음수(수학) (r0 버전으로 되돌리기)

[include(틀:수 체계)]
[include(틀:수와 연산)]
[목차]
== 개요 ==
{{{+1 [[陰]][[數]] / Negative Number}}}

[[0]]보다 작은 수. [[마이너스]](−) 기호를 붙여 나타낸다. 반대말은 [[양수(수학)|양수]](陽數). [[중국어]]나 [[일본어]]에서는 음수를 부수(负数/負数)라 쓴다.

[[집합]] 기호로는 [math(\mathbb{Z}^-)][* 음의 [[정수]]], [math(\mathbb{Q}^-)][* 음의 [[유리수]]], [math(\mathbb{R}^-)][* 음의 [[실수(수학)|실수]]] 등이 있다.
== 상세 ==
한국의 수학 교과과정에서는 중1 수학에서 처음 소개되며,[* 6차 교육과정에서는 초6 과정에 음의 정수를 소개하였으나, [[7차 교육과정]] 이후로 중1 과정에서 음수를 [[유리수]]와 같이 처음 설명하는 것으로 변경되어 현재까지 이어지고 있다.] 이 때 음수의 [[사칙연산]]과 크기 비교 방법을 배운다.
 * 음수를 더하는 것은 그 반대 부호의 양수를 빼는 것과 같다. 
 5 + (-3) = 5 - 3 = 2.
 * 음수를 빼는 것은 그 반대 부호의 양수를 더하는 것과 같다. 
 5 - (-3) = 5 + 3 = 8.
 * 음수의 곱셈은, 부호 상관 없이 두 수를 곱한 뒤에, 다음 규칙에 따라 부호를 붙인다.
  * (양수) × (양수) → (양수)
  * (양수) × (음수) → (음수) × (양수) → (음수)
  * (음수) × (음수) → (양수) 
 * 음수의 나눗셈의 경우에도, 부호 상관 없이 두 수를 나눈 뒤에 곱셈과 동일한 규칙에 따라 부호를 붙인다.
 * 음수의 크기는 항상 양수보다 작으며, - 뒤에 오는 값 즉 [[절대값]]이 클수록 더 작아진다. -5 < -3. 
 * 음수를 배움으로서 직선 위에 모든 수를 배치한 [[수직선]](number line)을 생각할 수 있고, 수직선에서 오른쪽으로 갈수록 크기가 커진다는 개념을 생각할 수 있다.
 * 덧셈에 대해서만 닫혀있다.[* 특히 음수끼리의 곱셈과 나눗셈의 경우 결과값은 항상 양수이다.]

고등학교 과정에서 [[복소수]]를 배우면서 다음 성질이 추가된다.
 * 음수는 순[[허수]]의 [[제곱]]이다.

[[복소평면]]에서는 다음과 같은 성질을 띤다.
 * 모든 음수에 대해서 [[편각]]은 [[원주율|[math(\pi)]]]이다.
 * [[복소평면#s-3|다색 복소평면]]에서는 물색(cyan)으로 나타낸다.

이 중 아마 사람들을 가장 놀라게 하는 부분은 '''음수 곱하기 음수는 양수'''라는 부분일 것이다. 0보다 작은 수끼리 곱했는데 0보다 큰 수가 나온다니! 중1들을 멘붕시키는 이 개념은 중2때 [[부등식]]을 처음 배울 때 '''음수를 곱하면 크기가 역전된다''' (즉 [math(a<b)]이고 [math(c<0)]이면 [math(ac>bc)])는 내용으로 변주되어 또 한번 혼란을 불러일으키게 된다. 그리고 [[페이크|음수 기호가 붙어 있지만 실제로는 양수]]도 이따금씩 나오곤 한다.[* 대표적으로 [math(-\ln \dfrac{1}{2})]. '''밑이 1보다 큰 수, 진수가 [[0과 1 사이의 수]]인 [[로그(수학)|로그]]의 값은 음이므로''', 여기에 [math(-1)]을 곱함으로써 결과적으로는 양수가 되는 것이다. 이외에도 [math(-\sin 4, -\cos 3)] 같은 것들이 있다.]

