자연로그의 밑 (덤프버전으로 되돌리기)

[[분류:수학상수]][[분류:무리수]][[분류:초월수]][[분류:해석학(수학)]][include(틀:수학상수의 목록)]
[목차]
== 개요 ==
||<tablealign=center> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px -5px"
[youtube(z1xeFi5N5go)]}}} ||
|| '''자연로그의 밑에 대한 설명 (한국어)''' ||

[[자연로그]]를 정의하는 [[상수#s-1]].

== 상세 ==
이 값은 [[무리수]]이면서 [[초월수]]로, 소수 열째 자리까지 나타내면 [math(2.7182818284\cdots)]이다. 언급할 때마다 숫자열을 일일이 나열하는 것이 번거롭기에 [[원주율]]([math(\pi)])처럼 상수 [math(e)]로 표기되는데 오일러가 이렇게 썼다.[* 오일러(Euler)의 첫 글자를 땄다는 설이 있는데 이는 사실무근이며, 자연로그의 밑은 [[지수함수]]에서도 밑이므로 지수함수(exponential function)의 앞글자에서 따온 거란 이야기가 지배적이다. 지수 부분에 복잡한 함수가 포함되는 경우 지수 표기로 나타내면 알아보기 어렵기 때문에 Exponential의 앞 세글자들 따 [[삼각함수]]나 [[로그함수]]처럼 [math(\exp)]로 쓰는 경우가 많다.([math(e^{x}=\exp{x})] 형태로 쓴다. 지수가 [[허수|순허수]]인 경우 [math(e^{ix}=\operatorname{cis}(x))] 형태로 쓰기도 한다.) 또한 오일러 이전에 극한식으로 정의되는 값을 찾기 위한 연구 기록을 [[야코프 베르누이|베르누이]]가 남긴 바 있고, 나중에 [[라이프니츠]]와 [[크리스티안 하위헌스]](Christiaan Huygens)가 이 값을 [math(b)]라고 쓴 전례(정황상 베르누이의 이름에서 따온 듯하다)가 있다.]

=== 구체적인 값 ===
소수점 아래 1만 자리까지의 값은 다음과 같다.

||{{{#!folding 자연로그의 밑 소수점 이하 10000자리 [펼치기 · 접기]
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535 4759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750 92447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693 98496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683 28237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169 035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574 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85178403877332624705194505041984774201418394773120281588684570729054405751060128 52580565947030468363445926525521370080687520095934536073162261187281739280746230 94685367823106097921599360019946237993434210687813497346959246469752506246958616 90917857397659519939299399556754271465491045686070209901260681870498417807917392 40719459963230602547079017745275131868099822847308607665368668555164677029113368 27563107223346726113705490795365834538637196235856312618387156774118738527722922 59474337378569553845624680101390572787101651296663676445187246565373040244368414 08144887329578473484900030194778880204603246608428753518483649591950828883232065 2212810419044804724794929134228495197002260131043006241071797150279343326340799596053144605323048852897291765987601666781193793237245385720960758227717848336161 3582612896226118129455927462767137794487586753657544861407611931125958512655759734573015333642630767985443385761715333462325270572005303988289499034259566232975 78248873502925916682589445689465599265845476269452878051650172067478541788798227 6806536650641910973434528878338621726156269582654478205672987756426325321594294418039943217000090542650763095588465895171709147607437136893319469090981904501290 30709956622662030318264936573369841955577696378762491885286568660760056602560544 57113372868402055744160308370523122425872234388541231794813885500756893811249353 86318635287083799845692619981794523364087429591180747453419551420351726184200845 509170845682368200897739455842679214273477560879644279202708312150156406341341617166448069815483764491573900121217041547872591998943825364950514771379399147205219529079396137621107238494290616357604596231253506068537651423115349665683715116 6042207963944666211632551577290709784731562782775987881364919512574833287937715714590910648416426783099497236744201758622694021594079244805412553604313179926967391575424192966073123937635421392306178767539587114361040894099660894714183406983629936753626215452472984642137528910798843813060955526227208375186298370667872244301957937937860721072542772890717328548743743557819665117166183308811291202452 04048682200072344035025448202834254187884653602591506445271657700044521097735585 8976226554849416217149895323834216001140629507184904277892585527430352213968356790180764060421383073087744601708426882722611771808426643336517800021719034492342 64266292261456004337383868335555343453004264818473989215627086095650629340405264 94324426144566592129122564889356965500915430642613425266847259491431423939884543 2486327461842846655985332312210466259890141712103446084271616619001257195870793217569698544013397622096749454185407118446433946990162698351607848924514058940946 39526780735457970030705116368251948770118976400282764841416058720618418529718915 40196882532893091496653457535714273184820163846448324990378860690080727093276731 27581966563941148961716832980455139729506687604740915420428429993541025829113502 24169076943166857424252250902693903481485645130306992519959043638402842926741257 34224477655841778861717372654620854982944989467873509295816526320722589923687684 57017823038096567883112289305809140572610865884845873101658151167533327674887014 82916741970151255978257270740643180860142814902414678047232759768426963393577354 29301867394397163886117642090040686633988568416810038723892144831760701166845038 87212364367043314091155733280182977988736590916659612402021778558854876176161989370794380056663364884365089144805571039765214696027662583599051987042300179465536788
}}}||

