문서 보기문서 편집수정 내역 전기 쌍극자 모멘트 (r1 버전으로 되돌리기) [include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Electric dipole moment'''}}} === 일반적 정의 === 일반적으로 '''전기 쌍극자(Electric Dipole)'''는 전하량은 같고, 전하 부호는 다른 두 전하가 일정 거리 떨어져 있는 것을 나타낸다. 이때, 양전하 [math(+q )] 음전하 [math(-q )]가 [math(d)]만큼 떨어져있을 때, '''전기 쌍극자 모멘트(Electric Dipole Moment)'''는 다음과 같이 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} \equiv q\mathbf{d} )] }}} 이때, [math(\mathbf{d} )]는 크기 [math(d \ll 1 )]이고, 방향은 음전하로 부터 양전하를 가리키는 방향으로 정의되는 벡터이다. [[파일:electric_dipole_moment_1_확정.png|width=180&align=center]] 이 전기 쌍극자 모멘트는 계의 극성을 나타내는 척도가 된다. === 확장 === 이것을 확장하게 되면, [math(N)]개의 전하가 있는 경우엔 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 정의된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} = \sum_{i=1} ^{N} q_{i}\mathbf{r'}_{i} )] }}} 이때, [math(\mathbf{r}_{i} )]는 전하 [math({q}_{i} )]까지의 위치벡터이다. 전하가 연속적으로 분포된 계는 합을 적분으로 쓸 수 있어, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq )] }}} 로 쓸 수 있고, 전하밀도(Charge density) [math( \rho )]를 도입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} = \iiint \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'})\,dV' )] }}} 로 쓸 수 있다. 이때, 계의 총 전하(Net charge)가 [math(0 )]인 경우엔 쌍극자 모멘트는 원점에 의존하지 않으나, 총 전하가 [math(0 )]이 아닌 경우는 원점에 의존하게 되므로 원점을 어디를 택하느냐에 따라 쌍극자 모멘트가 달라진다. 그런경우, 일반적으로 원점은 계의 [[질량중심]]으로 잡는 게 일반적이다. 이것에 대한 증명은 세 번째 문단에 있다. ==== 예제 : 표면에 대전된 구 ==== ||<table width=100%>'''[문제]''' ---- 축이 [math(z)]축인 반지름이 [math(R)]인 구 표면에 표면 전하 밀도 [math(\sigma=\sigma_{0}\cos{\theta})]로 대전되어있을 때, 이 구의 전기 쌍극자 모멘트를 구하시오. || {{{#!folding [풀이 보기] ----- 확장된 전기 쌍극자 모멘트 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq )] }}} 를 사용하자. 현재 전하가 분포하는 곳은 구의 표면이므로 [math(\mathbf{r'}=R\mathbf{\hat{r}})]이다. 이것을 직교 좌표계[* 직교 좌표계에서 [[다중극 전개]]를 하였기 때문에 기저 벡터는 직교 좌표계의 기저 벡터를 쓰는 것이 옳다.]로 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{r'}=R(\mathbf{\hat{x}}\sin{\theta '}\cos{\phi '}+\mathbf{\hat{y}}\sin{\theta '}\sin{\phi '}+\mathbf{\hat{z}}\cos{\theta '}) )] }}} 또한, 미소 전하 [math(dq= R^{2}\sigma_{0}\cos{\theta'}\, d \Omega')]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq=R^{3}\sigma_{0}\mathbf{\hat{z}} \oint_{\Omega} \cos^{2}{\theta '}\, d \Omega' )] }}} 참고로, [math(x,\,y)]성분은 [math(\phi)] 대칭성에 따라 온 공간의 입체각에 대해 적분할 때 상쇄됨에 따라 기입하지 않았다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} =\frac{4}{3}\pi \sigma_{0} R^{3} \mathbf{\hat{z}} )] }}} 가 된다. 이 쌍극자가 만드는 [[전기 퍼텐셜]]은 아래의 내용을 참고하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} = \frac{\sigma_{0}}{3\varepsilon_{0}} \frac{R^{3}}{r^{2}}\cos{\theta} )] }}} 임을 알 수 있다. 사실 [[전기 퍼텐셜]] 문서에서 같은 상황으로 구 내·외부의 [[전기 퍼텐셜]] 분포를 구해보았고, 외부의 상황과 같게 나왔음을 알 수 있다. 즉, 이 상황은 구 중심에 위에서 도출되었던 쌍극자가 있는 상황과 완전히 같다는 것을 알 수 있다. }}} === 화학적 접근 === [include(틀:물리화학)] 하나의 [[공유 결합]] 내에서, 전자가 두 개의 원자 중 전기 음성도가 큰 원자 쪽으로 더 많이 끌리게 된다. 여기서 상대적으로 [[전기 음성도]]가 큰 원자는 [math((-))]전하를 띠게 되고, 전기 음성도가 작은 원자는 [math((+))]전하를 띄게 되는 것을 쌍극자라 한다. 