위안이 될지는 모르겠지만, 이걸 곤란해하는 사람들은 요즘의 중1뿐만은 아니었던 듯하다. 작가 스탕달[* [[적과 흑]]의 그 스탕달 맞다.]도 자전적 소설에서 “1만 프랑의 빚과 5백 프랑의 빚을 곱하면 어떻게 5백만 프랑의 이익이 된다는 말인가?” 라고 했다는 걸 보면...[* 이 질문에 대한 해답은 "그러게 왜 돈이랑 돈을 곱해놓고 그걸 이익과 혼동하느냐"이다. [br] 예를 들어 프랑 대신 달러로, "1달러 [math(\times)] 1달러"를 계산해보자. [math(1 \times 1=1)]이니까 "1달러[math(\times)]1달러 = 1달러"라고 생각할 수도 있으나, 1달러=100센트이므로 "1달러 [math(\times)] 1달러 = 100센트[math(\times)] 100센트 = 10000센트 = 100달러"라고 계산할 수도 있지 않을까? 아니면, 대충 1달러=1000원이라고 치고 "1달러 [math(\times)] 1달러 = 1000원 [math(\times)] 1000원 = 1000000원 = 1000달러" 라고 계산할 수도 있지 않을까? [br] 이런 식으로 하나의 계산에 여러 개의 결과가 나오는 이유는 애초부터 1달러와 1은 다르다는 것을 식에 반영하지 못했기 때문이다. 1달러는 "달러만큼의 가치를 가진 무언가가 1개" 있는 것이지, 순수한 1이 아니다. 따라서 "달러"도 [math(x)]나 [math(y)]같은 미지수로 취급하여, [math(1x \times 1x = 1x^2)]이듯이 1달러 [math(\times)] 1달러 = 1달러[math(^2)]라고 계산하면 1달러=100센트를 대입하든 1달러=1000원을 대입하든 모순 없이 똑같은 결과가 나온다. 문제는 달러[math(^2)]라는 게 도대체 무엇인가인데, 경제학적 계산 속에는 나올 수 있겠으나 일상에서는 사과[math(^2)]나 사람[math(^2)]만큼이나 의미없는 개념이다. [br]  따라서 "1만 프랑의 빚과 5백 프랑의 빚을 곱하면" 나오는 것은 "5백만 프랑의 이익"이 아니라 "500만 프랑[math(^2)]의 의미를 알 수 없는 무언가"이다. 애초에 빚과 이익이 완벽하게 반대되는 개념도 아니므로, 음수 개념을 실제로 이해할 때 도움이 되는 문장은 "1만 프랑의 빚을 500번 탕감하면 [[순자산]]이 500만 프랑 증가한 것과 다름없다."이다.[br] 더 자세한 내용은  다음 링크를 참조하자. 출처: [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3566932&cid=58944&categoryId=58970|네이버캐스트 오늘의 과학 "-1×-1=1인 이유는?"]]] 사실 음수는 그 조작 난이도에 비해선 수학에 상당히 늦게 들어온 편으로, 0과 음수의 개념이 제대로 쓰인 것은 잘 봐줘야 16세기 즈음이다. 심지어는 [[미적분]]이 등장할 때에도 음수를 자연스럽게 받아들이지 못하는 수학자들이 있었을 정도로, 그만큼 음수 개념을 받아들이는 것이 동서고금을 막론하고 처음 보는 사람들에겐 난해하다고 생각해도 될 것이다.

물론 요즘에는 처음 배우는 사람들이나 그렇고, 음수는 수학에서라면 어느 분야에서나 의식하기 힘들 정도로 깊게 들어와 있고, 실생활에서도 여러 가지 상황에서 유용하게 쓰이곤 한다.

참고로 [[음함수]]와는 전혀 관계 없다.

== 실생활에서의 활용 ==
음수는 0 밑으로 기준이 필요할 때 사용될 수 있는데, [[섭씨]] 온도에서 영하라던가, 해수면 아래 땅의 해발고도가 음수라던가 등등에서 찾아볼 수 있다. 스포츠에서 점수 등을 나타낼 때 이 방향으로 많이 쓰인다. [[골프]]에서 음수는 기준 타수보다 덜 쳤다는 뜻이며, 전체 스코어로 봤을 때는 언더파에 해당한다. 즉, -3은 기준 타수보다 3타 덜 쳤다는 뜻이다. [[축구]] 리그에서의 골득실차, 다른 리그에서의 세트 득실, 승점 등등에도 음수가 등장한다.