== 정의 ==
=== [[극한]]을 이용한 정의 ===
[math(e)]가 사용되기 시작한 것은 하단의 정적분 연구가 시초라고 알려져 있지만, 교육 현장에선 이처럼 [[함수의 극한]]으로 정의하는 [math(e)]가 가장 일반적인 방법이다. 전문적인 용어로는 [[야코프 베르누이]]의 계산법이라고 한다.

함수 [math(y=(1+x)^{1/x})]을 고려하자. 자연로그의 밑은 이 함수의 [math(x \to 0)] 극한값으로 정의한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{(1+x)^{1/x}} =:e )] ||

이는 아래와 같이 그래프로도 확인할 수 있다.

[[파일:namu_자연로그_1.svg|width=170&align=center&bgcolor=#ffffff]]

[math(t=\dfrac1x)]로 치환하면 [math(x\to0+)]일 때 [math(t\to\infty)]이므로 다음 식을 얻는다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \lim_{t\to\infty}{\left(1+\frac1t \right)^t} = e )] ||

이것은 아래와 같이 그래프에서도 확인할 수 있다.

[[파일:namu_자연로그_3.svg|width=205&align=center&bgcolor=#ffffff]]

[[수열의 극한]]에서도 동일하게 성립한다. 즉, 두 수열 [math(\{(1+n)^{1/n}\})], [math(\{( 1+n^{-1} )^{n}\})]에 대해 다음이 성립한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \lim_{n \to 0}{(1+n)^{1/n}}=\lim_{n \to \infty}{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}} )] ||

=== [[정적분]]을 이용한 정의 ===
[[파일:namu_자연로그_3.svg|width=210&align=center&bgcolor=#ffffff]]

위 그림과 같이 자연로그의 밑을 [[유리함수]]의 하나인 [math(f(x)=x^{-1})]의 그래프에서 [math(x=1)], [math(x=e)], [math(x)]축, [math(y=f(x))]로 둘러싸인 영역의 넓이가 1이 되도록 하는 상수 [math(e)]로 정의할 수도 있다. 즉,
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,{\rm d}x =1  )] ||
를 만족시키는 상수 [math(e)]를 자연로그의 밑으로 정의한다.

일반화로, [math(e)] 대신 임의의 양수를 넣으면 해당 양수의 자연로그값을 얻을 수 있다.[* 그래서 자연로그는 [[정적분으로 정의된 함수]]로도 볼 수 있다.]
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{1}{x}\,{\rm d}x =\ln a \quad (a >0))] ||