이때 두 극의 세기와 두 원자핵 사이의 거리를 곱한 벡터량을 쌍극자 모멘트라 하고, 방향은 [math((-))]극에서 [math((+))]극으로 향하는 쪽이다. 따라서 [[산소]], [[질소]]와 같이 전기 음성도가 같은 두 원자로 이루어진 분자는 쌍극자 모멘트가 0인 무극성 분자이다. 분자가 전기장 내에 놓일 경우, 전자가 전기장에 의해 힘을 받아 이동하므로 무극성 분자도 유도된 쌍극자 모멘트를 가질 수 있다. 2원자 분자에 쌍극자 모멘트가 있다면 그 분자는 반드시 [[극성]] 분자이고, 3원자 이상의 분자는 쌍극자 모멘트가 있더라도 [[이산화 탄소|그 합이 0이면]] 무극성 분자이다. 특성상 [[고분자]]에 가까워질수록 쌍극자 모멘트는 옅어진다. 한편, 주위에서 흔하게 볼 수 있는 물질 중 쌍극자 모멘트가 특히 강한 것으로는 [[설탕]]이 있다. [[용질]]과 [[용매]]의 전기 쌍극자 모멘트가 다르면 용해도가 매우 낮아진다. 멀리 갈 것 없이 [[기름장]]만 봐도 알 수 있다. == 전기 쌍극자의 물리량 == === 전기 퍼텐셜 · 전기장 === 전기 쌍극자가 자유공간에 놓여있는 경우에서 쌍극자로부터 [math( r \gg d )]만큼 떨어진 곳에서의 [[전기 퍼텐셜]]은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )] }}} ||<table width=100%><table align=center> {{{#!folding [ 증명 ] ||<^|1><bgcolor=#ffffff,#000000><table width=100%>그림과 같이 구면 좌표계[* 다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 [math(\Phi )]방향에 대한 대칭성이 있어 우선 구면 좌표계로 특수한 상황의 전기 퍼텐셜을 구하고, 좌표계에 무관한 꼴로 고치는 것이 쉽기 때문에 구면 좌표계를 택한 것이다.]의 [math( z)]축 위에 있고, 쌍극자의 중점이 원점인 쌍극자 [math( \mathbf{p})]를 고려하자. [[파일:전기쌍극자_수정_2.png|width=130&align=center]] 이때, 원점으로 부터 [math( r)] 만큼 떨어진 곳에서의 전기 퍼텐셜 [math( \Phi(r))]는 [math( +q)]에 의한 전기 퍼텐셜 [math( \Phi_{+})]와 [math( -q)]에 의한 전기 퍼텐셜 [math( \Phi_{-})]의 합이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\Phi(r)=\Phi_{+}+\Phi_{-})]}}} 가 된다. 따라서 점전하의 전기 퍼텐셜를 사용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r_{+}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r_{-}} \right |} \right ))]}}} 로 쓸 수 있다. 이때, 다음을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{r_{+}}&=\mathbf{r}-\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}} \\ \mathbf{r_{-}}&=\mathbf{r}+\frac{d}{2}\mathbf{\hat{z}} \end{aligned})]}}} 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r}-(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r}+(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |} \right ))]}}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \left | \mathbf{r}\pm(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |=\left ( r^{2}+\frac{d^{2}}{4}\mp rd\,\cos{\theta} \right )^{1/2})]}}} 이고, [math(d \ll r )]이면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \frac{1}{\left | \mathbf{r}\pm(d/2)\mathbf{\hat{z}} \right |}=\frac{1}{r} \left ( 1+\frac{d^{2}}{4r^{2}}\mp \frac{d}{r}\cos{\theta} \right )^{-1/2}\simeq \frac{1}{r} \left ( 1\pm \frac{d}{2r}\,\cos{\theta} \right ))]}}} 로 근사적으로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}})]}}} 가 나오게 된다. 이때, 아래를 고려하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}&=qd\mathbf{\hat{z}} \\ \mathbf{p}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r} &=qdr\cos{\theta} \end{aligned})]}}} 최종적으로 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜를 좌표계에 무관하게 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \Phi(r) = \frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )]}}} 가 된다. ||}}} || 으로 나타내고, 전기장은 전기 퍼텐셜의 [[델(연산자)#s-3.1|그레이디언트]]로 주어지므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\Phi = \frac{3(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )]}}} 으로 나타낸다. [math(\varepsilon_{0})]는 자유공간의 [[유전율]]을 나타낸다. ||<table width=100%><table align=center> {{{#!folding [ 증명 ] ||<^|1><bgcolor=#ffffff,#000000><table width=100%>위에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}})]}}} 임을 구했으므로 전기장이 전위의 [[델(연산자)#s-3.1|그레이디언트]]로 주어지는 것을 이용하자. 