이전과의 차이를 나타낼 때 증가/감소의 구분을, 감소의 경우 음수량으로 나타내어 훨씬 편리하게 나타낼 수 있다. 증가율 -1% = 1% 감소했다 이런 식으로. 이러한 이유로 경제/금융 분야에서 마이너스 성장, [[마이너스 금리]] 등 음수가 잘 튀어나오는 편이다.

[[전류]] 문서에도 나와 있지만, [[전자]]의 전하량이 음수로 정의된 것은 역사적으로 전류를 먼저 양에서 음으로 흐르는 방향으로 정의했고, 그 다음에 전자가 발견되어서 일어난 현상이다. 전기 관련을 제외하면 대신에 (개수는 물론이고) 길이나 질량을 포함한 대개의 물리량에는 보통 음수가 사용되지 않는다. 중고등학교의 수학 과목 시험에서는 이를 이용한 '답의 범위줄이기'를 많이 하는 편이다. 물론 '보통'이다 뿐이지 실제로 [[Exotic Matter|음의 질량을 갖는 물질]]은 아직 발견되지는 않았으나 만약 존재한다면 그 성질에 대해 연구하는 사람들도 있는 등, 음수가 사용될 수도 있는 가능성은 새로운 물리법칙을 나타내는 방식에 따라서 얼마든지 열려 있다.

[[한자사전]]에서는 음수의 사용을 금기시하는 풍조가 있다. [[부수]]에서 획이 빠진 글자[* [[王]], [[烏]], [[了]] 등]는 0획으로 표기하거나, 아예 엉뚱한 부수로 할당하는 경우가 대다수이다.

== 음수의 역사 ==
지금은 이렇게 유용하게 쓰이는 음수이지만, 근대 이전 대부분의 사람들에게는 음수는 상상조차 할 수 없는 개념이었다.

고대문명 시절에는 말할 것도 없었고, 수학이 추상적으로도 발달하기 시작한 고대 그리스 수학에서도 작은 수에서 큰 수를 빼는 것은 금지되어 있었다. 방정식의 해가 양수에서 나오지 않으면 그 방정식은 의미가 없는 것이었다. 마치 초등학교 교과에서 음수의 정석적인 취급인 [[존재의 부정]]을 생각해보면 얼추 비슷한 것이다. 수를 대수학적으로 생각하기보다는 도형들과 그 비율에 결부시키는 것을 선호한 그리스 사람들의 입장에서는 음수를 더욱 생각해내기 힘들었을 수도 있었을 것이다.

물론 그 당시에는 [[0]]도 존재하지 않았던 시절이었긴 하나, 0 개념이 나왔어도 음수 개념이 나왔으리란 보장이 없다. 당장 남은 사과 1 개를 먹어치워 가지고 있는 사과가 0 개가 된것까지는 그나마 납득이라도 되지만 더 나아가 여기서 사과를 더 먹을 수 있다(=음수는 [[실재]]한다)는 소리는 그냥 [[개소리]]로밖에는 안들릴 것이다. 수학적으로 바라보면 [[서수]]를 통해 자연스럽게 정의되는 0과 [[자연수]]들, 그리고 이들을 쪼개면서 얻어지는 [[유리수]], 그리고 삼각형 변에서 자연스럽게 나오는 대수적 [[무리수]] 그리고 [[원주율]] 같은 [[초월수]]마저도 모두 실재하는 대상을 통해 얻어진 것과 달리 음수는 순전히 '''[[복소수]]처럼 [[연산]]을 추상화하면서 등장한 개념'''이다.