=== [[급수(수학)|급수]]를 이용한 정의 ===
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle e \overset{\underset{{\sf def}}{}}{=} \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!})] ||
[math(e^{x})]를 [math(x=0)]에서 전개한 [[테일러 급수]][* 정확하게는 [math(x=0)]에서 전개하므로 매클로린 급수에 속한다.]인 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!})]||
에 [math(x=1)]을 대입한 일반항으로도 볼 수 있으며, 수렴하는 것 자체는 자명하지만, 먼저 이 급수가 정말로 수렴하는지부터 확인하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:> [math(\displaystyle \begin{matrix} S_{n} &=& 1&+&1&+&\dfrac{1}{1\cdot 2}&+&\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}&+&\cdots&+&\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n}\\ &<& 1&+&1&+&\dfrac{1}{2}&+&\dfrac{1}{2^{2}}&+&\cdots&+&\dfrac{1}{2^{n-1}}\\&<&3\end{matrix})] ||
유계인 단조 증가 수열은 수렴하므로 이 급수는 수렴한다. 이제, 이 값을 [math(e)]라고 정의한 뒤, 다른 정의와 값이 일치하는지를 보자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=T_{n})]||
이라고 정의하자. 이 수열의 극한 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n})]||
은 위에서 극한으로 정의한 값에 따라 [math(e)]가 됨은 자명하므로, 이 수열의 극한이 여기서 정의한 [math(e)]와 같음을 보이면 충분하다. 두 값을 비교하기 위해서, [math(T_n)]의 극한은 [math(e_{T})], [math(S_n)]의 극한은 [math(e_{S})]라고 표기한다. 즉, 우리가 보여야 할 것은 [math(e_{S}=e_{T})]이다.

[math(T_{n})]을 이항정리에 따라 다시 써보자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{k})]이므로, [math(\displaystyle T_{n}=1+n\times\dfrac{1}{n}+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\times\dfrac{1}{n^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^n})]||
따라서 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle T_{n}=1+1+\dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+\cdots+\dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right))]||
로 바꿔 쓸 수 있다. 또한, [math(T_{n})]과 [math(S_{n})]을 비교해보면, [math(T_{n}\leq S_{n})]임은 자명하다.[* [math(T_n)]의 각 항을 보면 [math(S_n)]의 각 항에 [math(\displaystyle \left(1-\dfrac{k}{n}\right)(1\leq k\leq n-1))]를 곱한 꼴임을 알 수 있는데, 이 곱해진 수가 1보다 작으므로 각 항마다 조금씩 작아져서 결과적으로 급수의 합도 작아지기 때문.] 그러므로 
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_{n}=e_{T}\leq\lim_{n\to\infty}S_{n}=e_{S} \quad \to \quad e_{T}\leq e_{S} \quad \cdots \, \text{①})]||
가 성립한다.

[math(\forall n\geq m\in\mathbb{N})]에 대하여[* 임의의 자연수 [math(n)]이 주어졌을 때, [math(n)]보다 작거나 같은 자연수 [math(m)]에 대하여]
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle T_{n}\geq 1+1+\dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+\cdots+\dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right))]||
역시 위의 전개와 비교하면 자명하다.

이제 [math(m)]을 고정하고 [math(n \to \infty)]로 극한을 취하자.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_{n}=e_{T}\geq\lim_{n\to\infty}\left[1+1+\dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+\cdots+\dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right)\right]=S_m)]||
이 된다.[* 유한한 수인 [math(m)]에 비해 [math(n)]이 무한하게 늘어나기 때문에, [math(\displaystyle 1-\dfrac{\cdots}{n})]이 1과 다를 바 없어지기 때문에 모든 소괄호가 전부 1이 되어 생략할 수 있게 된다.]

따라서 [math(\forall m \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(\displaystyle S_m \leq \lim_{n\to\infty}T_n=e_{T})]이므로, 다음이 성립한다.
||<bgcolor=#fff,#1f2023><table width=100%><tablebordercolor=#fff,#1f2023><:>[math(\displaystyle e_{S}=\lim_{n\to\infty}S_n=\sup\{S_n\}\leq\lim_{n\to\infty}T_n=e_{T} \quad \to \quad e_{S}\leq e_{T} \quad \cdots \,\text{②})]||
①과 ②에 의해 [math(e_{T}\leq e_{S})]이며 [math(e_{S}\leq e_{T})]이므로 실수집합상에서의 전순서관계에 의한 반대칭관계가 성립하므로 두 값은 일치한다. 즉 급수의 정의로 얻은 [math(e)]는 극한의 정의로 얻은 [math(e)]와 같음이 증명되었다.