이때, 위에서 구한 것은 구면 좌표계에서 주어진 식이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{E} =-\boldsymbol{\nabla}\Phi=\frac{2qd\cos{\theta} \mathbf{\hat{r}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}+\frac{qd\sin{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}})]}}} 따라서 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left (\frac{2qd\cos{\theta}}{r^{3}}\mathbf{\hat{r}}+\frac{qd\sin{\theta}}{r^{3}}\hat{\boldsymbol{\theta}} \right ))]}}} 이고, 이것을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}} \left [ 3qd\cos{\theta}\mathbf{\hat{r}}+ qd \left ( \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\mathbf{\hat{r}} \right ) \right ])]}}} 이때, 다음을 고려하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}&=qd\mathbf{\hat{z}} \\ qd&=\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}} \\ \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\mathbf{\hat{r}}&=- \mathbf{\hat{z}} \end{aligned})]}}} 최종적으로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) = \frac{3(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )]}}} 로 좌표계와 무관하게 쓸 수 있다. ||}}} || 전기 쌍극자가 형성하는 전기력선과 등전위선은 아래와 같다. 실선은 전기력선이며, 점선은 등전위선이다. [[파일:나무_전기쌍극자_전기력선_등전위선_수정2.png|width=280&align=center]] 전하의 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장과 비슷한 것을 알 수 있고, 아래의 문단을 보면 사실 상 거의 동일한 것임을 알 수 있다. 찾은 전기장은 전하의 부호가 다른 두 전하의 간격가 극단적으로 줄어들었거나, 두 전하로 부터 극단적으로 먼 곳의 전기장[* 이를테면, 수소 원자의 경우도 양성자와 전자로 구성된 전기 쌍극자로 볼 수 있는데, 거시적인 세계에서 볼 때를 기준으로는 두 전하는 극단적으로 간격이 줄어든 것으로 보이고, 수소 원자 입장에서도 거시적인 우리 세계는 극단적으로 먼 곳이므로 위와 같은 전기장이 나오게 된다.]을 측정할 때 위의 장이 나오게 된다. 그러나 이것 역시도 근사이므로 두 전하의 간격을 무시할 수 없거나, 쌍극자로 다가갈수록 전기장은 위 식을 따르지 않고, 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장으로 가게 된다. [[https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_dipole_moment#/media/File:VFPt_dipole_animation_electric.gif|(이를 잘 나타낸 그림)]] === 돌림힘과 힘 === ==== 전기장 내에서 받는 돌림힘 ==== 균일한 전기장 [math( \mathbf{E} )]안에 전기 쌍극자 모멘트 [math( \mathbf{p} )]가 있을 때, [math( \mathbf{p} )]에 작용하는 돌림힘은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E} )] }}} 로 주어지고, 이때 쌍극자가 가지는 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( U=-\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} )] }}} 이다. 그러나, 전기 쌍극자 모멘트가 균일하지 않은 전기장 [math( \mathbf{E} )]안에 있을 때, 받는 힘은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E}+\mathbf{r} \times \mathbf{F})] }}} 로 주어진다. 여기서 [math(\mathbf{r})]는 쌍극자의 위치 벡터와 [math(\mathbf{F})]는 쌍극자가 전기장 영역 속에서 받는 힘이다. 