문서 보기문서 편집수정 내역 슈뢰딩거 방정식/사각 퍼텐셜 문제 (r0 버전으로 되돌리기) [include(틀:상위 문서, top1=슈뢰딩거 방정식)] [include(틀:양자역학)] [목차] == 개요 == {{{+1 rectangular potential problem}}} 이 문서에서는 1차원 사각형 퍼텐셜 장벽 혹은 벽이 있을 때, 입자의 산란 혹은 속박과 관련된 것을 다룬다. 이 문제는 대표적으로 다음과 같은 네 가지 유형이 있다. * 무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well) * 퍼텐셜 계단(step potential) * 사각 퍼텐셜 장벽(rectangular potential barrier) * 유한 퍼텐셜 우물(finite potential well) == 파동함수의 경계 조건 == 파동함수가 퍼텐셜 경계 [math(x=c)]에서 가져야 할 경계 조건은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(c)&=\varphi_{2}(c) \\ \biggl. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \biggr|_{x=c}&=\biggl. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \biggr|_{x=c} \end{aligned} )] }}} 즉, 파동함수가 경계를 가로지를 때, 연속이 되어야 한다. == 무한 퍼텐셜 우물 == 어떤 입자가 특정 구간을 제외하고는 무한한 퍼텐셜이 존재하여, 해당 구간을 제외하고는 적은 확률로도 빠져나갈 수 없는 시스템을 '''무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well)'''이라 한다. 다른 말로, '''상자 속 입자(particle in a box)''' 문제라고도 한다. 아래와 같이 두 강철판을 실로 연결하고, 구슬(입자)을 매단 뒤, 좌-우(1차원)로만 움직일 수 있게 만든 시스템[* 강철판에 충돌 시 발생하는 운동에너지의 손실은 없다고 가정한다. 즉, 입자가 탄성 충돌하는 경우만 다룬다.]으로 쉽게 이해할 수 있다. [[파일:namu_사각퍼텐셜문제_1.svg|width=220&align=center&bgcolor=#ffffff]] 고전역학적으로는 입자는 강철 판 사이에서 연속적으로 존재할 수 있어 입자를 발견할 확률이 강철 판 사이 모든 영역에 대해 일정한 확률을 가진다. 그러나 아래 문단을 보면, 입자가 극단적으로 작아지는 양자역학적으로는 더 많이 발견되는 위치가 있고, 또, 입자가 전혀 발견되지 않는 부분도 존재한다. 또한, 고전역학적으로는 입자는 연속적인 에너지를 가질 수 있으나, 양자역학적으로는 연속적이지 않은 값만을 가질 수 있다. 즉, 입자가 가질 수 있는 에너지가 양자화되어 있다. 물론 위에선 입자가 1차원에서만 움직일 수 있는 상황만 예상했지만, 2차원, 3차원으로 확장하여 생각해볼 수도 있다. 여담으로, 해당 문제는 양자역학적으로 쉽게 풀리는 케이스에 속하기 때문에 대부분의 양자역학 교재에선 자유입자를 다루고, 해당 무한 퍼텐셜 우물 문제를 다룬 뒤 더 복잡한 상황으로 넘어가게 되어 있다. 난이도상 1차원을 주력으로 분석할 것이고, 차원이 높은 2차원, 3차원은 간단히 고유 함수와 확률 밀도만 제시하였다. === 분석 === ==== 1차원 ==== 아래의 그림과 같이 1차원 무한 퍼텐셜 상자 속 [math( 0 {{{#!folding [ 슈뢰딩거 방정식 풀이 ] ||<^|1>입자는 무한 퍼텐셜 벽을 투과할 수 없으므로 아래와 같은 두 경계 조건이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \varphi(0)=\varphi(L)=0 )]}}} 또한, 입자가 존재할 수 있는 [math( 0<:>[math(\displaystyle \varphi_{n}(x,\,t) \propto \sin{\biggl( \frac{n \pi x}{L} \biggr)}\exp{\biggl( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \biggr)} \qquad \biggl[ E_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2} \hbar^{2}}{2mL^{2}} \biggr])]|| 그런데, 시간 항의 해는 복소 공액 후 서로 곱할 시 상쇄[* [math(T^{\ast}(t)T(t)=1)]]되므로, 공간 항에 대한 규격화 상수를 위 편미분방정식의 해의 상수로 취급해도 무리가 없으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \varphi_{n}(x,\,t) =\sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\biggl( \frac{n \pi x}{L} \biggr)}\exp{\biggl( -i\frac{E_{n}}{\hbar}t \biggr)} )] }}} 로 쓸 수 있다. 이때, 입자가 미소 간격 [math(dx)]에서 발견될 확률은 다음과 같으므로 시간에 의존하지 않는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle |\varphi_{n}(x,\,t)|^{2} =\frac{2}{L} \sin^{2}{\biggl( \frac{n \pi x}{L} \biggr)} )] }}} ==== 2차원 ==== 이번엔 퍼텐셜 분포가 아래와 같이 주어지는 경우를 보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle V(x,\,y)=\left\{ \begin{array}{l}0& \quad (0<:>[math( \displaystyle V(x,\,y,\,z)=\left\{ \begin{array}{l}0 & \quad (0<:>[math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{n_{x}n_{y}n_{y}}(x,\,y,\,z)&=\sqrt{\frac{8}{L_{x}L_{y}L_{z} } }\,\sin{\biggl ( \frac{n_{x}\pi x}{L_{x}} \biggr )}\sin{\biggl ( \frac{n_{y}\pi y}{L_{y}} \biggr )}\sin{\biggl ( \frac{n_{z}\pi z}{L_{z}} \biggr )} \\ E_{n_{x}n_{y}n_{z}}&=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2m}\biggl [ \biggl ( \frac{n_{x}}{L_{x}} \biggr )^{2}+ \biggl ( \frac{n_{y}}{L_{y}} \biggr )^{2}+\biggl ( \frac{n_{z}}{L_{z}} \biggr )^{2} \biggr] \end{aligned} )]|| 이때도 2차원과 마찬가지로, 축퇴가 일어난다. == 퍼텐셜 계단 == [[파일:나무_사각 퍼텐셜 문제_퍼텐셜 계단.png|width=250px&align=center]] 이 문제에서의 퍼텐셜 분포는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (x<0)\\ \displaystyle V &\quad (x>0)\end{array}\right. )] }}} 이때 [math( E>V )]인 경우와 [math( EV)]를 만족시키는 경우를 보자. [math(x<0)] 영역을 '''영역 Ⅰ''', [math(x>0)] 영역을 '''영역 Ⅱ'''라 하자. 