문서 보기문서 편집수정 내역 오일러 수열 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+2 Euler [[數]][[列]] / Euler numbers}}} [math(\coth x)]를 기반으로 한 [[생성함수]]로 정의되는 [[베르누이 수열]]처럼 오일러 수열은 [math({\rm sech}\,x)]를 기반으로 한 생성함수로 정의되는 [[수열]]이다. 거듭제곱 합의 공식을 통해 오래전부터 연구가 되어왔던 [[베르누이 수열]]과는 달리 오일러 수열은 그야말로 [math({\rm sech}\,x)], [math(\sec x)]의 테일러 급수 정도에서밖에 등장하지 않기 때문에 지명도가 훨씬 낮다. 물론 그 성질에 대해서는 꾸준히 연구가 진행되고 있긴 하다. 대표적인 특징으로 오일러 수열은 '''모든 홀수 항이 항상 [math(\bf0)]'''[* 유일하게 [math(B_1 \ne 0)]인 베르누이 수열과는 대조적이다.]이며, 모든 짝수 항도 '''정수값'''이 나오는 것으로 알려져 있다. 특히 [math(4)]의 배수인 짝수 항은 양수이고 그 이외의 짝수 항은 모두 음수가 나오는데, 이를 모두 양수로 보정하기 위해 일반적인 오일러 수열 [math(E_{2n})] 대신 [math((-1)^nE_{2n})]을 오일러 수열로 이용하는 경우도 있다. 후자의 경우 학자마다 기호 사용이 제각각이라 통일된 표기가 없지만, 대체로 [math(E_{2n})]에 첨자나 장식 기호를 써서 표기한다. 대략 제[math(18)]항까지의 값은 다음과 같다.(홀수 항의 값은 생략) || [math(n)] || [math(0)] || [math(2)] || [math(4)] || [math(6)] || [math(8)] || [math(10)] || [math(12)] || [math(14)] || [math(16)] || [math(18)] || || [math(E_n)] || [math(1)] || [math(-1)] || [math(5)] || [math(-61)] || [math(1385)] || [math(-50521)] || [math(2702765)] || [math(-199360981)] || [math(19391512145)] || [math(-2404879675441)] || == 정의 == 다음 [[생성함수]]를 이용하여 정의된다. || [math(\displaystyle{\rm sech}\,x = \frac1{\cosh x} = \frac2{e^x + e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!}x^n)] || [[삼각함수#s-8.2|쌍곡선 함수를 복소평면으로 확장시키면]] [math(\cosh ix = \cos x)]의 관계에 있으므로 위의 생성함수에 [math(ix)]를 대입하면 홀수항이 [math(0)]이 나와야 한다는 성질이 얻어진다. || [math(\displaystyle\begin{aligned} {\rm sech}\,ix &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!}(ix)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}(ix)^{2n} + \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n+1}}{(2n+1)!}(ix)^{2n+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n} + i\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\ &= \sec x \end{aligned} \\ \therefore E_{2n+1} = 0)] || 이에 따라 생성함수도 다음과 같이 축약할 수 있다. || [math(\displaystyle{\rm sech}\,x = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} )] || 일반적으로 [[베르누이 수열]]이 점화식을 통해 계산되는 것처럼, 오일러 수열도 실제 수열의 값을 계산할 때에는 좌변의 역수 [math(\cosh x)]의 테일러 급수를 이용하여 유도되는 점화식을 쓴다. || [math(\displaystyle\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}2 = \frac12 \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} \right\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots \\ \begin{aligned} \cosh x\,{\rm sech}\,x &= \left( {E_0} + \frac{E_2}{2!}x^2 + \frac{E_4}{4!}x^4 + \frac{E_6}{6!}x^6 + \cdots\cdots \right) \left( 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots\cdots \right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r}}{(2n-2r)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}}{(2r)!(2n-2r)!}x^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac1{(2n)!} \frac{E_{2r}(2n)!}{(2r)!(2n-2r)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n)!} \sum_{r=0}^n \binom{2n}{2r}E_{2r}x^{2n} \\ &= E_0 + \frac 1{2!} \sum_{r=0}^1 \binom2{2r}E_{2r}x^2 + \frac1{4!} \sum_{r=0}^2 \binom4{2r}E_{2r}x^4 + \frac1{6!} \sum_{r=0}^3 \binom6{2r}E_{2r}x^6 + \cdots\cdots \\ &= 1 \end{aligned})] || 항등식이므로 [math(\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{2n}{2r}E_{2r} = \delta_{0,\,n})]이며(단, [math(\delta_{0,\,n})]은 [[크로네커 델타]]) 이 식으로부터 점화식이 얻어진다. || [math(\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{2n}{2r}E_{2r} = E_{2n} + \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n}{2r}E_{2r} = \delta_{0,\,n} \\ \therefore E_{2n} = \delta_{0,\,n} - \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n}{2r}E_{2r})] || 보통은 [math(n\ge1)]이라는 조건을 붙이지만 공합(empty sum)[* 더해지는 수열 [math(a_n)]의 종류에 관계없이 [math(\alpha<\beta)]에 대해 합의 범위가 [math(\displaystyle\sum_{i=\beta}^\alpha a_n)]으로 주어지는 것.]