실제로도 [[디랙 방정식]], [[티플러 원통]] 항목을 보면 알 수 있듯이 [[양자장론]], [[일반 상대성 이론]] 등 여러 [[현대 물리학]] 이론들은 입자 갯수나 [[질량]], [[에너지]] 같은 '''실체적인 대상을 통해 음수가 나오는 상황을 아예 이론 차원에서 엄격히 금하고 있으며'''[* 음수 에너지를 허용하면 [[인과율]]이 무너지게 되므로 이를 금하기 위해 상대성이론은 에너지 조건(Energy condition)을 도입하고, 양자장론에서는 아예 [[진공]]상태라는 하한선을 설정해 놓아 음수 입자가 나오는 것을 원천봉쇄하고 있다.], 그나마 음수가 등장하는 상황이래봐야 [[파동함수]] 위상이나 [[상호작용]] 결합상수에서 [[복소수]]랑 같이 튀어나온다거나 아니면 [[우주론]] 등 시공간을 다뤄야 하는 상황이다. 또한 [[열역학]] 쪽에서도 현대 과학기술을 총동원해야 [[절대영도|음의 온도]]를 양자적 규모로 겨우겨우 구현하는 정도이니 이런 개념에 접근조차 못했던 옛날 사람들이 음수를 상상하는 것은 여간 힘든 일이 아니었다.

그나마 수직선을 통해 음수를 시각화 하는 것마저도 [[복소평면]]을 이해하는 과정과 비슷하게 (1차원) [[데카르트 좌표계]]에 대한 개념이 필요하니, 실재한다고 자신있게 말할 수 있는 양수와 0이랑은 달리 분명 음수는 본질적으로는 [[허수]]적인 개념이다.

중화권을 제외하면 0과 음수의 개념은 인도 수학에서 처음 나타났고 시도되었다. 7세기 브라마굽타가 발견한 이차방정식의 근의 공식은 양수/음수해를 가리지 않는 통합적인 공식을 제공하고 브라마굽타는 여기서 음수해까지 논의하는 모습을 보인다. 하지만 이후의 [[알콰리즈미]]의 저서에서는 음수를 인정하지 않고, 또 이후의 기록에선 음수가 등장하는 등 오락가락한다.

이 시절 음수가 없었을 때에도 [[방정식]]의 이론은 계속 발전했지만 사용하기는 꽤 불편했다. 이차방정식의 예를 들어보면, 음수를 잘 아는 현대인은 모든 이차방정식을 [math(x^2 + ax + b = 0)]의 형태로 나타내어 (최고차항 계수는 나눈다고 한다면) 근의 공식을 쓸 수 있다. 하지만 음수를 생각하지 않는다면 [math(x^2 + ax = b)], [math(x^2 = ax + b)], [math(x^2 + b = ax )] (여기서 [math(a,b)]는 모두 양수) 이 셋은 서로 다른 방정식이다. 음수를 고려하지 않으면 다른 식으로 변형을 할 수 없기 때문이다. 즉 공식 3개를 따로 풀어야 했던 것이다. ([[알콰리즈미]] 문서도 참고하면 좋다.) 유럽 수학자들의 16세기의 방정식 풀기 대결의 주제였던 3차방정식의 경우는 더욱 심각했다. 누구는 [math(x^3 + ax = b)] 꼴은 잘 푸는데 [math(x^3 = ax + b)] 꼴은 손도 대지 못하고, 또 다른 누구는 반대로 저건 푸는데 다른건 못 풀고, 이런 식이었다. 현대수학 입장에서 보면 당최 이해할 수 없는 대환장파티가 음수 하나가 없어서 일어났던 것이다. 심지어는 타르탈리아의 공식을 갖다 베껴서 이 3차방정식 배틀을 종결시킨 [[카르다노]]도 이 한계에서 벗어나지는 못해서, 3차방정식을 13개 유형으로 분류해 풀이법을 써야 했다. 지금으로는 공식 하나로 끝날 내용을 말이다.

