문서 보기문서 편집수정 내역 자기 퍼텐셜 (r0 버전으로 되돌리기) [include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 magnetic potential}}} [[전기장]]에서 퍼텐셜을 도입하였듯, 비슷하게 [[자기장]]에서도 퍼텐셜을 도입한 것이다. 이 문서에서는 정자기학 조건에서의 자기 퍼텐셜을 다루며, 정자기학에서 자기 퍼텐셜을 언급하면 거의 "자기 벡터 퍼텐셜"을 말하며, 그 외에도 특정한 조건에서 정의되는 "자기 스칼라 퍼텐셜" 두 가지가 있다. == 자기 벡터 퍼텐셜 == [[자기장]]은 일반적으로 [[델(연산자)#s-3.2|발산]]이 0인 비발산장이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf B} = 0 )]}}} 이다. 이때, 자기장은 어떤 벡터의 [[델(연산자)#s-3.3|회전]]이라 가정할 수 있다. 그 벡터를 [math(\bf A)]라 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( {\bf B} = \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A} )]}}} 이며, 이것을 처음 식의 발산 연산에 대입하면 이것 또한 0인 것에서 그 타당성을 생각해볼 수 있다. 따라서 여기서 나온 벡터 [math(\bf A)]를 "자기 벡터 퍼텐셜"이라 하며, 줄여서 "벡터 퍼텐셜"이라 하기도 한다. === 유일성 여부 === 벡터 퍼텐셜 [math(\bf A)]에 어떤 스칼라 [math(\Lambda)]의 [[그래디언트]]를 더한 새로운 벡터 퍼텐셜 [math(\bf A')]을 가정하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( {\bf A'} \equiv {\bf A} +\boldsymbol{\nabla} \Lambda )]}}} 이때, 양변에 회전 연산을 취하면 다음 결과를 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A'} = \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A} +\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \Lambda) )]}}} 벡터 해석학적으로 우변의 제2항은 0이 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A'} = \boldsymbol{\nabla} \times {\bf A} )]}}} 가 되고, 두 퍼텐셜 [math(\bf A)], [math(\bf A')]은 같은 장을 기술하는 퍼텐셜이다. 곧, '''어떤 자기장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다.''' === 방정식 === [[앙페르 법칙]]에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \boldsymbol{\nabla} \times {\bf B} = \mu_{0} {\bf J} )]}}} 임을 알 수 있었고, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times {\bf A}) = \mu_0 {\bf J} )]}}} 라고 쓸 수 있다. 이때, [[벡터 라플라시안|벡터 항등식]]을 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \nabla^2 {\bf A} -\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf A}) = -\mu_0 {\bf J} )]}}} 라고 쓸 수 있다. 이때, 정자기학에서는 '''쿨롱 게이지(Coulomb gauge)'''를 도입하여 [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf A} = 0)]으로 둔다. 따라서 다음과 같은 식으로 정리된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \nabla^2 {\bf A(r)} = -\mu_0 {\bf J(r)} )]}}} 이때, 직교 좌표계에서 위 식은 아래와 같이 푸아송 방정식으로 나온다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \nabla^2 A_i({\bf r}) = -\mu_0 J_i({\bf r}) \qquad (i=x,\,y,\,z) )]}}} 이것은 [[전기 퍼텐셜]]을 기술하는 푸아송 방정식과 모양이 유사하므로, 이것의 해는 다음과 같이 정리된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle A_i({\bf r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_i({\bf r'})}\xi \,{\rm d}V' \qquad (i=x,\,y,\,z) )]}}} 여기서 [math(\xi)]는 [[분리 벡터]]의 크기이다. 또한, 각 성분의 합으로 아래와 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\bf A(r)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bf J(r')}\xi \,{\rm d}V' )]}}} 따라서, 위 방정식을 이용하면 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. 