이때, [math(\mathbf{F})]는 후술 하듯, [math( \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E})] 로 주어지게 된다. ==== 전기장 내에서 받는 힘 ==== 전기 쌍극자 모멘트가 전기장 [math( \mathbf{E} )]안에 있을 때, 받는 힘은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E} )] }}} 로 주어진다. ||<table width=100%><table align=center> {{{#!folding [ 증명 ] ||<^|1><bgcolor=#ffffff,#000000><table width=100%>전기장 내에 있는 쌍극자 [math( \mathbf{p} )]의 [math( -q )]와 [math( q )]까지의 위치 벡터를 각각 [math( \mathbf{r} )], [math( \mathbf{r_{+}} )]라 하자.[* 다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다.] 전기장 내에서 점전하가 받는 힘은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \mathbf{E} (\mathbf{r}))]}}} 으로 주어지므로 쌍극자가 받는 힘은 각각의 전하가 받는 힘의 벡터 합이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}(\mathbf{r_{+}})-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ])]}}} 로 쓸 수 있다. 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{r_{+}}=\mathbf{d}+\mathbf{r})]}}} 로 쓸 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} )-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ])]}}} 이다. 이때, 쌍극자는 일반적으로 [math(d \ll r )]를 만족하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} ) \simeq \mathbf{E}(\mathbf{r} )+(\mathbf{d} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} ))]}}} 으로 전개[* [[테일러 급수]]의 벡터 버전.]해서 쓸 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q (\mathbf{d} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )= (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} ))]}}} 으로 정리되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{F}= (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E})]}}} 가 나오게 된다. ||}}} || 정전기학에서 다루는 전기장 [math( \mathbf{E})]의 [[델(연산자)#s-3.2|발산]][* [math( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = \rho\, / \, \varepsilon_0)]이므로 전하가 없는 영역에서는 전기장의 발산은 [math( 0)]이 된다.]과 [[델(연산자)#s-3.3|회전]][* 정전기학은 기본적으로 보존장을 다루기 때문이다.]은 [math( 0)]이 되고, 전기 쌍극자 모멘트 [math( \mathbf{p})]는 상수 벡터이므로 [math( \mathbf{p})]가 전기장 내에서 받는 힘은 다음과 같이도 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{F} = - \boldsymbol{\nabla}U = \boldsymbol{\nabla}(\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}))][* [math( \mathbf{p} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) )][* 정전기학에서 [math(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = 0)]][math( + \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{p}))][* [math(\mathbf{p})]는 상수 벡터이므로 [math( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{p} = 0)]][math( + (\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{p})][* [math(\mathbf{p})]는 상수 벡터이므로 해당 항은 0][math( + (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E})]][math( = (\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E} )] }}} == 전기 퍼텐셜의 [[다중극 전개]] == 이번엔 국소화된 전하분포를 멀리서 관찰할 때, 어떤 방법으로 계를 분석할 수 있는지 알아보자. 