하지만 카르다노의 3차방정식 풀이법이 담긴 <위대한 술법(Ars Magna)>은 (비록 계수는 양수만 생각했지만) 풀이의 중간과정에서는 음수를 사용하여 음수를 수학의 주무대로 드디어 끌어왔다는 데에 의미가 있었다. [[복소수]] 문서에도 언급되어 있지만 카르다노는 이 저서에서 심지어 [[복소수|음수의 제곱근]]까지 등장시키는 대인배적 모습을 보인다. 지금의 관점에서 보면 고대부터 여태까지 3차방정식을 푸는 동안 음수가 제대로 등장하지 않은 것이 기가 차긴 하지만, 그만큼 유럽 수학자들이 음수를 받아들이는 건 이 이후에도 매우 힘든 과정이었다. 그 카르다노도 25년 뒤 --노망이 들었는지-- "음수 곱하기 음수가 양수라는 것은 양수 곱하기 양수가 음수가 된다는 것보다 더 틀린 말이다"라는 개드립을 친 걸 보면... 그래도 데카르트의 [[해석기하학]]과 뉴턴, 라이프니츠의 [[미적분학]] 등등 음수와 수직선의 개념이 자연스럽게 쓰이는 상황이 늘어나면서 수학자들은 음수에 조금씩 가까워지기 시작했고, [[실수]]에 대한 대수학적, 형식적인 태도가 정립된 후에야 비로소 주류수학자들은 더 이상 음수의 의미에 대해서 의심하지 않게 된다.[* a가 양수일 때 [math(\sqrt {-a})]는 [math(\sqrt ai)]와 같이 나타낸다.]

어찌 보면 음수가 어쩔 수 없이 필요할 정도로 수학이 발전한 후에야 사람들이 음수를 인정했다고 생각할 수도 있겠지만, 서양과는 다르게 흥미롭게도 중화권의 경우에는 무려 3세기의 구장산술부터 음수의 개념이 사용되었다. 빚과 자산을 양음으로 나타내는 현실적인 쓰임새 뿐만 아니라, 등식에서의 이항을 활용하는 부분처럼 추상적 표현으로서의 음수 활용도 등장한다. 여기서는 양수를 빨간 산가지, 음수를 검은 산가지로 표시하였는데 이는 현대에 정리된 [[흑자]]와 [[적자]]의 네이밍과는 반대이다. 물론 음수끼리의 곱셈 같은 내용은 어디에도 나와 있지 않는 등 수 체계로서 음수를 완벽하게 규정했다고 보기는 어렵다. 방정식은 수치적으로 잘 풀었지만 형식주의적인 기호대수는 결국 생각해내지 못했던 산학 특유의 한계점의 연장선상으로 볼 수도 있을 것이다.
== 음수 곱하기 음수는 왜 양수일까? ==
중등수학 수준에서 직관적인 설명은 [[해석적 연속|음수를 빼면 더하기가 된다는 개념을 확장하는 것]][* 그 결과로 나오는 것이 흔히 말하는 [[일차함수]]다.]이다. 즉, 2×3은 2를 3번 더하는 것이라면( [math(2 \times 3 = 2+2+2 = 6)] ) 2×(-3)은 2를 3번 빼는 것이고( [math(2 \times (-3) = -2 -2 -2= -6)] ) 그렇다면 (-2)×(-3)은 -2를 3번 빼는 것이므로 결과적으로는 6이 더해지게 된다.( [math((-2) \times (-3) = -(-2) -(-2) -(-2) = 2 +2 +2 = 6)] ) 회계 장부에 빗대 설명할 경우 예를 들어 [[빚|부채]] 20원을 3번 제거하면( [math((-20) \times (-3))] ) [[순자산]]은 60원 늘어나는 것이다.

정말 원론적인 이유는 [[공리#s-1|그렇게 하라고 정했기 때문]]이긴 하다. 다시 말해서 음수 곱하기 음수가 무조건 양수가 되어야 하는 이유는 어디에도 없다. 음수 곱하기 음수가 음수인 수학의 세계를 만드는 것도 불가능하지 않다. 그러나 그런 수학은 매우 복잡해지며, 역시 '음수 곱하기 음수는 양수'로 약속하는 편이 제일 속이 편하다.