더 나아가 1 대신 임의의 [[복소수]]를 넣으면 아래와 같이 표현 가능하다. [[오일러 공식]] 참고.[* [math(\Re)], [math(\Im)]는 각각 해당 복소수의 실수부, 허수부를 뜻한다.]
||<tablealign=center><tablebordercolor=#fff,#1f2023><bgcolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} {{[ \Re(z) ]}^n \over n!} \left( \sum_{k=0}^\infty \dfrac{\left(-1\right)^k {[ \Im(z) ]}^{2k}}{(2k)!} + i \sum_{k=0}^\infty \dfrac{\left(-1\right)^k {[ \Im(z) ]}^{2k+1}}{(2k+1)!}\right))] ||

== 용어 논란 ==
특히 유독 [[대한민국]]에서는 '자연상수'란 용어가 퍼져 있지만 자연상수는 표준 용어가 아니다. 공식 수학 용어를 채택하는 [[대한수학회]]에서도 [math(e)]는 '''[[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EC%9D%98+%EB%B0%91|자연로그의 밑]]'''으로 등재했으며, [[표준국어대사전]]이나 기타 백과사전에서도 '자연상수'라는 말은 찾아볼 수가 없다. 보통 마땅한 용어가 없으면 해외에서 수입하는 경우가 있으나, 자연상수는 이런 연유조차 발견할 수 없다. 일단 영어권에서 natural constant란 용어는 존재하지 않으며 오히려 natural constant라고 하면 [[물리 상수]]로 알아듣는다. 또 한국 수학 교육과정의 용어에 큰 영향을 끼친 [[일본]]에서조차 [ruby(自然定数,ruby=しぜんていすう)]라고 하지 않는다. 영어권에서는 대개 단순히 the number e라고 칭하거나 '오일러의 수(Euler's number; オイラー[ruby(数,ruby=すう)], 欧拉数, número de Euler 등)'라는 명칭으로 부른다. 오일러의 이름이 붙은 수는 많으나 다른 수의 경우 [[오일러-마스케로니 상수|Euler's constant]], [[오일러 수열|Euler numbers]], [[https://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_number|Eulerian numbers]] 등으로 모두 형태를 달리하여 구분한다.

자연상수는 언제 누가 어디서 처음으로 썼는진 알려지지 않았으나 구글 검색으로 나오는 가장 오래된 기록은 1999년 10월 8일경 작성된 [[http://www.emh.co.kr/content.pl?time_value_of_money|한 경제학 칼럼 개인 사이트]]로 보인다. 또한 [[서울대학교]]의 기초교육 강의 교수로 지내는 정 모 교수가[* [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3568951&cid=58944&categoryId=58970|네이버캐스트 수학 산책]]에 '자연 상수 [math(e)]'를 작성한 사람이다. 참고로 네이버 관련 자료에 모두 이의 신청을 받아들여 '자연로그의 밑', '네이피어의 수', '극한값 [math(e)]'로 모두 수정된 상태인데 이 분만 자연상수라는 용어를 그대로 쓰길 원한다고 한다.]가 '자연상수'란 용어를 독자적으로 주장하고 있다고 한다. 반대로, 같은 서울대학교 교수인 계 모 교수는[* 김김계로 유명한 바로 그 ~~놈~~분이다.] 이 용어 사용에 대해 회의적이라고 알려져 있다.

[[파일:미적분학 1+ · 2+ (김홍종 저) 머리말.jpg|width=450]]
어쩌다 보니 논란에 불을 지핀 격인 [[서울대학교]] 측에서도 이 일을 아는 모양이었는지, 이후 미적분학 1^^+^^ · 2^^+^^ (김홍종 저) 머리말에 '자연상수'는 공식 용어가 아니고 '''이 책에 한해서 그렇게 부르겠다는 문구'''를 수정판 머리말에 넣어 공식 용어가 아님을 확인하였다.[* 참고로 해당 서적엔 자연로그의 밑 외에도 '''이 책에서만 이렇게 부르기로 약속'''된 독자적인 기호나 용어가 여럿 있다.]

이렇듯이 '자연상수' 사용을 따로 금지해야 한다는 법은 없으나, 객관적인 정보를 전달해야 하는 논문 저자, 교육자, 전공자 등 수학계에 있는 사람들은 이러한 불확실한 용어 사용을 가급적 피해야 할 것이다. 