각 영역에서의 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \end{aligned} )] }}} 이때, 다음과 같은 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle k_{1}^{2} :=& \frac{2mE}{\hbar^{2}}\\k_{2}^{2} :=& \frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}}\end{aligned})] }}} 을 통해, 각 영역에서의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k_{2}^{2} \varphi_{2} \end{aligned} )] }}} 따라서 각 영역에서 파동함수는 아래와 같이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x}+De^{-ik_{2}x} \end{aligned} )] }}} 각 항의 의미를 두면, 다음과 같다. * [math(Ae^{ik_{1}x})]: 영역Ⅰ에서 경계면에 입사하는 파 * [math(Be^{-ik_{1}x})]: 영역Ⅰ에서 경계면에 의해 반사되는 파 * [math(Ce^{ik_{2}x})]: 영역Ⅱ에서 [math(x \to \infty)]을 향하는 파 * [math(De^{-ik_{2}x})]: 영역Ⅱ에서 [math(x = \infty)]로 부터 반사되어 오는 파 그런데, [math(De^{-ik_{2}x})]은 물리적인 상황이 아니므로 그 해에서 제외해야 한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x} \end{aligned} )] }}} 따라서 파동함수의 경계 조건 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle \varphi_{1}(0)&=\varphi_{2}(0) \\ \biggl. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \biggr|_{x=0}&=\biggl. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \biggr|_{x=0}\end{aligned})] }}} 을 이용하면, 다음의 연립 방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} A+B&=C\\ ik_{1}A-ik_{1}B&=ik_{2}C \end{aligned})] }}} 그런데, 미지수는 3개인데 식은 2개이므로 각 미지수의 비밖에 구하지 못한다. 따라서 연립 방정식을 다음과 같이 변형한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} 1+\frac{B}{A}&=\frac{C}{A} \\ 1-\frac{B}{A}&=\frac{k_{2}}{k_{1}}\frac{C}{A} \end{aligned} )] }}} 이 방정식의 해는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{B}{A}&=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\\ \frac{C}{A}&=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}} \end{aligned} )] }}} 위의 과정으로 입사파는 [math(Ae^{ik_{1}x})]이고, 반사파는 [math(Be^{-ik_{1}x})], 투과파는 [math(Ce^{ik_{2}x})]임을 알았다. 이들의 각각 [[확률 흐름 밀도]]를 계산할 수 있고(방법은 [[확률 흐름 밀도|문서]] 참고), 각각을 [math(J_{\text{inc}})], [math(J_{\text{ref}})], [math(J_{\text{trans}})]라 하자. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \begin{aligned}\displaystyle J_{\text{inc}}&= \frac{\hbar k_{1}}{m} |A |^{2}\\J_{\text{ref}}&= -\frac{\hbar k_{1}}{m} |B |^{2}\\ J_{\text{trans}}&= \frac{\hbar k_{2}}{m} |C |^{2}\end{aligned} )] }}} 또한, 반사 계수 [math(R)]과 투과 계수 [math(T)]는 확률이 장벽에서 얼마나 반사되고 투과하는지를 나타내는 값으로, 다음과 같이 정의한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \displaystyle R&=\biggl| \frac{J_{\text{ref} } }{J_{\text{inc} }} \biggr|=\biggl| \frac{B}{A} \biggr|^{2}=\biggl| \frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}} \biggr|^{2}\\ T&=\biggl| \frac{J_{\text{trans} } }{J_{\text{inc} } } \biggr|= \frac{k_{2}}{k_{1}} \biggl| \frac{C}{A} \biggr|^{2}=\frac{k_{2}}{k_{1}} \biggl| \frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}} \biggr|^{2}\end{aligned})] }}} 이미 아는 정보 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \frac{k_{2}}{k_{1}}=\sqrt{1-\frac{V}{E}} )] }}} 를 이용하면, 