수 체계나 연산법칙이 확장되는 과정은 보통 '기존의 법칙을 잘 만족시키며 일반화할 수 있는 체계'를 목표로 한다. 고상하게 말하면 [[수학교육학]]에서 Peacock의 "형식 불역의 원리"(principle of the performance of equivalent forms)라 부르는 이름이 있긴 하지만[* 형식불역의 원리의 다른 예로는 중2 과정에 나오는 [[지수(수학)|지수]]의 확장을 적용하는 방식이 있다.] 그게 중요한 건 아니고, 간단히 말하면 '''[[결합법칙]], [[교환법칙]], [[분배법칙]]을 비롯한 사칙연산의 성질들은 [[해석적 연속|음수에 대해서도 성립해야 한다]]'''는 것이다. 이것을 고려하면 [[분배법칙]]을 이용해 [math((-1) \times (-1)=1)]을 다음과 같이 이해할 수 있다. 만약 [math(1 + (-1) = 0)]이 맞다면, 1을 곱하면 [math(1 \times 1 + (-1) \times 1 = 0)]이다. 한편 -1을 곱하면 [math( (-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = 0)]이다. 둘을 비교하면 [math((-1) \times (-1)=1 \times 1 = 1)]일 수밖에 없다. [* 이 설명도 엄밀하지 않다고 느껴지는 수학 전공자들은 [[수 체계]] 문서에서 정수의 구성방법을 참고해도 좋다. 다만 수학 전공자가 아닌 이상 전혀 쓸모없는 내용임을 감안하자.]

하지만 이 형식적 설명만 갖고는 학생들에게는 별로 도움이 되지 못한다. 그렇다고 음수에 대한 직관적 모형을 생각하자니, 보통 쉽게 떠올리는 음수에 대한 직관적 모형인 [[수직선]]의 왼쪽이란 개념으로 음수의 곱셈을 설명하긴 매우 곤란하다. 이 문제 때문에 (음수)×(음수)=(양수)를 설명하는 건 은근히 골때리는 문제로, 두 가지를 조화시키기 위해 수학교사들은 지금도 수많은 노력을 하고 있다.

실생활에서의 활용 문단에서 상술했다시피 일반적으로 반대 성질의 대상을 나타내기 위해 음수를 사용한다. (음수)×(음수)=(양수)보다 비교적 직관적으로 받아들이기 쉬운 (양수)×(음수)=(음수)에서 '음수를 곱하는 것'을 '대상의 성질을 반대로 뒤집는 것'으로 이해한다면 '어떤 것과 반대되는 것의 반대되는 것은 원래의 어떤 것과 같다.'를 통해 (음수)×(음수)=(양수)라고 받아들일 수 있다.

기하적으로 직관적인 설명은 [[복소평면]]을 이용하는 것이다. [[허수|허수단위 [math(i)]]]에 대해서 [math(i^2 = -1)]이 성립하고, [math(i)]를 곱하면 좌표가 원점 기준 반시계 방향으로 90도 회전하는 성질을 이용하면 [math((-1) \times (-1) = (-1)\times i \times i = 1)]이 성립함을 보일 수 있다. 물론 엄밀히 말하자면 복소평면으로 설명한다면 이해하기만 쉬운거지 음수와 벡터값은 정의가 다르기 때문에 수학적으로는 틀린 설명이다. 애초에 복소평면을 이용하여 유도한 법칙 같은게 아니며 역사적으로 보면 오히려 (음수)×(음수)=(양수)이기 때문에 음수의 제곱근을 표현하기 위해 허수와 복소수의 개념이 만들어졌다.
[[파일:90-Degree_Rotations_in_the_Complex_Plane.png]]

[[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3566932&cid=58944&categoryId=58970|네이버캐스트 오늘의 과학 "-1×-1=1인 이유는?"]]
[[https://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=66417257|동 캐스트의 질의응답. 여러 가지 방법들이 잘 정리되어 있다]]

=== 동치류를 이용한 설명 ===
[[동치관계#s-4|동치류]]라는 개념을 이용해서 자연수 체계를 정수 전체로 확장하는 방법이 있으며, 해당 체계를 이용해서 음의 정수의 곱셈을 정의할 수 있다. 비슷한 방법으로 유리수, 무리수로도 확장이 가능하지만 여기서는 자연수로 음의 정수의 곱셈을 정의하는 방법을 주로 서술한다.

자연수 [math(n, m)]에 대해서 [math((n, m))]이라는 순서쌍을 정의하자.
그러면 이 순서쌍에 다음과 같은 대표원을 부여하여 동치관계를 부여할 수 있다.