'네이피어 상수(Napier's Constant, ネイピア数, 纳皮尔常数, constante de Napier 등)'로 부르자는 움직임이 있지만, 이 또한 하자가 있다. 네이피어는 자연로그의 값을 처음으로 기록한 사람이지 [math(e)]를 연구한 사람이 아니며, 이 값을 계산하는 방법은 오히려 [[야코프 베르누이]]가 창안해냈다. 그러므로 굳이 이 사안에 인명을 기려내고자 한다면 네이피어가 아니라 야코프 베르누이의 이름을 담아내야 할진대, 정작 [[베르누이 수열|베르누이의 수([math(B_n)])]]가 이미 존재하는 까닭에 베르누이를 붙이기도 애매한 모양이 되었다.[* 엄밀히 말하자면 베르누이는 수가 아니라 수열이지만, 이미 이쪽도 [[입말]]이 되어버렸기에 혼동될 가능성이 있다. 비슷한 케이스로 [[피타고라스 세 쌍|피타고라스 수]]가 있다.(수가 아닌 [[집합족]])]

다른 나라에서 자연로그의 밑을 따로 지칭하려는 움직임은 거의 없다. 왜 유독 [[대한민국]]에서만 이런 현상이 발생하는지에 대한 여러 추측이 있으며, 가장 유력한 가설은 '''[[교육과정]] 서술상의 순서'''의 문제점이라는 것. [[외국]] 교육과정에선 [[대한민국]] 교육과정과 반대로 자연로그를 먼저 서술한 뒤 그 다음 밑을 알려주는 순서를 따르는데[* 일각에선 자연로그의 정의 자체보단 값([math(2.71828\cdots\cdots)])만 외우게 되는 [[주입식 교육]]을 우려해 이 방식이 채택됐다고 해석한다.] 대한민국에서는 [math(e)]를 먼저 서술하는 성격 탓에 이런 현상이 발생했다는 것. 그래서 대부분의 국내 교과서에선 '무리수 [math(e)]'라고 부르고 있다. 하지만 이 경우는 국내 교육과정 하에 승인된 용어일 뿐, 국제에서 범용화된 용어는 아니다. 해외에선 Irrational number [math(e)]라고 하는 경우가 드물다. 정작 교육과정에서 [math(e)]가 무리수임을 증명하는 과정은 서술하고 있지 않다. 차라리 교과서 정의에서 채택하고 있는 [[극한]]의 방식을 따라 '극한값 [math(e)]'로 쓰는 게 더 적절할 수도 있다. 2015 개정 교육과정 일부 교과서에선 이 점에 근거해 '극한값 [math(e)]' 혹은 '수 [math(e)]'로 바뀌었다. 