다음과 같이 바꿀 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle R&=\left| \frac{1-\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E} } }{1+\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E} } } \right|^{2}\\T&= \frac{4\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E} } }{\biggl|1+\displaystyle \sqrt{1-\frac{V}{E}} \biggr|^{2}}\end{aligned})] }}} 이것을 이용하여 그래프를 그려보면 다음과 같다. [[파일:나무_퍼텐셜 계단_투과계수 그래프.png|width=260px&align=center]] 따라서 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 매우 커지면 확률은 모두 통과하며, 입자의 에너지가 0에 가게 되면 확률은 통과하지 못한다. 즉, 입자의 에너지가 0이 되면 경계면을 가로지르는 입자는 없다. === 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 작은 경우 === 다음으로, [math(E0)] 영역을 '''영역 Ⅱ'''라 하자. 각 영역에서의 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \end{aligned} )] }}} 이때, 다음과 같은 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle k_{1}^{2}& := \frac{2mE}{\hbar^{2}}\\\kappa^{2}& := \frac{2m(V-E)}{\hbar^{2}}\end{aligned})] }}} 를 통해, 각 영역에서의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=\kappa^{2} \varphi_{2} \end{aligned} )] }}} 따라서 각 영역에서 파동함수는 아래와 같이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{-\kappa x}+De^{\kappa x} \end{aligned} )] }}} 즉, 이 문제에서 영역 Ⅱ에서 파동함수는 감쇠가 일어난다. 이때, [math(De^{\kappa x})]는 [math(x \to \infty)]일 때, [math(De^{\kappa x} \to \infty)]이므로 물리적인 상황이 아니므로 해에서 제외해야 한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{\kappa x} \end{aligned} )] }}} 따라서 파동함수의 경계 조건 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned} \displaystyle \varphi_{1}(0)&=\varphi_{2}(0)\\\biggl. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \biggr|_{x=0}&=\biggl. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \biggr|_{x=0}\end{aligned})] }}} 을 이용하면, 다음의 연립 방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} A+B&=C \\ ik_{1}A-ik_{1}B&=- \kappa C \end{aligned} )] }}} 그런데, 미지수는 3개인데 식은 2개이므로 각 미지수의 비밖에 구하지 못하므로 연립 방정식을 다음과 같이 변형한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} 1+\frac{B}{A}&=\frac{C}{A} \\ 1-\frac{B}{A}&=\frac{i \kappa}{k_{1}}\frac{C}{A} \end{aligned} )] }}} 따라서 [math(i \kappa=k_{2})]이면 [math(E>V)]일 때 나왔던 방정식과 동일하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{B}{A}&=\frac{k_{1}-i \kappa}{k_{1}+i \kappa}\\\frac{C}{A}&=\frac{2k_{1}}{k_{1}+i \kappa}\end{aligned} )] }}} 입사파, 반사파, 투과파의 확률 흐름 밀도를 각각 구하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle J_{\text{inc}}&= \frac{\hbar k_{1}}{m} |A |^{2}\\J_{\text{ref}}&=-\frac{\hbar k_{1}}{m} |B |^{2}\\J_{\text{trans}}&= 0\end{aligned})] }}} 또한, 반사 계수 [math(R)]와 투과 계수 [math(T)]는 다음과 같이 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle R&=\biggl| \frac{J_{\text{ref} } }{J_{\text{inc} } } \biggr|=\biggl| \frac{B}{A} \biggr|^{2}\\T&=\biggl| \frac{J_{\text{trans} } }{J_{\text{inc} } } \biggr|= 0\end{aligned})] }}} [math(B/A=z^{\ast}/z)] 형태로 되어 있는 것을 참고하면, 반사 계수와 투과 계수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(R=1 \qquad \qquad T=0)] }}} 이 된다. 따라서 이 문제에서 경계에서 투과하는 확률 밀도는 없다. 