또한, '''자기 벡터 퍼텐셜의 방향은 전류 밀도의 방향과 같다는 것을 알 수 있다.''' === 자기 선속과의 관계 === 어떤 면적 [math(S)]를 지나가는 자기 선속(magnetic flux) [math(F)]는 아래와 같이 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F = \iint_S {\bf B} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} )]}}} 이때, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F = \iint_S (\boldsymbol{\nabla} \times {\bf A}) \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} )]}}} 이고, [[스토크스 정리]]를 사용하면 다음과 같이 [math(S)]를 둘러싸는 폐곡선 [math(C)]에 대한 적분으로 바뀐다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F = \oint_C {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf l} )]}}} 따라서 자기 선속을 이용해도 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. === 경계 조건 === [[파일:벡터퍼텐셜_경계 조건.png|width=280&align=center]] 위 그림과 같이 매질 [math(\rm I)], [math(\rm II)]를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} {\bf A} = 0 )]}}} 을 만족하므로 이것은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \oiint_S {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} = 0 )]}}} 을 만족한다는 것과 동치이다. 따라서 [math(S)]를 윗면과 아랫면 모두 면적 [math(A)]이고 높이 [math(h)]인 원기둥으로 잡자. 이때, [math(h \rightarrow 0)]일 때, 옆면에 해당하는 영역의 적분 값은 상쇄된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \oiint_S {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf a} = [ {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} -{\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} ] \,l = 0 )]}}} 이다. [math(\hat{{\bf n}})]은 영역 [math(\rm I)]에서 [math(\rm II)]를 향하며, 경계면에 수직한 벡터이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} = {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\bf n} )]}}} 로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 수직 성분은 연속임을 알 수 있다. 이번엔 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle F = \oint_C {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf l} )]}}} 를 이용하자. 선적분 영역을 위 그림과 같이 잡고, [math(h \rightarrow 0)]일 때를 고려하자. 이 경우, 경계면을 가로지르는 영역에 대한 선적분 값은 상쇄된다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \oint_C {\bf A} \boldsymbol{\cdot} {\rm d}{\bf l} = [ {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} - {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t}] \,l )]}}} 이 된다. 이때, [math(\hat{\!\:\bf t})]는 경계면에 접하는 단위 벡터이다. 그런데, [math(h \rightarrow 0)]이라는 점에서 해당 폐곡선 안을 통과하는 자기 선속은 면적이 [math(0)]으로 수렴하기 때문에, 적분 값은 [math(0)]으로 수렴한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} - {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} = 0 )]}}} 에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\bf A_1} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} = {\bf A_2} \boldsymbol{\cdot} \hat{\!\:\bf t} )]}}} 로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속임을 알 수 있다. 따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\bf A_1} = {\bf A_2} )]}}} 를 만족하여야 한다. === [[자기 쌍극자]]의 자기 벡터 퍼텐셜 === [include(틀:상세 내용, 문서명=자기 쌍극자 모멘트)] === [[자기 퍼텐셜/자기 벡터 퍼텐셜 예제|관련 예제]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=자기 퍼텐셜/자기 벡터 퍼텐셜 예제)] == 자기 스칼라 퍼텐셜 == 위의 자기 벡터 퍼텐셜은 자기장이 비발산장이기 때문에 정의될 수 있었다. 그러나 자기장도 특정한 조건에서는 비회전장을 만족하기 때문에 [[전기장]]처럼 스칼라 퍼텐셜을 도입할 수 있다. [[앙페르 법칙]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times {\bf B} = \mu_0 {\bf J} )]}}} 에서 전류 밀도 [math({\bf J}=0)]이 성립하는 영역에 한해선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times {\bf B} = 0 )]}}} 으로 [[자기장]] 또한 비회전장이 된다. 따라서 장을 어떤 스칼라의 그레이디언트를 취하여 기술할 수 있다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\bf B} = -\mu_0 \boldsymbol{\nabla} \Phi_m )]}}} 의 형태[* 앞에 붙은 [math(\mu_0)]는 [[자기장 세기#s-4.2]] 문서를 읽어보면 알 수 있다.]로 기술할 수 있으며, 여기서 나온 스칼라 [math(\Phi_m)]를 "자기 스칼라 퍼텐셜"이라 한다. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[자기장]] * [[벡터 퍼텐셜]] * [[전기 퍼텐셜]] - 전기 퍼텐셜과 비교해보는 것도 좋은 공부 방법이다. * --[[자위]]-- [[분류:물리학]][[분류:전자기학]]캡챠되돌리기