== 기타 ==
 * [math(\lim\limits_{n \to \infty} {(1-n^{-1} )}^n = e^{-1})]이다. 고등학교 교육과정에서는 등장하지 않지만 극한에 대한 이해를 평가하는 문제로서 간간히 출제되기도 한다.
  * 이 값은 [[가챠]]처럼 카드 뽑기 게임에서도 활용되는 수이다. 확률이 [math(n^{-1})]인 카드를 [math(n)]번 뽑았다고 했을 때, 단 한 번도 안 나올 확률은 [math(e^{-1}=0.36787944117144\cdots)]가 된다. 이 식은 [math(n=100)] 정도만 돼도 충분히 [math(e^{-1})]값에 근접하므로 만약 확률이 1%인 뽑기를 100번 한다고 해도 36.79%정도의 확률로 한 번도 안 뜰 수 있다. 참값은 약 36.60%으로 거의 일치함을 알 수 있다.
 * [math(x>0)] 구간에서 [math(y = x^x)]의 최솟값은 [math(x = e^{-1})]에서, [math(y = x^{1/x})]의 최댓값은 [math(x=e)]일 때 나온다. 또한 [math(a^x)]와 그 역함수가 접할 조건은 [math(a = e^{1/e})]일 때이며 접점은 [math((e,\,e))]이다.
 * 방정식 [math(xe^x = 1)]의 실수해를 [[오메가 상수]]란 게 있다. [[지수함수]]의 특수한 역함수인 [[람베르트 W 함수|람베르트 [math(W)] 함수]]에 1을 대입하면 얻을 수 있다.
 * 서로 무관한 수처럼 보이는 [math(e)]와 원주율 [math(\pi)], 허수단위 [math(i)]를 합치면 [[오일러 등식|[math(e^{\pi i} + 1 = 0)]]]이란 굉장히 깔끔한 결과가 나온다. 자세한 것은 [[오일러 등식]] 문서를 참고할 것.
 * [math(e)]를 [[원주율|[math(\pi)]]]만큼 거듭 제곱한 수 [math(e^\pi)]은 겔폰트-슈나이더 정리에 해당하는 예시 중 하나로서 거론된 [[초월수]][* [math(e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i})]이며 [math(-1)]은 [math(0)], [math(1)]이 아닌 대수적인 수, [math(-i)]는 유리수가 아닌 대수적인 수이기 때문에 겔폰트-슈나이더 정리에 따라 [math(e^\pi)]는 초월수이다.]이며 증명자 겔폰트의 이름을 따 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%27s_constant|겔폰트 상수]]라고 한다.
  * 겔폰트 수의 제곱근을 [[무한 지수 탑 함수]]에 대입하면 순허수가 나오며 그 값은 [math(-i)]이다.
 * [[완전순열]]의 일반항에 자연로그의 밑이 들어간다([math(!n = \operatorname{round}(n!/e))]).
 * [math(y^x = x^y)]의 그래프를 표시할 경우 양의 항등함수 그래프 하나와 곡선 그래프 하나가 나오는데,[* 이 방정식에서 [math(y = x)]가 아닌 자연수 x, y의 순서쌍은 [[16|[math((2, 4))], [math((4, 2))]]]이다. ] 두 그래프의 교점은 [math((e, e))]이다. 마찬가지로 [math(y^{1/x} = x^{1/y})]의 그래프를 표시할 경우 항등함수 그래프 하나와 곡선 그래프 하나가 나오고, 두 그래프의 교점은 [math((1/e, 1/e))]이다.
 * [[고등학교]]에서 [math(e)]를 배울 때는 '무리수 [math(e)]'(혹은 극한값 [math(e)] 또는 수 [math(e)])라는 명칭으로 배우게 된다. 하지만 고등학교에서는 [[로그함수]]의 미분에 대해 배우기도 전에 [math(e)]의 극한식 정의부터 배운다. 실제 미적분학을 비롯한 [[수학]] 전반에서 [math(e)]를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해진다. 현재 자연로그는 고교과정에서 [[경제수학]][* 자연로그는 나오지 않고 [math(e)]에 대해서 살짝 다루는 정도다. 미적분과 달리 자연상수라는 잘못된 명칭을 그대로 쓴다.]을 제외하면 자연계열에만 [[미적분(교과)|편성되어 있다.]]
 * [math(e)]가 [[무리수]]임을 보이는 것은 쉬우나[* [[귀류법]]으로 [math(e = m/n)]이라 하고, [math(n!e)]를 생각해보자.], 정수 다항식의 근이 될 수 없는 [[초월수]]임을 보이는 건 훨씬 어렵다.[* 그래도 정수 계수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것은 무리수 증명보단 어렵지만 초월수 증명에 비해 쉽게 보일 수 있다. 귀류법으로 [math(ae+b/e = c)], [math(a\neq 0)]을 만족시키는 정수해 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 있다고 가정한 후 [math(e)]와 [math(e^{-1})]의 테일러 전개를 잘 이용해주면 된다.] 여러 [math(e^e)] 등의 수들, 심지어 [math(e+\pi)] 마저도 유리수인지 무리수인지조차 확인이 되지 않고 있다.[* 참고로 [math(e\pm\pi)]와 [math(\pi e)] 둘 중 적어도 하나는 초월수라는 것 자체는 [math(e)]와 [math(\pi)]가 둘 다 초월수라는 사실을 이용하면 어마어마하게 매우 쉽게 보일 수 있다. 