곧, 입자는 경계면을 가로지를 수 없다. == 사각형 퍼텐셜 장벽 == [[파일:나무_사각 퍼텐셜 문제_사각 퍼텐셜 장벽.png|width=250px&align=center]] 이 문제에서의 퍼텐셜 분포는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (x>| a |)\\ \displaystyle V &\quad (x<| a |)\end{array}\right. )] }}} === 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 큰 경우 === 우선 [math(E>V)]를 만족시키는 경우를 보자. [math(x<-a)] 영역을 '''영역 Ⅰ''', [math(| x |a)]인 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 이때, 다음과 같은 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle k_{1}^{2} := \frac{2mE}{\hbar^{2}} \qquad \qquad k_{2}^{2} := \frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}} )] }}} 을 통해, 각 영역에서의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k_{2}^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=-k_{1}^{2} \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 따라서 각 영역에서 파동함수는 아래와 같이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x}+De^{-ik_{2}x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x}+Ge^{-ik_{1}x} \end{aligned} )] }}} 각 항의 의미를 두면, 다음과 같다. * [math(Ae^{ik_{1}x})]: 영역Ⅰ에서 경계면에 입사하는 파 * [math(Be^{-ik_{1}x})]: 영역Ⅰ에서 경계면에 의해 반사되는 파 * [math(Ce^{ik_{2}x})]: 영역Ⅱ에서 [math(+x)]방향을 향하는 파 * [math(De^{-ik_{2}x})]: 영역Ⅱ에서 [math(x = a)]로 부터 반사되어 오는 파 * [math(Fe^{ik_{1}x})]: 영역Ⅲ에서 [math(x \to \infty)]로 향하는 파 * [math(Ge^{-ik_{1}x})]: 영역Ⅲ에서 [math(x = \infty)]로 부터 반사되어 오는 파 그런데, [math(Ge^{-ik_{1}x})]는 물리적인 상황이 아니므로 해에서 제외해야 한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{ik_{2}x}+De^{-ik_{2}x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x} \end{aligned} )] }}} 따라서 파동함수의 경계 조건 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(-a)&=\varphi_{2}(-a) \\ \varphi_{2}(a)&=\varphi_{3}(a) \\ \biggl. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \biggr|_{x=-a}&=\biggl. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \biggr|_{x=-a} \\ \biggl. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \biggr|_{x=a}&=\biggl. \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial x} \biggr|_{x=a} \end{aligned} )] }}} 을 이용하면, 다음의 연립 방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left\{\begin{matrix} \,\,\begin{aligned} Ae^{-ik_{1}a}+Be^{ik_{1}a}&=C^{-ik_{2}a}+De^{ik_{2}a} \\ Ce^{ik_{2}a}+De^{-ik_{2}a}&=Fe^{ik_{1}a} \\ ik_{1}Ae^{-ik_{1}a}- ik_{1}Be^{ik_{1}a}&= ik_{2}C^{-ik_{2}a}- ik_{2}De^{ik_{2}a} \\ ik_{2}Ce^{ik_{2}a}-ik_{2}De^{-ik_{2}a}&=ik_{1} Fe^{ik_{1}a} \end{aligned} \end{matrix}\right. )] }}} 전체적인 계를 보면, '''입사파'''는 [math(Ae^{ik_{1}x})]이고, '''반사파'''는 [math(Be^{-ik_{1}x})], '''투과파'''는 [math(Fe^{ik_{1}x})]가 된다. 이들의 각각 확률 흐름 밀도를 구할 수 있고, 각각을 [math(J_{\text{inc}})], [math(J_{\text{ref}})], [math(J_{\text{trans}})]라 하자. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle J_{\text{inc}}= \frac{\hbar k_{1}}{m} |A |^{2} \qquad \qquad J_{\text{ref}}= -\frac{\hbar k_{1}}{m} |B |^{2} \qquad \qquad J_{\text{trans}}= \frac{\hbar k_{1}}{m} |F |^{2} )] }}} 또한, 반사 계수 [math(R)]와 투과 계수 [math(T)]는 위의 연립 방정식에서 각 미지수의 비를 구함으로써 결정된다.[* 계산이 매우 복잡하므로 생략한다. 이러한 복잡한 연립 방정식은 행렬로 푸는 게 낫다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle R=\biggl| \frac{J_{\text{ref} } }{J_{\text{inc} } } \biggr|=\biggl| \frac{B}{A} \biggr|^{2} \qquad \qquad T=\biggl| \frac{J_{\text{trans} } }{J_{\text{inc} } } \biggr|= \biggl| \frac{F}{A} \biggr|^{2} )] }}} 따라서 반사 계수와 투과 계수는 아래와 같이 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle R=1-T \qquad \qquad \frac{1}{T}=1+\frac{1}{4}\biggl[ \frac{k_{1}^{2}-k_{2}^{2}}{k_{1}k_{2}} \biggr]^{2}\sin^{2}{(2k_{2}a)} )] }}} 치환한 것을 이용하면, 투과 계수는 아래와 같이 결정된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \frac{1}{T}=1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(E-V)}\sin^{2}{(2k_{2}a)} \quad (E>V))] }}} 이 이후의 분석은 "분석" 문단에서 하기로 한다. === 입자의 에너지가 퍼텐셜보다 