mu\nu})]가 [math(z)]축 방향으로 흐르도록 하자. 그렇다면 [math(A_{\mu\nu} k^{\nu} = 0)]에 의해 [math(A_{\alpha z} = 0)]이 된다. 이를 모두 정리하면, [math(A_{\mu\nu})]에는 [math(A_{xx}, A_{yy}, A_{xy} = A_{yx})]만이 남는다. 그리고 [math(A^{\mu}_{\, \mu} = 0)] 조건을 활용하면 [math(A_{xx} = -A_{yy})]임을 알 수 있다. 지금까지 설명한 [math(A_{\mu\nu})]의 TT 게이지 조건을 행렬성분으로 나타내면 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(A^{\mathrm{TT}}_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 0&A_{xx}&A_{xy}&0 \\ 0&A_{xy}&-A_{xx}&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix})]
}}}

=== 중력파의 입자에 대한 영향 ===
모든 중력파는 평면파의 중첩으로 표현된다. 파동이 [math(z)] 방향으로 흐를 경우, 모든 평면파를 [math(h_{xx}^{\mathrm{TT}})]와 [math(h_{xy}^{\mathrm{TT}})]로 표현할 수 있다. 한 배경 좌표계에 정지해 있던 입자가 중력파를 만나게 되면, (TT 게이지를 선택할 경우 => [math(\vec U)]가 입자의 초기 속도 벡터), 이 입자는 측지선 방정식

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{d}{d\tau}U^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\,\,\alpha\beta} U^{\alpha}U^{\beta} = 0)]
}}}

을 만족시킨다. 입자는 처음에 정지해있으므로, [math(\vec U = (1, 0, 0, 0))]이다. 입자의 초기 가속도는

{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \frac{d}{d\tau}U^{\mu} = - \Gamma^{\mu}_{\,\,00} = - \frac{1}{2}\eta^{\mu\sigma}(h_{\sigma 0, 0} + h_{\sigma 0, 0} - h_{00, \sigma}))]
}}}

이다. 그런데, TT 게이지에서 [math(h_{\sigma 0}^{\mathrm{TT}} = \mathrm{Re} \Bigl[A_{\sigma 0}^{\mathrm{TT}}\,\mathrm{exp}(ik_{\alpha} x^{\alpha}) \Bigr] = 0)]이므로, 초기 가속도는 그냥 [math(0)]이다. 그러므로, 다음 순간 입자의 속도는 [math(\vec U = (1, 0, 0, 0))]를 유지한다. 이는 초기 상태와 동일하다. 따라서 이런 상황이 반복되어 입자는 이 좌표계에서 영원히 정지할 것이다. 이로부터, 이 TT 게이지는 [math(z)] 방향 중력파의 영향을 받는 각각의 입자를 정지상태로 만드는 좌표계를 선택한 것임을 알 수 있다. 

물론, 입자가 어떤 움직임을 보이더라도 입자와 함께 움직이는 좌표계를 선택하여 입자를 정지하게 만들 수 있다. 하지만, 일반 상대성 이론에서 중력이 만드는 것은 가속도가 아니라 "상대" 가속도, 즉 기조력이다. 이것을 측정하기 위해선 두 개의 입자가 필요하다.
한 입자는 원점에 두고, 또 다른 입자는 [math((x, y, z) = (\epsilon, 0, 0))]에 두자. 각각은 TT 게이지 좌표계에서 정지해 있으므로, [math((t, 0, 0, 0))]과 [math((t, \epsilon, 0, 0))]에 고정되어 있다. 둘 사이의 "고유" 거리는

 [math(\displaystyle \Delta l \equiv \int|ds^2|^{1/2} = \int|g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}|^{1/2})]
 [math(\displaystyle \quad\,\, = \int^{\epsilon}_{0}|g_{xx}|^{1/2} \approx \epsilon|g_{xx}(x = 0)|^{1/2})]

 [math(\displaystyle \quad\,\, \approx \epsilon \biggl[1 + \frac{1}{2}h_{xx}^{\mathrm{TT}}(x = 0) \biggr])]

이다. 이 때 [math(h_{xx}^{\mathrm{TT}})]은 일반적으로 [math(0)]이 아니므로, 고유 거리는 시간에 따라 변할 것이다. 이처럼, 중력파는 어느 한 입자에 대한 영향이 아니라, 두 입자의 상대 가속도 혹은 상대 거리에 대한 영향을 통해 그 존재를 확인할 수 있다.
이 공식을 좀 더 깊이 분석해보면, 두 입자는 [math(\epsilon)], 즉 서로에 대한 거리가 멀수록 훨씬 큰 거리 변화를 만든다. 중력파 검출기가 그토록 큰 이유이기도 하다. LIGO의 경우 검출장치의 한쪽 길이가 [math(\mathrm{4km})]이다. 우주 공간에서는 인공 위성을 임의로 떨어뜨려 수백만 [math(\mathrm{km})] 만큼 벌려놓기도 한다.
그러나, 중력파의 이러한 효과는 [math(h_{ij}^{\mathrm{TT}})]에 비례하며 매우 작다. 이들의 크기는 일반적으로 약 [math(10^{-21})] 이하이다. 따라서, 중력파 검출기는 [math(10^{21})]분의 [math(1)]에 해당하는 상대 거리의 변화를 검출할 민감도를 확보할 수 있어야만 한다.
== [[중력 자성]] (Gravitomagnetism) ==
위의 선형 중력 이론을 운동량 성분까지 고려해 확장한 것이다.
[[분류:물리학]][[분류:일반 상대성 이론]]

== 참고 자료 ==
 * Bernard Schutz (2009), "A First Course in General Relativity Second Edition", Cambridge University Press: 189 - 212
 * Sean M. Carroll (2003), "Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity", Addison Wesley: 274 - 322
선형화 중력 (덤프버전으로 되돌리기)

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