대수적인 수를 모아놓은 집합은 일반적인 연산에 대해 닫혀있는 [[체(대수학)|체]](수학적으로는 유리수 체의 대수적 폐포([math(\mathbb{Q}_{\mathbb{A}})])라고 한다.)인데, 이를 이용하면 된다. 간단히 말해서, 둘 다 대수적인 수라고 가정하면 [math(x^{2}-\left(e\pm\pi\right)x\pm\pi e=0)]이라는 이차방정식이 [math(\left(x-e\right)\left(x\mp\pi\right)=0)]으로 인수분해되므로, [math(e)]와 [math(\pi)]는 대수적인 수라는 결론이 나와야 하는데, 둘 다 초월수임은 밝혀졌기 때문에 모순이 된다. 즉, [math(e\pm\pi)]와 [math(\pi e)]가 둘 다 대수적이라고 가정한 전제가 틀렸다는 결론이 나와서 '''적어도 하나는 초월수'''라는 결론이 나오는 것.] 참고로, [math(e)]가 초월수라는 것을 가장 쉽게 보이는 방법은 린데만-바이어슈트라스 정리[* 선형독립된 유한개의 대수적 수는 [math(e)]의 거듭제곱을 하더라도 선형독립이라는 정리. 즉, 모두 0이 아닌 대수적 수 [math(\alpha_{k})]에 대하여 서로 다른 대수적 수 [math(\beta_{k})]가 존재할 때 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\beta_{k}\neq 0)]과 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{\beta_{k}}\neq 0)]는 동치다 라는 정리다. 린데만-바이어슈트라스 정리의 증명에서 [math(e)]는 초월수라는 것을 이용하지 않기 때문에 가능한 방법으로, 만약 [math(e)]가 초월수라는 사실을 이용했다면 아래의 내용은 순환오류를 내포하게 되므로 증명이 될 수 없다.]를 이용하는 방법.
 ||<table width=100%>'''증명'''
-----
초월수는 대수적 다항식의 근이 될 수 없으므로 [math(e)]가 대수적 수라 가정하자. 즉, [math(e)]는 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0)]의 근이 되므로 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 된다. 이 식의 각 항에 [math(e)]를 곱하면,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}=0 \quad \cdots \, (\ast))] }}}
이제 [math(a_{k}\cdot e=\alpha_{k})]라고 두자. [math(k)]는 0부터 [math(n)]까지의 '''서로 다른 대수적 수'''인 정수다. 또한 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 대수적 다항식이므로 적어도 1개 이상의 [math(a_{k}\neq0)]인 [math(k)]가 존재한다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여 
{{{#!wiki style="text-align: center"
[br][math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{k}=\sum_{k=1}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}\neq 0)]}}}
이어야 한다. 그런데 [math((\ast))]는 그 값이 0이어야 한다. 이는 모순이므로 [math(e)]가 대수적 수라고 가정한 전제가 틀렸다는 결론이 나온다. 따라서 귀류법에 의하여 전제가 된 [math(e)]는 대수적 수라는 것이 '''거짓'''이므로 '''[math(\boldsymbol{e})]는 초월수라는게 증명되었다.'''||
 * [[원주율]] [math(3.141592\cdots)]를 [[파이|[math(\pi)]]]로 간단하게 쓰는 것처럼 [math(e)] 역시 비순환소수, 즉 무리수이다. 유의미한 수학 상수 중에선 [[초월수]]로서 처음으로 증명된 수이기도 하다. 사족으로, 의미가 큰 건 아니지만, 초월수로 증명된 첫 번째 수는 
 {{{#!wiki style="text-align: center"
 [br][math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0.110001\cdots)]}}}
 으로 정의되는 리우빌 상수(Liouville's Number)로, 이 수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 만들어진 숫자다. 발견 자체는 [[원주율]]이 훨씬 빨랐지만, 원주율이 초월수로 증명된 건 [math(e)]가 초월수로 증명된지 9년 후이다.
 * [[밑]] 문서에도 적혀있지만 '자연로그의 밑'과 관련해선 발음에 유의해야 한다. '자연로그의 밑으로 갖는…'과 같은 구절에서 [미츠로]라고 읽는 사람이 많으나 '''[미트로]'''라고 읽는 게 올바르다. '밑을' 역시 [미츨]이 아니라 '''[미틀]'''로 발음해야 한다. 'ㅌ'이 'ㅊ' 발음이 나는 경우에 대해서는 [[구개음화]] 문서 참고.