그림과 같이 전하 분포 [math(\rho(\mathbf{r'}))]을 가지는 계에 대해 고려해보자. [[파일:다중극 전개_전기 쌍극자.png|width=180&align=center]] 이때, 전기 퍼텐셜(Electric potential)은 다음과 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\iiint \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\frac{\rho(\mathbf{r'})}{\left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right | }\,dV')] }}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{-1} =(r^2+r'^{2}-2rr' \cos{\theta} )^{-1/2} )] }}} 이고, [math(r\gg r')]라면, 이것을 [[르장드르 다항식]]의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle (r^{2}+r'^{2}-2rr' \cos{\theta})^{-1/2}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{r'}{r} \right )^{n} P_{n}(\cos{\theta})= \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) )] }}} 이상에서 전기 퍼텐셜은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} }\iiint \rho(\mathbf{r'})\left [ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) \right ]\,dV' )] }}} 로 주어진다. 따라서 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 전개할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} } \left [\frac{1}{r} \iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^2} \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^3} \iiint r'^{2} \left ( \frac{3}{2}\cos^{2}{\theta}-\frac{1}{2} \right ) \rho(\mathbf{r'})\,dV'+\boldsymbol{\cdot}s \right ] )] }}} 여기서 첫째 항부터 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, [math(\boldsymbol{\cdot}s)], [math(2^{n-1})]극자항이라 부른다. 위의 논의는 다음을 얻는다. ||<table width=100%> '''국소화된 전하분포를 멀리서 전기 퍼텐셜을 관측하면, 그것은 홀극자, 쌍극자, 사극자, 의 전기 퍼텐셜의 합으로 근사시킬 수 있다.''' || 자세한 설명은 [[다중극 전개]] 문서에 잘 나와있다. 전기 쌍극자에 대해 논의하므로 이제부터는 제 2항만 논의하도록 한다. 해당 항을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}} )] }}} 이때, 전기 쌍극자를 다음으로 정의한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p} \equiv \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' )] }}} 이것은 맨 위의 확장 부분에서 소개했던 것이다. 따라서 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}}= \frac{\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} )] }}} 으로 위와 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다. 원점을 [math(\mathbf{R})]만큼 이동했을 때, 기술되는 쌍극자를 [math(\mathbf{p'})]라 하면, 이 좌표계에서 [math(\mathbf{R'}=\mathbf{r'}-\mathbf{R})]가 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p'}= \iiint \mathbf{R'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'=\iiint (\mathbf{r'}-\mathbf{R}) \rho(\mathbf{r'})\,dV' )] }}} 이것을 전개하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p'}=\iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'-\mathbf{R}\iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV' )] }}} [math(\mathbf{R})]는 적분과 무관한 상수벡터이므로 적분 밖으로 나올 수 있다. 여기서 제 1항은 [math(\mathbf{p})]이고, 제 2항의 적분은 곧 총전하인데, 이것을 [math(Q)]라 놓으면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \mathbf{p'}=\mathbf{p}-Q\mathbf{R} )] }}} 위의 논의는 다음을 얻는다. ||<table width=100%> '''전기 쌍극자 모멘트는 계의 총전하가 0이 아닌 이상 좌표계의 원점에 의존한다.''' || 이때, 계의 총전하가 0이 아닌 경우는 위에서 밝혔듯 계의 질량중심을 기준으로 원점을 잡는 것이 일반적이다. == 편극 밀도 == [include(틀:상세 내용, 문서명=전기 변위장, 문단=2.1)] == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[전자기학]] * [[화학 관련 정보]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=쌍극자 모멘트, version=24, paragraph=2)] [[분류:물리학]][[분류:전자기학]][[분류:화학 구조]]캡챠되돌리기