작은 경우 === 이제 [math(Ea)]인 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}+V\varphi_{2}=E \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 이때, 다음과 같은 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle k_{1}^{2}& := \frac{2mE}{\hbar^{2}}\\\kappa^{2}& := \frac{2m(V-E)}{\hbar^{2}}\end{aligned})] }}} 를 통해, 각 영역에서의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=\kappa^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=-k_{1}^{2} \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 따라서 각 영역에서 파동함수는 아래와 같이 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x}+Ge^{-ik_{1}x} \end{aligned} )] }}} 그런데, [math(Ge^{-ik_{2}x})]는 물리적인 상황이 아니므로 해에서 제외해야 한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{ik_{1}x}+Be^{-ik_{1}x} \\ \varphi_{2}&=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} \\ \varphi_{3}&=Fe^{ik_{1}x} \end{aligned} )] }}} 따라서 다음과 같이 대치하면, [math(E>V)]에서의 결과를 사용할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle E-V \to V-E \qquad \qquad ik_{2} \to \kappa )] }}} 따라서 투과 계수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{T}&=1+\frac{1}{4}\biggl[ \frac{k_{1}^{2}+\kappa^{2}}{k_{1} \kappa} \biggr]^{2}\sinh^{2}{(2 \kappa a)} \\ &= 1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(V-E)}\sinh^{2}{(2 \kappa a)} \quad (EV)\\ \displaystyle 1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(V-E)}\sinh^{2}{(2 \kappa a)} &\quad (EV)]인 경우에 한하여 투과 계수가 1이 되는 값들이 존재한다.''' 즉, 영역Ⅰ에서 경계면을 가로지른 파는 일체 반사되지 않고, 모두 영역Ⅲ으로 투과된다. 해당 값은, 위의 투과 계수를 봤을 때, sine 항이 0이면 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle 2k_{2}a=n \pi )] }}} 를 만족시키면 된다. 이때, [math(n)]은 자연수[* 바로 다루지만, [math(k)]는 파수라는 것에 유의해야 한다. 파수는 음수가 될 수 없다.]이다. [math(k_{2})]는 파의 파수이기도 하므로 영역Ⅱ의 파장을 [math(\lambda)]라 하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle n\biggl( \frac{\lambda}{2} \biggr)=2a )] }}} 를 만족시키면 투과 계수가 1이 된다. 맨 처음 제시했던 조건 식의 양변을 제곱하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle 4k_{2}^{2}a^{2}=n^{2} \pi^{2} )] }}} 이고, 이것을 입자의 에너지와 퍼텐셜 장벽의 높이를 대입하면 다음의 식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle E-V= \frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m(2a)^{2}} )] }}} 우변은 곧, 상자의 너비가 [math(2a)]인 무한 퍼텐셜 우물 문제의 고유 에너지이고, 이 케이스에서 입자의 에너지와 퍼텐셜의 관계는 위와 같다. 이제부터 [math(E0)]임을 이용하면, 허용되는 [math(\xi, \, \eta)]는 각각의 변수로 하여금 생성된 반지름 [math(\rho)]의 사분원 위에 있다. 따라서 [math(\xi, \, \eta)]는 한정되고, 연속된 실수이다. 따라서 퍼텐셜 [math(V)]가 지정되었을 때, 영역Ⅰ에서 가질 수 있는 고유 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle E=\frac{\hbar^{2}k_{1}^{2} }{2m} )] }}} 으로 연속된 실수이지만, 한정된다. == 유한 퍼텐셜 우물 == [[파일:나무_사각 퍼텐셜 문제_유한 퍼텐셜 우물.png|width=250px&align=center]] 이 문제에서의 퍼텐셜 분포는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle V(x)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (x>| a |)\\ \displaystyle -| V | &\quad (x<| a |)\end{array}\right. )] }}} === 비속박 상태 === 비속박 상태는 [math(E>|V|)]를 만족시키는 경우이다. 위의 문제들과 같이 [math(x<-a)] 영역을 '''영역 Ⅰ''', [math(| x|a)]인 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}- |V| \varphi_{2} =E \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=E \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 따라서 다음의 치환을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle k_{1}^{2}& := \frac{2mE}{\hbar^{2}}\\k_{2}^{2}& := \frac{2m(E+ |V|)}{\hbar^{2}}\end{aligned})] }}} 모든 영역에서의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-k_{1}^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k_{2}^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=-k_{1}^{2} \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 따라서 모든 영역의 해는 진동하는 형태로 나오게 된다. 