 * 실제로는 수지만 쓸 때는 그냥 [math(e)]라고 쓰는 것을 이용해 문과 놀리기를 하기도 한다.[* 현행 교육과정(2015 개정)에선 무리수 [math(e)] 관련 내용이 [[미적분(교과)|미적분]] 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다. 그리고 과거에도 문과는 이 내용을 배운 적이 없었다.]
 * 소수점 아래 열 번째 자리까진 매우 쉽게 외울 수 있다. [math(2.7)][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[死|[math(\mathbf{4})]]][math(\cdots)] [math(9)]번째 자리까지만 본다면 유리수 같이 보이는 착각이 일어난다.[* '2.[[친일파]] [[씨발|이시팔 시팔 이시팔]]'로 외울 수 있다. 이과 고등학생이라면 적어도 [math(2.718)] 정도까진 외워두는 게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 이를테면 3, [math(e)], 2의 대소를 비교하라 할 때.] 사실 소수점 아래 열다섯 번째 자리까지도 그리 어렵지 않다. [math(2.7)][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[18|[math(\mathbf{18}\,)]]][[28|[math(\mathbf{28}\,)]]][[45|[math(\mathbf{45}\,)]]][[90|[math(\mathbf{90}\,)]]][[45|[math(\mathbf{45})]]][math(\cdots)] 45와 90이 깔끔하게 배수 관계라 기억하기 쉽다.
 * [math({\rm d}x = ax\,{\rm d}y)]와 같은 형태의 [[미분방정식]]을 풀면 그 일반해는 [math(y=e^{ax}+C)]의 형태를 갖는 [[지수함수]]가 된다. 때문에 자연과학에서 지수적으로 변화하는 특성을 가진 현상(복사전달, [[반감기]] 등)을 수식으로 기술할 때는 보통 그 식이 [math(y=e^{ax}+C)]꼴의 지수함수가 된다.
 * 한편, [math(2^2)], [math(2^e)], [math(e^2)], [math(e^e)]이 [[동남 방언]]에선 완벽히 구분되는데 [[대한민국 표준어|표준 한국어]]에선 전혀 구분되지 않는다는 이야기가 인터넷에 돌았고[* 예를 들어 [[https://www.youtube.com/watch?v=yABB3gtuWA4|정승제]] 강사의 강의 중.], 각 방언 사용자들이 서로에게 그게 진짜냐고 묻는 떡밥이 돌기도 했다. 해당 방언 사용자는 2e와 [[EE|ee]]를 각각 발음해 보면 감이 온다. 사실 전국적으로 그렇게 발음하는 사람이 많은데, 표준어 사용자라고 그렇지 않다는 건 없다. 그러므로 구분이 안 된다는 말은 어떻게 보면 틀린다. 자음은 묵음이고 /i/만 달랑 발음되는 숫자 2와는 달리 e 앞에 자기도 모르는 새 /ʔ/음가가 들어가기 때문. 참고로 이 발음은 엄연히 성조나 강세가 아닌 하나의 음가다. [[성문음]] 참고.(여담이지만, 중세 국어엔 /ʔ/에 해당하는 음가가 있었다. 그게 바로 __ㆆ(여린히읗)__. 지금도 한국어 구사자들은 이 발음을 무의식적으로 발음한다. 쉽게 말해 명치를 맞을 때 내는 "윽!"소리의 "ㅇ"의 실제 발음이다. 일(一)을 발음할 때도 나오는 발음이다.)
 * 원주율에 비해 떡밥이 적다. 모두 동그라미를 그릴 줄 알기에 원주율에 대해선 직감적이지만(애초에 원의 지름과 원의 둘레의 비를 원주율 [math(\pi)]로 정의한 것이니, 당연히 직관적으로 이해할 수 있다.) 무리수 [math(e)]는 적용된 도형이 거의 없으니... 굳이 찾아본다면 [[삼각함수]]의 [[사인 곡선|물결 모양]][* 삼각함수는 [math(e)]를 밑으로 하는 [[지수함수]]의 꼴로 바꿀 수 있다. 다만 이렇게 바꾸려면 [[오일러 공식]]을 활용하는 복소함수적 접근을 해야 하지만.], [[정규 분포]]의 종 모양 곡선, [[현수선]], [[앵무조개]]의 [[로그함수#s-2.1|껍데기가 그리는 나선]] 정도.
 * [[https://www.nbcnews.com/health/health-news/how-old-your-dog-new-equation-shows-how-calculate-its-n1233459|한 연구]]에 따르면, [[개]]의 실제 연령을 [math(A)], 개 나이를 [math(a)]라 하면 다음이 성립한다고 한다. 
 {{{#!wiki style="text-align: center"
 [br][math(\displaystyle A=16\ln{a}+31 )] }}}
 즉, 개 나이가 3~7세라면 사람으로 치면 49~62세에 해당한다.
 * [math(\lim\limits_{x \to \infty} {x \over x!^{1 \over x}})] 의 결과값도 [math(e)]이다.
[각주][include(틀:문서 가져옴, title=자연로그, version=606, paragraph=3, title2=자연로그, version2=617, paragraph2=4.6, title3=자연로그, version3=618, paragraph3=6)]
자연로그의 밑 (덤프버전으로 되돌리기)

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