을 [math(0)]으로 약속하는 일반적인 정의에 따르면 위 식은 음이 아닌 정수에 대해 성립한다. == 이용 == [math(\sec x)], [math({\rm sech}\,x)]의 [[테일러 급수]]에서~~밖에 안~~ 쓰인다. ||'''''' * [math(\displaystyle\sec x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = 1 + \frac12x^2 + \frac5{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots)] * [math(\displaystyle{\rm sech}\,x = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac12x^2 + \frac5{24}x^4 - \frac{61}{720}x^6 + \cdots\cdots)] || == [[베르누이 수열]]과의 관계 == 삼각함수 및 쌍곡선 함수가 각종 사칙연산을 통해 서로 연관되어 있기 때문에, 베르누이 수열과 오일러 수열 역시 서로 무관하지는 않다. 다만, 아무래도 각 함수의 곱(즉, 테일러 급수끼리의 곱)이 반드시 포함되어 있기에 서로 합연산의 관계에 있어서 손계산이 그렇게 간단한 형태로 나오지는 않는다. 차라리 서로 점화식의 관계에 있다고 이해하는 편이 빠를 것이다. === 오일러 수열을 이용한 베르누이 수 표현 === [math({\rm sech}\,x\sinh x = \tanh x)]이므로 || [math(\displaystyle\begin{aligned} \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \right\}\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} &= \mathop{\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n-1}} \\ \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!E_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \binom{2n+1}{2r}E_{2r}x^{2n+1} \\ &= \mathop{\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}\mathop{\color{red}\sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r}}{\color{blue}x^{2n-1}} \end{aligned} \\ \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} = \sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r} \\ \therefore B_{2n} = \frac{2n}{16^n - 4^n}\sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2r}E_{2r})] || 오일러 수열이 정수 수열이고 조합도 자연수이기 때문에 결과적으로 연산 자체는 정수의 사칙연산이 된다. 분수끼리 더하고 빼야하는 베르누이 수열의 점화식 계산보다는 훨씬 수월할 것이다. === 베르누이 수열을 이용한 오일러 수열 표현 === [math(\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x)]이므로, [math(\sinh x\tanh x)]부분에 대해 || [math(\displaystyle\begin{aligned}&\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} \left\{\sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{(16^r - 4^r)B_{2r}x^{2r-1}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{16^r - 4^r}{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!B_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\end{aligned})] || 따라서 [math({\rm sech}\, x)]에 관한 등식은 다음과 같이 되며 || [math(\displaystyle\begin{aligned}&\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\right\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{E_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n}} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)!}x^{2n} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}\right\}x^{2n} \\ &= {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\left\{ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} \right\}}{\color{blue}x^{2n}}\end{aligned} \\ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} = \frac{E_{2n}}{(2n)!} \\ \therefore E_{2n} = 1 - \frac1{2n+1} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r})] || [math(r=0)]이면 [math((16^r - 4^r)\dbinom{2n+1}{2r}B_{2r} = 0)]이므로 합의 기호 부분은 [math(r=0)]부터 더해주는 것으로 바꿔도 무관하다. 즉 || [math(\displaystyle E_{2n} = 1 + \dfrac1{2n+1} \sum_{r=0}^n (4^r - 16^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r})] || 한편 [math(\dfrac1{2n+1}\dbinom{2n+1}{2r} = \dfrac1{(2n+1)}\dfrac{(2n+1)!}{(2r)!(2n-2r+1)!} = \dfrac{(2n)!}{(2r)!(2n-2r+1)(2n-2r)!} = \dfrac1{2n-2r+1}\dbinom{2n}{2r})]이므로 || [math(\displaystyle E_{2n} = 1 + \sum_{r=0}^n \frac{4^r - 16^r}{2n-2r+1}\binom{2n}{2r}B_{2r})] || 로도 나타낼 수 있다. 어느 식이든 베르누이 수열이 유리수 수열이기 때문에 오일러 수열로 나타낸 베르누이 수열과는 달리 이쪽은 오히려 계산이 복잡해진다. [[분류:해석학(수학)]][[분류:수열]]캡챠되돌리기