그런데 '''사각 퍼텐셜 장벽'''에서의 [math(E-V)]를 [math(E+ |V|)]로 대치하면, '''사각 퍼텐셜 장벽'''의 결과를 그대로 이용할 수 있으므로 투과 계수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{T}&=1+\frac{1}{4}\biggl[ \frac{k_{1}^{2}-k_{2}^{2}}{k_{1}k_{2}} \biggr]^{2}\sin^{2}{(2k_{2}a)} \\&=1+\frac{1}{4}\frac{V^{2}}{E(E+|V|)}\sin^{2}{(2k_{2}a)} \end{aligned} )] }}} 반사 계수는 구해볼 필요 없이, [math(R=1-T)]이다. '''사각 퍼텐셜 장벽'''을 논의하면서 특정한 [math(k_{2})]에선 투과 계수가 1이 나올 수 있음을 보았다. 이 경우에도 마찬가지로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle n\biggl( \frac{\lambda}{2} \biggr)=2a )] }}} 를 만족시키면, 투과 계수가 1이 된다. [math(\lambda)]는 영역Ⅱ에서의 파의 파장이다. 장벽 바깥의 함수가 사인파 꼴인 것에서부터 눈치챘겠지만, 이 경우는 파동함수가 규격화(Normalization) 되지 않는다. === 속박 상태 === '''유한 퍼텐셜 우물'''의 속박 상태를 고려하자. 이 경우, 입자의 에너지 또한 음수이므로 [math(-|E|)]로 쓸 것이다. 또한, 속박 상태에서 [math(|E|<|V|)]가 성립하는 점도 주의해야 한다. 위의 문제들과 같이 [math(x<-a)] 영역을 '''영역 Ⅰ''', [math(| x |a)] 영역을 '''영역 Ⅲ'''라 하자. 각 영역에서의 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=-|E| \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}- |V| \varphi_{2} =-|E| \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2} \varphi_{3}}{\partial x^{2}}=-|E| \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 다음의 치환을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\begin{aligned}\displaystyle \kappa^{2}& := \frac{2m|E|}{\hbar^{2}}\\k^{2}& := \frac{2m(|V|-|E|)}{\hbar^{2}}\end{aligned})] }}} 각 영역의 방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{domain I}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{1}}{\partial x^{2}}=\kappa^{2} \varphi_{1} \\ (\text{domain II}) & \quad \frac{\partial^{2} \varphi_{2}}{\partial x^{2}}=-k^{2} \varphi_{2} \\ (\text{domain III}) & \quad \frac{\partial^{3} \varphi_{3}}{\partial x^{3}}=\kappa^{2} \varphi_{3} \end{aligned} )] }}} 따라서 방정식의 꼴만 보고서도 영역Ⅰ, 영역Ⅲ은 지수적인 함수가, 영역Ⅱ는 진동하는 함수가 해가 될 것을 추측 가능하다. 따라서 각 영역의 해의 꼴은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}&=Ae^{\kappa x} \\ \varphi_{2}&=Be^{ikx}+Ce^{-ikx} \\ \varphi_{3}&=De^{-\kappa x} \end{aligned} )] }}} 이때, 영역Ⅰ, 영역Ⅲ에서 각각 [math(x \to - \infty)], [math(x \to \infty)]일 때 발산하는 해는 해에서 제외하였다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(-a)&=\varphi_{2}(-a) \\ \varphi_{2}(a)&=\varphi_{3}(a) \\ \biggl. \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x} \biggr|_{x=-a}&=\biggl. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \biggr|_{x=-a} \\ \biggl. \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x} \biggr|_{x=a}&=\biggl. \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial x} \biggr|_{x=a} \end{aligned} )] }}} 따라서 다음과 같이 파동함수의 경계 조건을 이용하여 연립방정식을 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \left\{\begin{matrix}\, \begin{aligned} Ae^{- \kappa a}&=Be^{-ika}+Ce^{ika} \\ Be^{ika}+Ce^{-ika}&=De^{\kappa a} \\ \kappa Ae^{- \kappa a} &= ikBe^{-ika}-ikCe^{ika} \\ ikBe^{ika}-ikCe^{-ika} &= - \kappa De^{-\kappa a} \end{aligned} \end{matrix}\right. )] }}} 이 방정식은 미지수 4개에 식 4개이므로 상수 [math(A \sim D)]는 결정될 수 있고, 이 연립 방정식을 행렬로 나타내면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{bmatrix} e^{-\kappa a} & -e^{-ika} & -e^{ika} & 0 \\ 0 & e^{ika} & e^{-ika} & -e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -ike^{-ika} & ike^{ika} & 0 \\ 0 & ike^{ika} & -ike^{-ika} & \kappa e^{-\kappa a} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} )] }}} 그런데, [math(A=B=C=D=0)]을 제외한 해를 가지려면, [[행렬식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{vmatrix} e^{-\kappa a} & -e^{-ika} & -e^{ika} & 0 \\ 0 & e^{ika} & e^{-ika} & -e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -ike^{-ika} & ike^{ika} & 0 \\ 0 & ike^{ika} & -ike^{-ika} & \kappa e^{-\kappa a} \end{vmatrix} =0 )] }}} 을 만족시켜야 한다. 그런데, [math(G := (\kappa+ik) e^{ika})]로 둔다면, 소행렬식으로 분해하여 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle e^{-2\kappa a} \begin{vmatrix} G & G^{\ast} \\ G^{\ast} & G \\ \end{vmatrix} =0)] }}} 따라서 위 조건을 만족시키려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle G^{2}-(G^{\ast})^2=0 \, \to \, G= \pm G^{\ast} )] }}} 이어야 하고, [math(G)], [math(G^{\ast})]는 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} G&=\sqrt{k^{2}+\kappa^{2}} e^{ika} e^{i \phi} \quad \biggl( \phi=\tan^{-1}{\biggl(\frac{k}{\kappa}\biggr)} \biggr) \\ G^{\ast}&=\sqrt{k^{2}+\kappa^{2}} e^{-ika} e^{-i \phi} \end{aligned})] }}} 따라서 두 가지 경우를 생각할 수 있다. '''(ⅰ) 양의 조건''' 우선 양의 조건 [math(G=G^{\ast})]를 택하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle e^{i(ka + \phi)}= e^{-i(ka + \phi)})] }}} 이를 만족시키려면 다음이 성립해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle ka+\phi=0)] }}} 위의 조건들을 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle ka+\tan^{-1}{\biggl(\frac{k}{\kappa}\biggr)}=0 \, \to \, \frac{k}{\kappa}=-\tan{(ka)} )] }}} 이를 일반화하면, 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} k\cot{(ka)}&=-\kappa \\ \frac{G}{G^{\ast}}&=1 \end{aligned} )] }}} '''(ⅱ) 음의 조건''' 다음으로 음의 조건 [math(G=-G^{\ast})]를 택하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( e^{i(ka + \phi)}= -e^{-i(ka + \phi)})] }}} 이를 만족시키려면 다음이 성립해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle ka + \phi=\frac{\pi}{2} )] }}} 위의 조건들을 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle ka+\tan^{-1}{\biggl(\frac{k}{\kappa}\biggr)}=\frac{\pi}{2} \, \to \, \frac{k}{\kappa}=\tan{\biggl(\frac{\pi}{2}- ka \biggr)}=\cot{(ka)} )] }}} 이를 일반화하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} k\tan{(ka)}&=\kappa \\ \qquad \qquad \frac{G}{G^{\ast}}&=-1 \end{aligned} )] }}} 위에서 얻었던 행렬 방정식을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{bmatrix} \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{-ika} & -\kappa e^{ika} & 0 \\ 0 & G & G^{\ast} & 0 \\ 0 & G^{\ast} & G & 0 \\ 0 & ike^{ika} & -ike^{-ika} & \kappa e^{-\kappa a} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} )] }}} 형태로 만들 수 있으므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle BG+CG^{\ast}=0 \, \to \, \frac{C}{B}=-\frac{G}{G^{\ast}} )] }}} 또한 [math(G = \pm G^{\ast})]이므로 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \frac{C}{B}=\pm 1 )] }}} '''(ⅰ) 양의 조건: [math(\boldsymbol{B=-C})]일 때''' 이 경우는 [math(G=G^{\ast})]이므로 [math(k\cot{(ka)}=-\kappa)]를 함께 이용하여 계산하면 기함수로 구성된 다음의 고유함수를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(x)&=-2iBe^{\kappa(x+a)}\sin{(ka)} \\ \varphi_{2}(x)&=2iB\sin{(kx)} \\ \varphi_{3}(x)&=2iBe^{-\kappa(x-a)}\sin{(ka)} \end{aligned} )] }}} 따라서 이러한 고유 상태를 '''기 고유상태'''라 하며, '''odd parity'''를 갖는다고 한다. '''(ⅱ) 음의 조건: [math(\boldsymbol{B=C})]일 때''' 이 경우는 [math(G=-G^{\ast})]이므로 [math(k\tan{(ka)}=\kappa)]를 함께 이용하여 계산하면 우함수로 구성된 다음의 고유함수를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} \varphi_{1}(x)&=2Be^{\kappa(x+a)}\cos{(ka)} \\ \varphi_{2}(x)&=2B\cos{(kx)} \\ \varphi_{3}(x)&=2Be^{-\kappa(x-a)}\cos{(ka)} \end{aligned} )] }}} 따라서 이러한 고유 상태를 '''우 고유상태'''라 하며, '''even parity'''를 갖는다고 한다. 