[math(\forall n, m \in \mathbb{N})]에 대해
 * [math((n, m)=\left[m-n\right])]
  * 이 때, 아직 음수를 정의하지 않았으므로, 다음과 같이 정의한다.
   * [math(m>n)]이면 [math(\left[m-n\right])](양수)
   * [math(m<n)]이면 [math(\left[-(n-m)\right])](음수)
  * 이 관계가 동치관계임은 쉽게 보일 수 있다.
   * (반사성) [math((n,m)=\left[m-n\right]=\left[m-n\right]=(n,m))]이므로 [math((n,m)\sim(n,m))]
   * (대칭성) [math((n,m)\sim(p,q))]이면 [math(\left[m-n\right]=\left[q-p\right])]이므로 [math((p,q)\sim(n,m))]
   * (추이성) [math((n,m)\sim(p,q))]이고 [math((p,q)\sim(r,s))]이면 [math(\left[m-n\right]=\left[q-p\right]=\left[s-r\right])]이므로 [math((n,m)\sim(r,s))]

이 때, 자연수는 덧셈과 곱셈에 대해서 닫혀있는 집합이므로, 이 순서쌍에 다음과 같이 덧셈과 곱셈에 대해서 정의하자. 조금의 트릭을 사용하면 뺄셈 역시 덧셈의 일종으로 정의할 수 있다.[* 먼저 항등원의 대표원 [math(0)]을 [math(\left[0\right]=(a, a)\in\{(x, x)|\forall x \in \mathbb{N}\})]으로 정의된다는 것을 보이고, 이를 통해 [math((b, c))]의 덧셈의 역원 [math((c, b))]을 정의한 뒤, '''덧셈의 역원을 더하는 것이 해당 연산과 같다'''라는 것을 보이면 된다. 이렇게 만들어진 군을 '''그로텐디크 군(Grothendieck group)'''이라고 하며, 자연수에서 유도된 그로텐디크 군은 정수구조와 본질적으로 동일한 군이다.]

 * [math(\forall n_1, n_2, m_1, m_2 \in\mathbb{N})]에 대하여
  * 덧셈: [math((n_1, m_1)+(n_2, m_2)=(n_1+n_2, m_1+m_2))]
  * 곱셈: [math((n_1, m_1)\times(n_2, m_2)=(n_1m_2+n_2m_1, n_1n_2+m_1m_2))][* 이는 대수구조적으로 [math((m_1-n_1)(m_2-n_2)=m_1m_2+n_1n_2-(m_1n_2+m_2n_1))]이기 때문에 성립한다.]
  * 뺄셈: [math((n_1, m_1)-(n_2, m_2)=(n_1+m_2, m_1+n_2))]

이제, [math(-1\times-1=1)]임을 보이자.
먼저 [math(-1)]을 대표원으로 삼는 임의의 순서쌍 2개를 고른다. 여기서는 임의의 순서쌍 대신 [math((n+1, n), (m+1, m))]이라고 미지수를 이용해서 대수적으로 계산하겠다.
 * [math(\left[-1\right]\times\left[-1\right]=(n+1, n)\times(m+1, m)\\=((n+1)m+n(m+1), (n+1)(m+1)+nm)\\=(2nm+m+n, 2nm+m+n+1)=\left[1\right])]
즉, 동치관계에 따라 [math((-1)\times(-1)=1)]이 성립한다.

이를 토대로 일반화를 시켜보자. 식을 아래와 같이 변경해보자. 이 때, [math(a, b)]는 모두 양의 실수, [math(u_1, u_2, v_1, v_2)]는 0 이상의 실수라고 하자.[* 각 성분은 0 이상의 실수만이 들어갈 수 있지만, 결국 [math(a+u, b+v)]의 각 성분이 0 이상의 실수가 되면 되기 때문에 [math(u, v)]에는 0도 들어갈 수 있다.]
||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center><(>[math((a+u_1, a+u_2)\times(b+v_1, b+v_2)=((a+u_1)(b+v_2)+(a+u_2)(b+v_1), (a+u_1)(b+v_1)+(a+u_2)(b+v_2))]
이를 정리하면 다음과 같다.
[math(=(2ab+a(v_1+v_2)+b(u_1+u_2)+u_2v_1+u_1v_2, 2ab+a(v_1+v_2)+b(u_1+u_2)+u_1v_1+u_2v_2))]
[math(=(u_2v_1+u_1v_2, u_1v_1+u_2v_2))] ||