위의 상수 [math(B)]에 대해 속박 상태를 다루고 있으므로 파동함수는 규격화 가능하고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} | \varphi |^{2}\,dx=1 )] }}} 의 조건을 도입하면, 결정할 수 있음을 일러둔다. 구체적인 값을 구하는 것은 생략한다. 각 상태의 고유함수를 얻었으므로 계의 에너지와 퍼텐셜의 관계를 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \kappa^{2}+k^{2}=\frac{2m |V|}{\hbar^{2}} )] }}} 이므로, 무차원 변수 [math(ka := \xi, \, \kappa a := \eta)]를 도입하고, 위 식의 양변에 [math(a^{2})]을 곱하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \xi^{2}+\eta^{2}=\frac{2ma^{2} |V|}{\hbar^{2}} := \rho^{2} )] }}} 으로 쓸 수 있다. 위 식은 [math(\xi \, \text{-} \, \eta)] 평면상에서 반지름이 [math(\rho)]인 원을 나타낸다. 또한, 기 고유상태와, 우 고유상태에 대해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{odd}) & \quad k\cot{(ka)}=-\kappa \\ (\text{even}) & \quad k\tan{(ka)}=\kappa \end{aligned} )] }}} 의 조건을 얻었고, 위 식 또한, 양변에 [math(a)]를 곱함으로써 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} (\text{odd}) & \quad \eta = -\xi \cot{\xi} \\ (\text{even}) & \quad \eta = \xi \tan{\xi} \end{aligned} )] }}} 로 쓸 수 있다. [math(\xi \, \text{-} \, \eta)] 평면상에서 [math(\eta)]는 [math(\xi)]의 함수가 된다. 다만, [math(k,\,\kappa, \,a)] 모두 양수 영역에 있다는 것에 유의해야 한다. 즉, 1사분면만 생각하여야 한다는 것이다. 따라서 아래의 식들의 교점은 유한 퍼텐셜 우물에 속박이 허용된 [math(\eta,\,\xi)]이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \xi^{2}+\eta^{2}=\rho^{2}\\ \eta= -\xi \cot{\xi} \quad \mathrm{or} \quad \eta = \xi \tan{\xi} \end{array}\right.)] }}} 아래의 그림을 참조하자.[* 즉, 푸른 그래프가 우 고유상태일 때이며, 적색 그래프가 기 고유상태일 때이다.] [[파일:나무_유한퍼텐셜우물_조건그래프_수정.png|width=300&align=center]] 따라서 유한 퍼텐셜 우물에 속박이 허용된 입자의 에너지의 크기와 퍼텐셜 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.[* 실제 퍼텐셜과 입자의 에너지는 음수임에 유의하자.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \begin{aligned} | E |&=\frac{\eta^{2} \hbar^{2}}{2ma^{2}} \\ | V |-| E |&=\frac{\xi^{2} \hbar^{2}}{2ma^{2}} \end{aligned} )] }}} 따라서 속박된 상태가 몇 개 존재할 수 있는지는 교점의 개수[* 최솟값은 [math(0 \leq \rho < \pi/2)]일 때 1개이다.]로 파악할 수 있고, 위 그래프에서 원과 처음 만나는 상태는 우 고유상태이며, 이때 [math(\xi)]는 최댓값을 갖는다. 따라서 첫 번째 고유상태는 우 고유상태이며, 이때 입자의 에너지의 크기가 최댓값을 가짐을 이용하면, 입자의 에너지는 음수이므로 이때 최솟값을 갖는다. 이것이 '''유한 퍼텐셜 우물의 바닥 상태'''이다. 그 이후로, 짝수 번째 상태는 기 고유상태, 홀수 번째 상태는 우 고유상태이다. 또한, 맨 위의 무한 퍼텐셜 우물에 속박된 입자는 무한 개의 고유상태를 가질 수 있었던 것에 비해, 유한 퍼텐셜 우물의 경우 허용될 수 있는 [math(\eta)], [math(\xi)]는 제한적이기 때문에 제한된 수만큼의 고유상태를 갖는다. 물론, 퍼텐셜의 깊이가 매우 깊어질 경우 허용되는 상태의 수는 매우 많아지며, '''퍼텐셜 깊이가 무한해지면, 이 결과는 무한 퍼텐셜 우물 문제의 결과를 따라간다는 것 또한 증명할 수 있다.''' [[파일:나무_유한퍼텐셜우물_고유함수.svg|width=370&align=center]] 첨자 [math(n)]은 위 유한 퍼텐셜 우물에 허용된 [math(n)]번째 상태를 의미한다. 한참 전에서 다뤘던 그래프에서 [math(\pi \leq \rho <3\pi/2)]일 때는 우 고유상태 2개, 기 고유상태 1개가 허용됨을 이미 추측할 수 있었고, 결과도 그대로이다. 또한, 위에서 밝혔던 대로 바닥 상태([math(n=1)])는 우 고유상태에서 갖는다. 또한, '''영역Ⅰ,Ⅲ'''에서는 지수함수 형태가, '''영역Ⅱ'''에서는 진동하는 형태가 된다. 가장 중요한 것은, 무한 퍼텐셜 우물 문제의 경우 우물 밖([math(|x|>a)])의 파동함수는 없었지만 유한 퍼텐셜 우물은 지수함수가 존재한다는 점이다. 따라서 '''유한 퍼텐셜 우물에서는 우물 밖에서도 입자가 관측될 수 있다.''' [[http://demonstrations.wolfram.com/BoundStatesInASquarePotentialWell/|이곳]]에서 시뮬레이션 해볼 수 있다. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[양자역학]] [각주][include(틀:문서 가져옴, title=상자 속 입자, version=88)] [[분류:물리학]]캡챠되돌리기