이제, [math(u_1, u_2, v_1, v_2)]에 대해서 각각 어떤 형태가 성립하는지를 보자. 먼저 표기를 축약하기 위해 [math((a+u_1, a+u_2)=p, (b+v_1, b+v_2)=q)]라고 둔다.

그러면, [math(u_1, u_2, v_1, v_2)]의 상태에 따라서 다음 6가지 중 하나가 성립함은 자명하다.
||<-3><tablealign=center><tablebgcolor=#eec0ff><colbgcolor=#c0ffee> [math(p)] ||<-3><colbgcolor=#eec0ff> [math(q)] ||
|| [math(u_1>u_2)] ||<colbgcolor=#c0ffee> [math(u_1=u_2)] ||<colbgcolor=#c0ffee> [math(u_2>u_1)] || [math(v_1>v_2)] || [math(v_1=v_2)] || [math(v_2>v_1)] ||
|| [math(p<0)] || [math(p=0)] || [math(p>0)] || [math(q<0)] || [math(q=0)] || [math(q>0)] ||

이때, 동치관계를 이용하여, [math(\min(u_1, u_2)=\min(v_1, v_2)=0)]이라고 간략화하자. 그러면 언급되지 않은 쪽이 0이 되며, 각 경우에 대해서 [math(p)]와 [math(q)]의 부호, 계산값은 아래칸과 같다.
||<-3><tablebgcolor=#eec0ff><tablealign=center><colbgcolor=#c0ffee> [math(p)] ||<-3><colbgcolor=#eec0ff> [math(q)] ||
|| [math(u_1>0)] ||<colbgcolor=#c0ffee> [math(u_1=u_2=0)] ||<colbgcolor=#c0ffee> [math(u_2>0)] || [math(v_1>0)] || [math(v_1=v_2=0)] || [math(v_2>0)] ||
|| [math(p<0)] ||<|2> [math(p=0)] || [math(p>0)] || [math(q<0)] ||<|2> [math(q=0)] || [math(q>0)] ||
|| [math(p=-u_1)] || [math(p=u_2)] || [math(q=-v_1)] || [math(q=v_2)] ||

이제 이 내용을 위의 [math(=(u_2v_1+u_1v_2, u_1v_1+u_2v_2))]에 대입해보자.

||<tablebgcolor=#fff><tablealign=center> [math(pq)] ||<bgcolor=#c0ffee> [math(p<0)][br][math(p=-u_1)] || [math(p=0)][br][math(u_1=u_2=0)] ||<bgcolor=#eec0ff> [math(p>0)][br][math(p=u_2)] ||
||<bgcolor=#c0ffee> [math(q<0)][br][math(q=-v_1)] ||<bgcolor=#eec0ff> [math((0, u_1v_1))][br][math(=u_1v_1>0)] || [math(0)] ||<bgcolor=#c0ffee> [math((u_2v_1, 0))][br][math(=-u_2v_1<0)] ||
|| [math(q=0)][br][math(v_1=v_2=0)] || [math(0)] || [math(0)] || [math(0)] ||
||<bgcolor=#eec0ff> [math(q>0)][br][math(q=v_2)] ||<bgcolor=#c0ffee> [math((u_1v_2, 0))][br][math(=-u_1v_2<0)] || [math(0)] ||<bgcolor=#eec0ff> [math((0, u_2v_2))][br][math(=u_2v_2>0)] ||

이로서 (음수)[math(\times)](양수), (음수)[math(\times)](음수), (양수)[math(\times)](음수), (양수)[math(\times)](양수)의 부호를 일반화시켰다.

[각주][include(틀:문서 가져옴, title=음수, version=142)]
[[분류:음수]]
음수(수학) (r0 버전으로 되돌리기)

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